Disse geometriske former omgiver os over alt. Konvekse polygoner kan være naturlige, såsom en honeycomb, eller kunstige (menneskeskabte). Disse figurer bruges til fremstilling af forskellige typer belægninger, i maleri, arkitektur, dekorationer mv. Konvekse polygoner har den egenskab, at alle deres punkter er på samme side af en lige linje, der passerer gennem et par tilstødende hjørner af denne geometriske figur. Der er også andre definitioner. En polygon kaldes konveks, hvis den er placeret i et enkelt halvplan i forhold til en ret linje, der indeholder en af dens sider.
Konvekse polygoner
I løbet af elementær geometri tages der altid kun hensyn til simple polygoner. At forstå alle egenskaberne ved en sådangeometriske former, er det nødvendigt at forstå deres natur. Til at begynde med skal det forstås, at enhver linje kaldes lukket, hvis ender falder sammen. Desuden kan figuren dannet af den have en række forskellige konfigurationer. En polygon er en simpel lukket stiplet linje, hvor naboled ikke er placeret på den samme lige linje. Dens led og spidser er henholdsvis siderne og spidserne af denne geometriske figur. En simpel polylinje må ikke have selvskæringer.
En polygons hjørner kaldes tilstødende, hvis de repræsenterer enderne af en af dens sider. En geometrisk figur, der har det n'te antal hjørner, og dermed det n'te antal sider, kaldes en n-gon. Selve den stiplede linje kaldes grænsen eller konturen af denne geometriske figur. Et polygon alt plan eller en flad polygon kaldes endedelen af et hvilket som helst plan afgrænset af det. De tilstødende sider af denne geometriske figur kaldes segmenter af en brudt linje, der udgår fra et toppunkt. De vil ikke være tilstødende, hvis de kommer fra forskellige hjørner af polygonen.
Andre definitioner af konvekse polygoner
I elementær geometri er der flere ækvivalente definitioner, der angiver, hvilken polygon der kaldes konveks. Alle disse udsagn er lige sande. En polygon betragtes som konveks, hvis:
• hvert segment, der forbinder to punkter inde i det, ligger helt inden i det;
• inde i denalle dens diagonaler ligger;
• ingen indvendig vinkel overstiger 180°.
En polygon deler altid et plan i 2 dele. En af dem er begrænset (den kan være omsluttet i en cirkel), og den anden er ubegrænset. Det første kaldes det indre område, og det andet er det ydre område af denne geometriske figur. Denne polygon er et skæringspunkt (med andre ord en fælles komponent) af flere halvplaner. Desuden hører hvert segment, der har ender ved punkter, der hører til polygonen, fuldstændig til det.
varianter af konvekse polygoner
Definitionen af en konveks polygon indikerer ikke, at der er mange slags af dem. Og hver af dem har visse kriterier. Så konvekse polygoner, der har en indre vinkel på 180°, kaldes svagt konvekse. En konveks geometrisk figur, der har tre hjørner, kaldes en trekant, fire - en firkant, fem - en femkant osv. Hver af de konvekse n-goner opfylder følgende væsentlige krav: n skal være lig med eller større end 3. trekanterne er konvekse. En geometrisk figur af denne type, hvor alle hjørner er placeret på den samme cirkel, kaldes indskrevet i en cirkel. En konveks polygon kaldes omskrevet, hvis alle dens sider nær cirklen rører ved den. To polygoner siges kun at være ens, hvis de kan overlejres ved superposition. En plan polygon kaldes en polygonal plan.(del af planet), som er begrænset af denne geometriske figur.
Regulære konvekse polygoner
Regulære polygoner er geometriske former med lige store vinkler og sider. Inde i dem er der et punkt 0, som er i samme afstand fra hvert af dets hjørner. Det kaldes midten af denne geometriske figur. De segmenter, der forbinder midten med hjørnerne af denne geometriske figur, kaldes apotemer, og dem, der forbinder punkt 0 med siderne, kaldes radier.
En regulær firkant er en firkant. En ligesidet trekant kaldes en ligesidet trekant. For sådanne figurer er der følgende regel: hvert hjørne af en konveks polygon er 180°(n-2)/ n, hvor n er antallet af hjørner af denne konvekse geometriske figur.
Arealet af enhver regulær polygon bestemmes af formlen:
S=ph, hvor p er halvdelen af summen af alle sider af den givne polygon, og h er længden af apotemet.
