Matricer: Gauss-metoden. Gauss Matrix Beregning: Eksempler

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Lineær algebra, som undervises på universiteter i forskellige specialer, kombinerer mange komplekse emner. Nogle af dem er relateret til matricer såvel som til løsning af systemer af lineære ligninger ved Gauss og Gauss-Jordan metoder. Ikke alle elever formår at forstå disse emner, algoritmer til løsning af forskellige problemer. Lad os sammen forstå matricerne og metoderne for Gauss og Gauss-Jordan.

Grundlæggende begreber

En matrix i lineær algebra er en rektangulær række af elementer (tabel). Nedenfor er sæt af elementer omsluttet i parentes. Det er matricer. Fra ovenstående eksempel kan det ses, at elementerne i rektangulære arrays ikke kun er tal. Matricen kan bestå af matematiske funktioner, algebraiske symboler.

For at forstå nogle begreber, lad os lave en matrix A ud fra elementerne a_ij. Indekser er ikke kun bogstaver: i er nummeret på rækken i tabellen, og j er nummeret på kolonnen i det område af skæringspunktet, hvor elementet er placereta_ij. Så vi ser, at vi har en matrix af elementer såsom a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ osv. Bogstavet n angiver antallet af kolonner, og bogstavet m angiver antallet af rækker. Symbolet m × n angiver dimensionen af matrixen. Dette er konceptet, der definerer antallet af rækker og kolonner i et rektangulært array af elementer.

Valgfrit skal matrixen have flere kolonner og rækker. Med en dimension på 1 × n er arrayet af elementer en række, og med en dimension på m × 1 er det et array med en enkelt kolonne. Når antallet af rækker og antallet af kolonner er lige store, kaldes matrixen kvadratisk. Hver kvadratisk matrix har en determinant (det A). Dette udtryk refererer til det nummer, der er tildelt matricen A.

Et par flere vigtige begreber at huske for at kunne løse matricer med succes er de primære og sekundære diagonaler. Hoveddiagonalen i en matrix er den diagonal, der går ned til højre hjørne af bordet fra øverste venstre hjørne. Sidediagonalen går til højre hjørne op fra venstre hjørne fra bunden.

trinvist matrixvisning

Se på billedet nedenfor. På den vil du se en matrix og et diagram. Lad os først beskæftige os med matrixen. I lineær algebra kaldes en matrix af denne art en trinmatrix. Den har én egenskab: Hvis a_ij er det første ikke-nul-element i den i-te række, så er alle andre elementer fra matrixen under og til venstre for a_ij , er null (dvs. alle de elementer, der kan gives bogstavbetegnelsen a_kl, hvor k>i ogl<j).

Overvej nu diagrammet. Det afspejler den trinformede form af matrixen. Skemaet viser 3 typer celler. Hver type angiver visse elementer:

• tomme celler - nul elementer i matrixen;
• skraverede celler er vilkårlige elementer, der kan være både nul og ikke-nul;
• sorte firkanter er ikke-nul-elementer, som kaldes hjørneelementer, "trin" (i matrixen vist ved siden af dem er sådanne elementer tallene –1, 5, 3, 8).

Når man løser matricer, er resultatet nogle gange, at "længden" af trinnet er større end 1. Dette er tilladt. Kun "højden" af trinene har betydning. I en trinmatrix skal denne parameter altid være lig med én.

Matrixreduktion til trinform

Enhver rektangulær matrix kan konverteres til en trinformet form. Dette gøres gennem elementære transformationer. De omfatter:

• omarrangering af strenge;
• Tilføjelse af endnu en linje til en linje, om nødvendigt ganget med et tal (du kan også udføre en subtraktionsoperation).

Lad os overveje elementære transformationer for at løse et specifikt problem. Figuren nedenfor viser matrix A, som skal reduceres til en trinvis form.

