Trekant, firkant, sekskant - disse figurer er kendt af næsten alle. Men ikke alle ved, hvad en regulær polygon er. Men det er alle de samme geometriske former. En regulær polygon er en, der har lige store vinkler og sider. Der er mange sådanne figurer, men de har alle de samme egenskaber, og de samme formler gælder for dem.
egenskaber for regulære polygoner
Enhver regulær polygon, det være sig en firkant eller en ottekant, kan indskrives i en cirkel. Denne grundlæggende egenskab bruges ofte, når man konstruerer en figur. Derudover kan en cirkel også indskrives i en polygon. I dette tilfælde vil antallet af kontaktpunkter være lig med antallet af dets sider. Det er vigtigt, at en cirkel indskrevet i en regulær polygon har et fælles centrum med sig. Disse geometriske figurer er underlagt de samme teoremer. Enhver sideaf en regulær n-gon er relateret til radius R af cirklen, der er afgrænset omkring den. Derfor kan den beregnes ved hjælp af følgende formel: a=2R ∙ sin180°. Gennem cirklens radius kan du ikke kun finde siderne, men også polygonens omkreds.
Sådan finder du antallet af sider i en regulær polygon
Enhver regulær n-gon består af et vist antal segmenter, der er lig med hinanden, som, når de er forbundet, danner en lukket linje. I dette tilfælde har alle hjørnerne af den dannede figur samme værdi. Polygoner er opdelt i simple og komplekse. Den første gruppe omfatter en trekant og en firkant. Komplekse polygoner har flere sider. De omfatter også stjerneformede figurer. For komplekse regulære polygoner findes siderne ved at indskrive dem i en cirkel. Lad os give et bevis. Tegn en regulær polygon med et vilkårligt antal sider n. Beskriv en cirkel omkring den. Angiv radius R. Forestil dig nu, at der er givet noget n-gon. Hvis punkterne for dens vinkler ligger på en cirkel og er lig med hinanden, kan siderne findes ved formlen: a=2R ∙ sinα: 2.
Find antallet af sider i en indskrevet regulær trekant
En ligesidet trekant er en regulær polygon. De samme formler gælder for det som for kvadratet og n-gonen. En trekant vil blive betragtet som korrekt, hvis den har samme længde sider. I dette tilfælde er vinklerne 60⁰. Konstruer en trekant med givet sidelængde a. At kende dens median og højde,du kan finde værdien af dens sider. For at gøre dette vil vi bruge metoden til at finde gennem formlen a \u003d x: cosα, hvor x er medianen eller højden. Da alle sider af trekanten er lige, får vi a=b=c. Så vil følgende udsagn være sand a=b=c=x: cosα. På samme måde kan du finde værdien af siderne i en ligebenet trekant, men x vil være den givne højde. Samtidig skal det projiceres strengt på bunden af figuren. Så ved at kende højden x finder vi siden a i en ligebenet trekant ved at bruge formlen a \u003d b \u003d x: cosα. Efter at have fundet værdien af a, kan du beregne længden af basen c. Lad os anvende Pythagoras sætning. Vi vil lede efter værdien af halvdelen af grundtallet c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Så er c=2xtanα. Her er en enkel måde at finde antallet af sider af enhver indskrevet polygon.
Beregn siderne af en firkant indskrevet i en cirkel
Som enhver anden indskrevet regulær polygon har en firkant lige store sider og vinkler. De samme formler gælder for den som for trekanten. Du kan beregne siderne af et kvadrat ved hjælp af værdien af diagonalen. Lad os overveje denne metode mere detaljeret. Det er kendt, at diagonalen halverer vinklen. Oprindeligt var dens værdi 90 grader. Efter deling dannes der således to retvinklede trekanter. Deres basisvinkler vil være 45 grader. Følgelig vil hver side af kvadratet være ens, det vil sige: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, hvor e er kvadratets diagonal, eller bunden af den retvinklede trekant dannet efter deling. Det er ikke den eneste mådefinde siderne af en firkant. Lad os indskrive denne figur i en cirkel. Når vi kender radius af denne cirkel R, finder vi siden af kvadratet. Vi vil beregne det som følger a4=R√2. Radierne af regulære polygoner beregnes ved formlen R=a: 2tg (360o: 2n), hvor a er sidelængden.
Sådan beregnes omkredsen af en n-gon
Omkredsen af en n-gon er summen af alle dens sider. Det er nemt at beregne det. For at gøre dette skal du kende værdierne fra alle sider. For nogle typer polygoner er der specielle formler. De giver dig mulighed for at finde omkredsen meget hurtigere. Det er kendt, at enhver regulær polygon har lige store sider. Derfor, for at beregne dens omkreds, er det nok at kende mindst en af dem. Formlen vil afhænge af antallet af sider af figuren. Generelt ser det sådan ud: P \u003d an, hvor a er værdien af siden, og n er antallet af vinkler. For at finde omkredsen af en regulær ottekant med en side på 3 cm, skal du gange den med 8, det vil sige P=3 ∙ 8=24 cm. For en sekskant med en side på 5 cm beregner vi som følger: P=5 ∙ 6=30 cm. Og så for hver polygon.