Egenskaber for konvekse polygoner
Konvekse polygoner har visse egenskaber. Så et segment, der forbinder 2 punkter af en sådan geometrisk figur, er nødvendigvis placeret i det. Bevis:
Antag, at P er en given konveks polygon. Vi tager 2 vilkårlige punkter, for eksempel A, B, som hører til P. Ifølge den eksisterende definition af en konveks polygon er disse punkter placeret på samme side af linjen, som indeholder en hvilken som helst side af P. Derfor har AB også denne egenskab og er indeholdt i P. En konveks polygon kan altid opdeles i flere trekanter af absolut alle diagonalerne tegnet fra en af dens hjørner.
Vinkler af konvekse geometriske former
Hjørnerne af en konveks polygon er hjørnerne dannet af dens sider. Indvendige hjørner er placeret i det indre område af en given geometrisk figur. Vinklen, der dannes af dens sider, der konvergerer ved et toppunkt, kaldes vinklen på en konveks polygon. Vinkler, der støder op til de indre vinkler af en given geometrisk figur, kaldes eksterne. Hvert hjørne af en konveks polygon placeret inde i den er:
180° - x, hvor x er værdien af den ydre vinkel. Denne enkle formel fungerer for alle geometriske former af denne type.
For ydre hjørner er der generelt følgende regel: hver vinkel i en konveks polygon er lig med forskellen mellem 180° og værdien af den indre vinkel. Det kan have værdier fra -180° til 180°. Derfor, når den indvendige vinkel er 120°, vil den udvendige vinkel være 60°.
Summen af vinkler af konvekse polygoner
Summen af de indre vinkler af en konveks polygon er sat af formlen:
180°(n-2), hvor n er antallet af hjørner af n-gonen.
Summen af vinklerne af en konveks polygon er ret nem at beregne. Overvej enhver sådan geometrisk figur. For at bestemme summen af vinklerne inde i en konveks polygon er det nødvendigtforbinde et af dets hjørner med andre hjørner. Som et resultat af denne handling opnås (n-2) trekanter. Vi ved, at summen af vinklerne i en trekant altid er 180°. Da deres tal i enhver polygon er (n-2), er summen af de indre vinkler af en sådan figur 180° x (n-2).
Summen af vinklerne for en konveks polygon, nemlig to indvendige og tilstødende ydre vinkler, for en given konveks geometrisk figur vil altid være lig med 180°. Baseret på dette kan du bestemme summen af alle dets vinkler:
180 x n.
Summen af de indre vinkler er 180°(n-2). Baseret på dette er summen af alle ydre hjørner af denne figur sat af formlen:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Summen af de udvendige vinkler af enhver konveks polygon vil altid være 360° (uanset antallet af sider).
Den ydre vinkel af en konveks polygon er generelt repræsenteret ved forskellen mellem 180° og værdien af den indre vinkel.
Andre egenskaber ved en konveks polygon
Ud over de grundlæggende egenskaber ved disse geometriske former har de andre, der opstår, når de manipuleres. Så enhver af polygonerne kan opdeles i flere konvekse n-goner. For at gøre dette er det nødvendigt at fortsætte hver af dens sider og skære denne geometriske figur langs disse lige linjer. Det er også muligt at opdele en hvilken som helst polygon i flere konvekse dele på en sådan måde, at spidserne af hver af stykkerne falder sammen med alle dens spidser. Fra sådan en geometrisk figur kan trekanter meget enkelt laves ved at tegne allediagonaler fra det ene toppunkt. Enhver polygon kan således i sidste ende opdeles i et vist antal trekanter, hvilket viser sig at være meget nyttigt til at løse forskellige problemer forbundet med sådanne geometriske former.
Omkreds af en konveks polygon
Segmenter af en stiplet linje, kaldet sider af en polygon, er oftest angivet med følgende bogstaver: ab, bc, cd, de, ea. Dette er siderne af en geometrisk figur med toppunkter a, b, c, d, e. Summen af længderne af alle sider af denne konvekse polygon kaldes dens omkreds.
polygonomkreds
Konvekse polygoner kan indskrives og omskrives. En cirkel, der rører ved alle sider af denne geometriske figur, kaldes indskrevet i den. Sådan en polygon kaldes omskrevet. Centrum af en cirkel, der er indskrevet i en polygon, er skæringspunktet for halveringslinjen for alle vinkler inden for en given geometrisk figur. Arealet af en sådan polygon er:
S=pr, hvor r er radius af den indskrevne cirkel, og p er halvperimeteren af den givne polygon.