For at løse problemet følger vi algoritmen:

• Det er praktisk at udføre transformationer på en matrix meddet første element i øverste venstre hjørne (dvs. det "ledende" element) er 1 eller -1. I vores tilfælde er det første element i den øverste række 2, så lad os bytte den første og anden række.
• Lad os udføre subtraktionsoperationer, der påvirker række 2, 3 og 4. Vi skulle få nuller i den første kolonne under det "ledende" element. For at opnå dette resultat: fra elementerne i linje nr. 2 trækker vi sekventielt elementerne i linje nr. 1, ganget med 2; fra elementerne i linje nr. 3 trækker vi sekventielt elementerne i linje nr. 1, ganget med 4; fra elementerne i linje nr. 4 trækker vi sekventielt elementerne i linje nr. 1.
• Dernæst vil vi arbejde med en trunkeret matrix (uden kolonne 1 og uden række 1). Det nye "ledende" element, der står i skæringspunktet mellem den anden kolonne og den anden række, er lig med -1. Der er ingen grund til at omarrangere linjerne, så vi omskriver den første kolonne og den første og anden række uden ændringer. Lad os udføre subtraktionsoperationer for at få nuller i den anden kolonne under det "ledende" element: fra elementerne i den tredje linje trækker vi sekventielt elementerne i den anden linje, ganget med 3; trække elementerne i den anden linje ganget med 2 fra elementerne i den fjerde linje.
• Det er tilbage at ændre den sidste linje. Fra dens elementer trækker vi successivt elementerne i den tredje række. Således fik vi en trinvis matrix.

Reduktion af matricer til en trinform bruges til at løse systemer af lineære ligninger (SLE) ved Gauss-metoden. Før vi ser på denne metode, lad os forstå nogle af termerne relateret til SLN.

Matricer og systemer af lineære ligninger

Matricer bruges i forskellige videnskaber. Ved hjælp af t altabeller kan du for eksempel løse lineære ligninger kombineret til et system ved hjælp af Gauss-metoden. Lad os først stifte bekendtskab med et par termer og deres definitioner, og også se, hvordan en matrix dannes ud fra et system, der kombinerer flere lineære ligninger.

SLU – flere kombinerede algebraiske ligninger med ukendte første potens og ingen produktudtryk.

SLE-løsning – fundet værdier af ukendte, der erstatter hvilke ligningerne i systemet bliver til identiteter.

En fælles SLE er et ligningssystem, der har mindst én løsning.

Inconsistent SLE er et ligningssystem, der ikke har nogen løsninger.

Hvordan dannes en matrix baseret på et system, der kombinerer lineære ligninger? Der er sådanne begreber som systemets hoved- og udvidede matricer. For at få systemets hovedmatrix er det nødvendigt at indsætte alle koefficienterne for de ukendte i tabellen. Den udvidede matrix opnås ved at tilføje en kolonne med frie udtryk til hovedmatricen (den inkluderer kendte elementer, som hver ligning i systemet er sidestillet med). Du kan forstå hele denne proces ved at studere billedet nedenfor.

Det første, vi ser på billedet, er et system, der inkluderer lineære ligninger. Dens elementer: a_ij – numeriske koefficienter, x_j – ukendte værdier, b_i – konstante led (hvor i=1, 2, …, m og j=1, 2, …, n). Det andet element i billedet er hovedmatrixen af koefficienter. Fra hver ligning skrives koefficienterne i en række. Som følge heraf er der lige så mange rækker i matricen, som der er ligninger i systemet. Antallet af kolonner er lig med det største antal koefficienter i enhver ligning. Det tredje element i billedet er en udvidet matrix med en kolonne med frie termer.

Generelle oplysninger om Gauss-metoden

I lineær algebra er Gauss-metoden den klassiske måde at løse SLE på. Den bærer navnet Carl Friedrich Gauss, der levede i det 18.-19. århundrede. Dette er en af de største matematikere nogensinde. Essensen af Gauss-metoden er at udføre elementære transformationer på et system af lineære algebraiske ligninger. Ved hjælp af transformationer reduceres SLE til et ækvivalent system af en trekantet (trindelt) form, hvorfra alle variable kan findes.

Det er værd at bemærke, at Carl Friedrich Gauss ikke er opdageren af den klassiske metode til at løse et system af lineære ligninger. Metoden blev opfundet meget tidligere. Dens første beskrivelse findes i encyklopædi af viden om gamle kinesiske matematikere, kaldet "Matematik i 9 bøger".

