Typiske lineære parametre for enhver pyramide er længden af siderne af dens base, højde, sidekanter og apotemer. Ikke desto mindre er der en anden karakteristik, der er forbundet med de noterede parametre - dette er den dihedrale vinkel. Overvej i artiklen, hvad det er, og hvordan du finder det.
rumlig figurpyramide
Hver elev har en god idé om, hvad der er på spil, når han hører ordet "pyramide". Det kan konstrueres geometrisk som følger: Vælg en bestemt polygon, fiks derefter et punkt i rummet og forbind det med hvert hjørne af polygonen. Den resulterende tredimensionelle figur vil være en pyramide af en vilkårlig type. Polygonen, der danner den, kaldes basen, og punktet, som alle dens hjørner er forbundet med, er toppen af figuren. Nedenstående figur viser skematisk en femkantet pyramide.
Det kan ses, at dens overflade ikke kun er dannet af en femkant, men også af fem trekanter. Generelt vil antallet af disse trekanter være lig med antalletsider af en polygonal base.
Dihedriske vinkler på figuren
Når geometriske problemer betragtes på et plan, dannes enhver vinkel af to skærende lige linjer eller segmenter. I rummet tilføjes dihedriske vinkler til disse lineære vinkler, dannet af skæringspunktet mellem to planer.
Hvis den markerede definition af en vinkel i rummet anvendes på den pågældende figur, så kan vi sige, at der er to typer dihedriske vinkler:
- Ved bunden af pyramiden. Den er dannet af basens plan og enhver af sidefladerne (trekanten). Det betyder, at pyramidens grundvinkler er n, hvor n er antallet af sider i polygonen.
- Mellem siderne (trekanter). Antallet af disse dihedriske vinkler er også n stykker.
Bemærk, at den første type overvejede vinkler er bygget på kanterne af basen, den anden type - på sidekanterne.
Hvordan beregner man vinklerne på en pyramide?
Den lineære vinkel for en dihedral vinkel er målet for sidstnævnte. Det er ikke let at beregne det, da pyramidens flader, i modsætning til prismets flader, ikke skærer hinanden i rette vinkler i det generelle tilfælde. Det er mest pålideligt at beregne værdierne af dihedriske vinkler ved hjælp af flyets ligninger i generel form.
I tredimensionelt rum er et plan givet ved følgende udtryk:
Ax + By + Cz + D=0
Hvor A, B, C, D er nogle reelle tal. Det praktiske ved denne ligning er, at de første tre markerede tal er vektorens koordinater,som er vinkelret på det givne plan, dvs.:
n¯=[A; B; C]
Hvis koordinaterne for tre punkter, der hører til planet, er kendte, kan man ved at tage vektorproduktet af to vektorer bygget på disse punkter opnå koordinaterne n¯. Vektoren n¯ kaldes guiden for planet.
Ifølge definitionen er den dihedriske vinkel dannet ved skæringen af to planer lig med den lineære vinkel mellem deres retningsvektorer. Antag, at vi har to planer, hvis normalvektorer er ens:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
For at beregne vinklen φ mellem dem, kan du bruge den skalære produktegenskab, hvorefter den tilsvarende formel bliver:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Eller i koordinatform:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Lad os vise, hvordan man bruger ovenstående metode til at beregne dihedriske vinkler, når man løser geometriske problemer.
Vinkler af en regulær firkantet pyramide
Antag, at der er en regulær pyramide, i bunden af hvilken der er en firkant med en side på 10 cm. Figurens højde er12 cm. Det er nødvendigt at beregne, hvad de dihedriske vinkler er ved bunden af pyramiden og for dens sider.
Da figuren givet i problemets tilstand er korrekt, dvs. den har høj symmetri, så er alle vinkler ved bunden lig med hinanden. Vinklerne dannet af sidefladerne er også de samme. For at beregne de nødvendige dihedriske vinkler finder vi retningsvektorerne for basis- og to sideplaner. Angiv længden af siden af basen med bogstavet a og højden h.
Billedet ovenfor viser en firkantet regulær pyramide. Lad os udskrive koordinaterne for punkt A, B, C og D i overensstemmelse med det indtastede koordinatsystem:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Nu finder vi retningsvektorerne for basisplanerne ABC og de to sider ABD og BCD i overensstemmelse med metoden beskrevet i afsnittet ovenfor:
For ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
For ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
For BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Nu er det tilbage at anvende den passende formel for vinklen φ og erstatte side- og højdeværdierne fra problemformuleringen:
Vinkel mellem ABC ogABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Vinkel mellem ABD og BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Vi beregnede værdierne for de vinkler, der skulle findes ud fra problemets tilstand. Formlerne til løsning af problemet kan bruges til at bestemme de dihedriske vinkler af firkantede regulære pyramider med en hvilken som helst værdi af a og h.
Vinkler af en trekantet regulær pyramide
Figuren nedenfor viser en pyramide, hvis basis er en regulær trekant. Det er kendt, at den dihedriske vinkel mellem siderne er ret. Det er nødvendigt at beregne arealet af basen, hvis det er kendt, at figurens højde er 15 cm.
En dihedral vinkel lig med 90o er angivet som ABC i figuren. Du kan løse problemet ved hjælp af ovenstående metode, men i dette tilfælde vil vi gøre det lettere. Lad os betegne siden af trekanten a, højden af figuren - h, apotemet - hb og sidenribben - b. Nu kan du skrive følgende formler:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Da de to sidetrekanter i pyramiden er ens, er siderne AB og CB lige store og er benene i trekanten ABC. Lad os angive deres længde med x, derefter:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Hvis vi sidestiller sidetrekanternes areal og erstatter apotemet i det tilsvarende udtryk, har vi:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Arealet af en ligesidet trekant beregnes som følger:
S=√3/4a2=3√3/2t2
Erstat højdeværdien fra problemets tilstand, så får vi svaret: S=584, 567 cm2.