En cirkel, der indeholder hjørnerne af en polygon, kaldes omskrevet omkring den. Desuden kaldes denne konvekse geometriske figur indskrevet. Cirklens centrum, som er afgrænset omkring en sådan polygon, er skæringspunktet for de såkaldte vinkelrette halveringslinjer på alle sider.
Diagonaler af konvekse geometriske former
Diagonalerne af en konveks polygon er segmenter, derforbinde ikke-tilstødende hjørner. Hver af dem ligger inde i denne geometriske figur. Antallet af diagonaler for en sådan n-gon er sat af formlen:
N=n (n – 3)/ 2.
Antallet af diagonaler i en konveks polygon spiller en vigtig rolle i elementær geometri. Antallet af trekanter (K), som det er muligt at opdele hver konveks polygon i, beregnes ved hjælp af følgende formel:
K=n – 2.
Antallet af diagonaler i en konveks polygon afhænger altid af antallet af dens hjørner.
Dekomponering af en konveks polygon
I nogle tilfælde, for at løse geometriske problemer, er det nødvendigt at opdele en konveks polygon i flere trekanter med ikke-skærende diagonaler. Dette problem kan løses ved at udlede en specifik formel.
Definition af problemet: lad os kalde en korrekt partition af en konveks n-gon i flere trekanter ved diagonaler, der kun skærer hinanden i hjørnerne af denne geometriske figur.
Løsning: Antag, at Р1, Р2, Р3 …, Pn er hjørner af denne n-gon. Tallet Xn er antallet af dets partitioner. Lad os nøje overveje den opnåede diagonal af den geometriske figur Pi Pn. I enhver af de almindelige partitioner hører P1 Pn til en bestemt trekant P1 Pi Pn, som har 1<i<n. Hvis vi går ud fra dette og antager, at i=2, 3, 4 …, n-1, får vi (n-2) grupper af disse partitioner, som inkluderer alle mulige særlige tilfælde.
Lad i=2 være én gruppe af regulære partitioner, der altid indeholder diagonalen Р2 Pn. Antallet af partitioner, der indtaster det, er det samme som antallet af partitioner(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Med andre ord er det lig med Xn-1.
Hvis i=3, så vil denne anden gruppe af partitioner altid indeholde diagonalerne Р3 Р1 og Р3 Pn. I dette tilfælde vil antallet af almindelige partitioner, der er indeholdt i denne gruppe, falde sammen med antallet af partitioner af (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Med andre ord vil det være lig med Xn-2.
Lad i=4, så vil en regulær partition blandt trekanter helt sikkert indeholde en trekant P1 P4 Pn, hvortil firkanten P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn vil støde op til. Antallet af regulære partitioner af en sådan firkant er X4, og antallet af partitioner af en (n-3)-gon er Xn-3. Baseret på det foregående kan vi sige, at det samlede antal korrekte partitioner i denne gruppe er Xn-3 X4. Andre grupper med i=4, 5, 6, 7… vil indeholde Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … almindelige partitioner.
Lad i=n-2, så vil antallet af korrekte opdelinger i denne gruppe være det samme som antallet af opdelinger i gruppen, hvor i=2 (med andre ord er lig med Xn-1).
Da X1=X2=0, X3=1, X4=2…, så er antallet af alle partitioner i en konveks polygon:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Eksempel:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Antal korrekte partitioner, der skærer én diagonal indvendig
Ved kontrol af særlige tilfælde kan man ankomme tilantagelsen om, at antallet af diagonaler af konvekse n-goner er lig med produktet af alle partitioner af denne figur med (n-3).
Bevis for denne antagelse: forestil dig, at P1n=Xn(n-3), så kan enhver n-gon opdeles i (n-2)-trekanter. Desuden kan en (n-3)-firkant være sammensat af dem. Sammen med dette vil hver firkant have en diagonal. Da der kan tegnes to diagonaler i denne konvekse geometriske figur, betyder det, at yderligere (n-3) diagonaler kan tegnes i alle (n-3)-firkanter. Baseret på dette kan vi konkludere, at det i enhver almindelig partition er muligt at tegne (n-3)-diagonaler, der opfylder betingelserne for dette problem.
Areal med konvekse polygoner
Når man løser forskellige problemer med elementær geometri, bliver det ofte nødvendigt at bestemme arealet af en konveks polygon. Antag, at (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n er sekvensen af koordinater for alle nabospidser af en polygon, der ikke har selvskæringspunkter. I dette tilfælde beregnes dens areal ved hjælp af følgende formel:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), hvor (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