Et eksempel på løsning af SLE ved Gauss-metoden

Lad os overveje løsningen af systemer ved Gauss-metoden på et specifikt eksempel. Vi vil arbejde med SLU vist på billedet.

Løsningsalgoritme:

1. Vi vil reducere systemet til en trinform ved direkte flytning af Gauss-metoden, men førstvi vil sammensætte en udvidet matrix af numeriske koefficienter og gratis medlemmer.
2. For at løse matricen ved hjælp af Gauss-metoden (dvs. bringe den til en trinvis form) fra elementerne i den anden og tredje række trækker vi sekventielt elementerne i den første række. Vi får nuller i den første kolonne under det "ledende" element. Dernæst vil vi ændre den anden og tredje linje på steder for nemheds skyld. Tilføj elementerne i den sidste række til elementerne i den sidste række i rækkefølge, ganget med 3.
3. Som et resultat af beregningen af matricen ved Gauss-metoden fik vi en trinvis række af elementer. Ud fra det vil vi sammensætte et nyt system af lineære ligninger. Ved det omvendte forløb af Gauss-metoden finder vi værdierne af de ukendte udtryk. Det kan ses af den sidste lineære ligning, at x₃ er lig med 1. Vi erstatter denne værdi i den anden linje i systemet. Du får ligningen x₂ – 4=–4. Det følger, at x₂ er lig med 0. Indsæt x₂ og x₃ i systemets første ligning: x1 _{+ 0 +3=2. Det ukendte udtryk er -1.}

Svar: ved at bruge matrixen, den Gaussiske metode, fandt vi værdierne af de ukendte; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan-metoden

I lineær algebra er der også sådan noget som Gauss-Jordan-metoden. Det betragtes som en modifikation af Gauss-metoden og bruges til at finde den inverse matrix, beregne ukendte udtryk for kvadratiske systemer af algebraiske lineære ligninger. Gauss-Jordan metoden er praktisk, fordi den tillader at løse SLE i et trin (uden brug af direkte og omvendtetræk).

Lad os starte med udtrykket "invers matrix". Antag, at vi har en matrix A. Den inverse for den vil være matrixen A^-1, mens betingelsen nødvendigvis er opfyldt: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, dvs. produktet af disse matricer er lig med identitetsmatrixen (elementerne i identitetsmatricens hoveddiagonal er etaller, og de resterende elementer er nul).}

En vigtig nuance: I lineær algebra er der en sætning om eksistensen af en invers matrix. En tilstrækkelig og nødvendig betingelse for eksistensen af matrixen A^-1 er, at matrixen A er ikke-singular.

Grundlæggende trin, som Gauss-Jordan-metoden er baseret på:

1. Se på den første række i en bestemt matrix. Gauss-Jordan-metoden kan startes, hvis den første værdi ikke er lig med nul. Hvis det første sted er 0, så skift rækkerne, så det første element har en værdi, der ikke er nul (det er ønskeligt, at tallet er tættere på én).
2. Del alle elementer i den første række med det første tal. Du ender med en streng, der starter med én.
3. Fra den anden linje skal du trække den første linje ganget med det første element i den anden linje, dvs. til sidst får du en linje, der starter fra nul. Gør det samme for resten af linjerne. Divider hver linje med dets første ikke-nul-element for at få 1'ere diagon alt.
4. Som et resultat vil du få den øvre trekantede matrix ved hjælp af Gauss - Jordan-metoden. I den er hoveddiagonalen repræsenteret af enheder. Det nederste hjørne er fyldt med nuller, ogøverste hjørne - forskellige værdier.
5. Fra den næstsidste linje trækkes den sidste linje ganget med den nødvendige koefficient. Du bør få en streng med nuller og en. For resten af linjerne skal du gentage den samme handling. Efter alle transformationerne vil identitetsmatrixen blive opnået.

Et eksempel på at finde den inverse matrix ved hjælp af Gauss-Jordan-metoden

For at beregne den inverse matrix skal du skrive den udvidede matrix A|E og udføre de nødvendige transformationer. Lad os overveje et simpelt eksempel. Figuren nedenfor viser matrixen A.