Find omkredsen af et parallelogram, en firkant og en rombe
Afhængigt af hvor mange sider en regulær polygon har, beregnes dens omkreds. Dette gør opgaven meget lettere. Faktisk, i modsætning til andre figurer, er det i dette tilfælde ikke nødvendigt at kigge efter alle dets sider, kun en er nok. Efter samme princip finder vi omkredsen klfirkanter, det vil sige en firkant og en rombe. På trods af at det er forskellige figurer, er formlen for dem den samme P=4a, hvor a er siden. Lad os tage et eksempel. Hvis siden af en rombe eller kvadrat er 6 cm, så finder vi omkredsen som følger: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Et parallelogram har kun modsatte sider. Derfor findes dens omkreds ved hjælp af en anden metode. Så vi skal kende længden a og bredden b af figuren. Derefter anvender vi formlen P=(a + c) ∙ 2. Et parallelogram, hvor alle sider og vinkler mellem dem er lige store, kaldes en rombe
Find omkredsen af en ligesidet og retvinklet trekant
Omkredsen af en regulær ligesidet trekant kan findes ved formlen P=3a, hvor a er længden af siden. Hvis det er ukendt, kan det findes gennem medianen. I en retvinklet trekant er kun to sider lige store. Grundlaget kan findes gennem Pythagoras sætning. Efter at værdierne af alle tre sider er blevet kendt, beregner vi omkredsen. Det kan findes ved at anvende formlen P \u003d a + b + c, hvor a og b er lige store sider, og c er basen. Husk på, at i en ligebenet trekant er a \u003d b \u003d a, derfor a + b \u003d 2a, derefter P \u003d 2a + c. For eksempel er siden af en ligebenet trekant 4 cm, find dens base og omkreds. Vi beregner værdien af hypotenusen ved hjælp af Pythagoras sætning c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Nu beregner vi omkredsen Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Sådan finder du hjørnerne af en almindelig polygon
Regulær polygonforekommer i vores liv hver dag, for eksempel en almindelig firkant, trekant, ottekant. Det ser ud til, at der ikke er noget nemmere end at bygge denne figur selv. Men dette er kun ved første øjekast. For at konstruere enhver n-gon skal du kende værdien af dens vinkler. Men hvordan finder man dem? Selv antikkens videnskabsmænd forsøgte at bygge regulære polygoner. De gættede på at passe dem ind i cirkler. Og så blev de nødvendige punkter markeret på den, forbundet med lige linjer. For simple figurer er konstruktionsproblemet løst. Formler og sætninger er opnået. For eksempel var Euclid i sit berømte værk "The Beginning" engageret i at løse problemer for 3-, 4-, 5-, 6- og 15-gons. Han fandt måder at konstruere dem og finde vinkler. Lad os se, hvordan man gør dette for en 15-gon. Først skal du beregne summen af dens indre vinkler. Det er nødvendigt at bruge formlen S=180⁰(n-2). Så vi får en 15-gon, hvilket betyder, at tallet n er 15. Vi erstatter de data, vi kender, i formlen og får S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Vi har fundet summen af alle indvendige vinkler af en 15-gon. Nu skal vi have værdien af hver af dem. Der er 15 vinkler i alt. Vi laver udregningen 2340⁰: 15=156⁰. Det betyder, at hver indre vinkel er 156⁰, nu ved hjælp af en lineal og et kompas, kan du bygge en almindelig 15-gon. Men hvad med mere komplekse n-gons? I århundreder har videnskabsmænd kæmpet for at løse dette problem. Den blev først fundet i det 18. århundrede af Carl Friedrich Gauss. Han var i stand til at bygge en 65537-gon. Siden da anses problemet officielt for at være fuldstændig løst.
Beregning af vinkler for n-goneri radianer
Selvfølgelig er der flere måder at finde hjørnerne af polygoner på. Oftest beregnes de i grader. Men du kan også udtrykke dem i radianer. Hvordan gør man det? Det er nødvendigt at fortsætte som følger. Først finder vi ud af antallet af sider af en regulær polygon, og trækker derefter 2 fra den. Så vi får værdien: n - 2. Multiplicer den fundne forskel med tallet n ("pi"=3, 14). Nu er det kun tilbage at dividere det resulterende produkt med antallet af vinkler i n-gon. Overvej disse beregninger ved at bruge eksemplet med den samme femten-sidede. Så tallet n er 15. Anvend formlen S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Dette, selvfølgelig, er ikke den eneste måde at beregne vinklen i radianer på. Du kan simpelthen dividere størrelsen af vinklen i grader med tallet 57, 3. Når alt kommer til alt, så svarer de mange grader til en radian.
Beregn værdien af vinkler i grader
Udover grader og radianer kan du prøve at finde værdien af vinklerne for en regulær polygon i graduer. Dette gøres på følgende måde. Træk 2 fra det samlede antal vinkler, divider den resulterende forskel med antallet af sider i en regulær polygon. Vi multiplicerer det fundne resultat med 200. En sådan måleenhed for vinkler som hagl bruges praktisk t alt ikke.
Beregning af eksterne vinkler af n-gons
For enhver regulær polygon, undtagen den indre, kan du også beregne den ydre vinkel. Dens værdi findes på samme måde som for andre figurer. Så for at finde den ydre vinkel på en regulær polygon, skal du brugekender betydningen af det indre. Yderligere ved vi, at summen af disse to vinkler altid er 180 grader. Derfor laver vi beregningerne som følger: 180⁰ minus værdien af den indre vinkel. Vi finder forskellen. Det vil være lig med værdien af den vinkel, der støder op til den. For eksempel er det indre hjørne af en firkant 90 grader, så den ydre vinkel vil være 180⁰ - 90⁰=90⁰. Som vi kan se, er det ikke svært at finde det. Den ydre vinkel kan have en værdi fra henholdsvis +180⁰ til -180⁰.
