Når man studerer absolut enhver rumlig figur, er det vigtigt at vide, hvordan man beregner dens volumen. Denne artikel giver en formel for volumen af en regulær firkantet pyramide og viser også, hvordan denne formel skal bruges ved hjælp af et eksempel på løsning af problemer.
Hvilken pyramide taler vi om?
Alle gymnasieelever ved, at en pyramide er et polyeder bestående af trekanter og en polygon. Sidstnævnte er bunden af figuren. Trekanter har én fælles side med basen og skærer hinanden i et enkelt punkt, som er toppen af pyramiden.
Hver pyramide er kendetegnet ved længden af bundens sider, længden af sidekanterne og højden. Sidstnævnte er et vinkelret segment, sænket til bunden fra toppen af figuren.
En regulær firkantet pyramide er en figur med en kvadratisk base, hvis højde skærer denne firkant i midten. Det måske mest berømte eksempel på denne type pyramider er de gamle egyptiske stenstrukturer. Nedenfor er et fotoCheops pyramider.
Figuren, der undersøges, har fem flader, hvoraf fire er identiske ligebenede trekanter. Den er også kendetegnet ved fem hjørner, hvoraf fire hører til basen, og otte kanter (4 kanter af basen og 4 kanter af sidefladerne).
Formlen for rumfanget af en firkantet pyramide er korrekt
Rumfanget af den pågældende figur er en del af rummet, der er begrænset af fem sider. For at beregne dette volumen bruger vi følgende afhængighed af arealet af en skive parallelt med bunden af pyramiden Sz på den lodrette koordinat z:
Sz=So (h - z/h)2
Her er So arealet af den kvadratiske base. Hvis vi erstatter z=h i det skrevne udtryk, får vi en nulværdi for Sz. Denne værdi af z svarer til en skive, der kun vil indeholde toppen af pyramiden. Hvis z=0, får vi værdien af grundarealet So.
Det er nemt at finde volumen af en pyramide, hvis du kender funktionen Sz(z), for dette er det nok at skære figuren til et uendeligt antal lag parallelt med basen, og udfør derefter integrationsoperationen. Jeg følger denne teknik, vi får:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Fordi S0 erarealet af kvadratbasen, så, som angiver siden af kvadratet med bogstavet a, får vi formlen for rumfanget af en regulær firkantet pyramide:
V=1/3a2t.
Lad os nu bruge eksempler på problemløsning til at vise, hvordan dette udtryk skal anvendes.
Problemet med at bestemme volumen af en pyramide gennem dens apotem og sidekant
Apotemet for en pyramide er højden af dens laterale trekant, som er sænket til siden af basen. Da alle trekanter er lige store i en regulær pyramide, vil deres apotemer også være de samme. Lad os betegne dens længde med symbolet hb. Angiv sidekanten som b.
Når du ved, at pyramidens apotem er 12 cm, og dens sidekant er 15 cm, skal du finde volumen af en regulær firkantet pyramide.
Formlen for figurens volumen skrevet i det foregående afsnit indeholder to parametre: sidelængde a og højde h. I øjeblikket kender vi ingen af dem, så lad os tage et kig på deres beregninger.
Længden af siden af et kvadrat a er let at beregne, hvis du bruger Pythagoras sætning til en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er kanten b, og benene er apotemet h b og halvdelen af siden af basen a/2. Vi får:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Ved at erstatte de kendte værdier fra betingelsen får vi værdien a=18 cm.
For at beregne højden h af pyramiden kan du gøre to ting: overveje en rektangulæren trekant med en hypotenuse-lateral kant eller med en hypotenuse-apotem. Begge metoder er ens og involverer udførelsen af det samme antal matematiske operationer. Lad os dvæle ved betragtningen af en trekant, hvor hypotenusen er apotemet hb. Benene i den vil være h og a / 2. Så får vi:
h=√(hb2-a2/4)=√(12) 2- 182/4)=7, 937 cm.
Nu kan du bruge formlen for bind V:
V=1/3a2t=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Således er rumfanget af en regulær firkantet pyramide ca. 0,86 liter.
Rumfanget af Keopspyramiden
Lad os nu løse et interessant og praktisk vigtigt problem: find volumen af den største pyramide i Giza. Det er kendt fra litteraturen, at den oprindelige højde af bygningen var 146,5 meter, og længden af dens base er 230,363 meter. Disse tal giver os mulighed for at anvende formlen til at beregne V. Vi får:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Den resulterende værdi er næsten 2,6 millioner m3. Dette volumen svarer til rumfanget af en terning, hvis side er 137,4 meter.