Løsning:

1. Først, lad os finde matrixdeterminanten ved hjælp af Gauss-metoden (det A). Hvis denne parameter ikke er lig med nul, vil matrixen blive betragtet som ikke-singular. Dette vil give os mulighed for at konkludere, at A bestemt har A^-1. For at beregne determinanten transformerer vi matrixen til en trinvis form ved elementære transformationer. Lad os tælle tallet K lig med antallet af rækkepermutationer. Vi ændrede linjerne kun 1 gang. Lad os beregne determinanten. Dens værdi vil være lig med produktet af elementerne i hoveddiagonalen, ganget med (–1)^K. Beregningsresultat: det A=2.
2. Skriv den udvidede matrix ved at tilføje identitetsmatrixen til den originale matrix. Det resulterende array af elementer vil blive brugt til at finde den inverse matrix ved Gauss-Jordan-metoden.
3. Det første element i den første række er lig med én. Dette passer os, fordi der ikke er behov for at omarrangere linjerne og dividere den givne linje med et eller andet tal. Lad os begynde at arbejdemed anden og tredje linje. For at omdanne det første element i den anden række til 0, trækkes den første række ganget med 3 fra den anden række. Træk den første række fra den tredje række (ingen multiplikation påkrævet).
4. I den resulterende matrix er det andet element i den anden række -4, og det andet element i den tredje række er -1. Lad os bytte linjerne for nemheds skyld. Fra tredje række trækkes anden række ganget med 4. Divider anden række med -1 og tredje række med 2. Vi får den øverste trekantede matrix.
5. Lad os trække den sidste linje ganget med 4 fra den anden linje, og den sidste linje ganget med 5 fra den første linje. Derefter trækker vi den anden linje ganget med 2 fra den første linje. På venstre side fik vi identitetsmatrixen. Til højre er den inverse matrix.

Et eksempel på løsning af SLE ved Gauss-Jordan-metoden

Figuren viser et system af lineære ligninger. Det er påkrævet at finde værdierne af ukendte variable ved hjælp af en matrix, Gauss-Jordan-metoden.

Løsning:

1. Lad os skabe en udvidet matrix. For at gøre dette sætter vi koefficienterne og frie termer i tabellen.
2. Løs matrixen ved hjælp af Gauss-Jordan-metoden. Fra linje nr. 2 trækker vi linje nr. 1. Fra linje nr. 3 trækker vi linje nr. 1, tidligere ganget med 2.
3. Skift række 2 og 3.
4. Fra linje 3 træk linje 2 ganget med 2. Divider den resulterende tredje linje med –1.
5. Træk linje 3 fra linje 2.
6. Træk linje 1 fra linje 12 gange -1. På siden fik vi en kolonne bestående af tallene 0, 1 og -1. Ud fra dette konkluderer vi, at x₁=0, x₂=1 og x₃ =–1.

Hvis du ønsker det, kan du kontrollere rigtigheden af løsningen ved at erstatte de beregnede værdier i ligningerne:

• 0 – 1=–1, den første identitet fra systemet er korrekt;
• 0 + 1 + (–1)=0, den anden identitet fra systemet er korrekt;
• 0 – 1 + (–1)=–2, den tredje identitet fra systemet er korrekt.

Konklusion: Ved at bruge Gauss-Jordan-metoden har vi fundet den rigtige løsning på et kvadratisk system, der kombinerer lineære algebraiske ligninger.

Online lommeregnere

Livet for nutidens unge, der studerer på universiteter og studerer lineær algebra, er blevet meget forenklet. For nogle år siden skulle vi selv finde løsninger på systemer ved hjælp af Gauss og Gauss-Jordan metoden. Nogle elever klarede opgaverne med succes, mens andre blev forvirrede i løsningen, lavede fejl, bad klassekammeraterne om hjælp. I dag kan du bruge online lommeregnere, når du laver lektier. For at løse systemer med lineære ligninger, søg efter inverse matricer, er der blevet skrevet programmer, der ikke kun viser de rigtige svar, men også viser fremskridtene med at løse et bestemt problem.

Der er mange ressourcer på internettet med indbyggede online-beregnere. Gaussiske matricer, ligningssystemer løses af disse programmer på få sekunder. Eleverne behøver kun at angive de nødvendige parametre (f.eks. antallet af ligninger,antal variabler).