Polyhedra tiltrak sig opmærksomhed fra matematikere og videnskabsmænd selv i oldtiden. Egypterne byggede pyramiderne. Og grækerne studerede "almindelige polyeder". De kaldes undertiden platoniske faste stoffer. "Traditionelle polyedre" består af flade flader, lige kanter og hjørner. Men hovedspørgsmålet har altid været, hvilke regler disse separate dele skal opfylde, samt hvilke yderligere globale betingelser der skal være opfyldt, for at et objekt kan kvalificeres som et polyeder. Svaret på dette spørgsmål vil blive præsenteret i artiklen.
Problemer i definition
Hvad består denne figur af? Et polyeder er en lukket fast form, der har flade flader og lige kanter. Derfor kan det første problem i dens definition kaldes netop siderne af figuren. Ikke alle ansigter, der ligger i fly, er altid et tegn på et polyeder. Lad os tage den "trekante cylinder" som et eksempel. Hvad består den af? En del af dens overflade tre i parskærende lodrette planer kan ikke betragtes som polygoner. Årsagen er, at den ikke har nogen toppunkter. Overfladen af en sådan figur er dannet på basis af tre stråler, der mødes på et tidspunkt.
Et problem mere - fly. I tilfælde af den "trekante cylinder" ligger den i deres ubegrænsede dele. En figur betragtes som konveks, hvis linjestykket, der forbinder to punkter i sættet, også er i det. Lad os præsentere en af deres vigtige egenskaber. For konvekse sæt er det, at sættet af punkter, der er fælles for sættet, er det samme. Der er en anden slags figurer. Disse er ikke-konvekse 2D polyedre, der enten har indhak eller huller.
Figurer, der ikke er polyedre
Et fladt sæt punkter kan være anderledes (for eksempel ikke-konveks) og ikke opfylde den sædvanlige definition af et polyeder. Selv gennem det er det begrænset af sektioner af linjer. Linjerne i et konveks polyeder består af konvekse figurer. Denne tilgang til definitionen udelukker imidlertid en figur, der går til det uendelige. Et eksempel på dette ville være tre stråler, der ikke mødes på samme punkt. Men samtidig er de forbundet med en anden figurs hjørner. Traditionelt var det vigtigt for et polyeder, at det består af flade overflader. Men med tiden blev konceptet udvidet, hvilket førte til en væsentlig forbedring af forståelsen af den oprindelige "snævrere" klasse af polyedre, samt fremkomsten af en ny, bredere definition.
Korrekt
Lad os introducere endnu en definition. Et regulært polyeder er et, hvor hvert ansigt er en kongruent regulærkonvekse polygoner, og alle hjørner er "ens". Det betyder, at hvert toppunkt har det samme antal regulære polygoner. Brug denne definition. Så du kan finde fem regulære polyedre.
Første trin til Eulers sætning for polyeder
Grækerne kendte til polygonen, som i dag kaldes pentagrammet. Denne polygon kunne kaldes regulær, fordi alle dens sider er lige lange. Der er også en anden vigtig bemærkning. Vinklen mellem to på hinanden følgende sider er altid den samme. Men når det tegnes i et plan, definerer det ikke et konveks sæt, og polyederens sider skærer hinanden. Dette var dog ikke altid tilfældet. Matematikere har længe overvejet ideen om "ikke-konvekse" regulære polyedre. Pentagrammet var en af dem. "Stjernepolygoner" var også tilladt. Flere nye eksempler på "almindelige polyedre" er blevet opdaget. Nu hedder de Kepler-Poinsot polyeder. Senere udvidede G. S. M. Coxeter og Branko Grünbaum reglerne og opdagede andre "almindelige polyedre".
polyedrisk formel
Den systematiske undersøgelse af disse tal begyndte relativt tidligt i matematikkens historie. Leonhard Euler var den første til at bemærke, at en formel, der relaterer antallet af deres spidser, flader og kanter, gælder for konvekse 3D-polyedre.
Hun ser sådan ud:
V + F - E=2, hvor V er antallet af polyedriske hjørner, F er antallet af kanter på polyedrene, og E er antallet af flader.
Leonhard Euler er schweiziskmatematiker, der anses for at være en af de største og mest produktive videnskabsmænd nogensinde. Han har været blind det meste af sit liv, men tabet af synet gav ham en grund til at blive endnu mere produktiv. Der er flere formler opkaldt efter ham, og den, vi lige har set på, kaldes nogle gange Euler polyeder formlen.
Der er én afklaring. Eulers formel virker dog kun for polyedre, der følger visse regler. De ligger i, at formen ikke skal have nogen huller. Og det er uacceptabelt, at den krydser sig selv. Et polyeder kan heller ikke bestå af to dele, der er sat sammen, såsom to terninger med samme toppunkt. Euler nævnte resultatet af sin forskning i et brev til Christian Goldbach i 1750. Senere udgav han to artikler, hvori han beskrev, hvordan han forsøgte at finde bevis for sin nye opdagelse. Faktisk er der former, der giver et andet svar på V + F - E. Svaret på summen F + V - E=X kaldes Euler-karakteristikken. Hun har et andet aspekt. Nogle former kan endda have en Euler-karakteristik, der er negativ
Graph Theory
Nogle gange hævdes det, at Descartes udledte Eulers sætning tidligere. Selvom denne videnskabsmand opdagede fakta om tredimensionelle polyedre, der ville give ham mulighed for at udlede den ønskede formel, tog han ikke dette yderligere skridt. I dag er Euler krediteret med grafteoriens "fader". Han løste problemet med Königsbergbroen ved hjælp af sine ideer. Men videnskabsmanden så ikke på polyederet i sammenhænggrafteori. Euler forsøgte at give et bevis på en formel baseret på nedbrydning af et polyeder i enklere dele. Dette forsøg lever ikke op til moderne standarder for bevis. Selvom Euler ikke gav den første rigtige begrundelse for sin formel, kan man ikke bevise formodninger, der ikke er blevet fremsat. Resultaterne, som senere blev underbygget, gør det dog muligt også at bruge Eulers sætning på nuværende tidspunkt. Det første bevis blev opnået af matematikeren Adrian Marie Legendre.
Bevis for Eulers formel
Euler formulerede først den polyedriske formel som en sætning om polyeder. I dag behandles det ofte i den mere generelle sammenhæng med forbundne grafer. For eksempel som strukturer bestående af punkter og linjestykker, der forbinder dem, som er i samme del. Augustin Louis Cauchy var den første person, der fandt denne vigtige forbindelse. Det tjente som et bevis på Eulers sætning. Han bemærkede i det væsentlige, at grafen for et konveks polyeder (eller hvad der i dag kaldes sådan) er topologisk homøomorf til en kugle, har en plan forbundet graf. Hvad er det? En plan graf er en, der er tegnet i planet på en sådan måde, at dens kanter kun mødes eller skærer hinanden i et toppunkt. Det er her forbindelsen mellem Eulers sætning og grafer blev fundet.
En indikation på vigtigheden af resultatet er, at David Epstein var i stand til at indsamle sytten forskellige beviser. Der er mange måder at retfærdiggøre Eulers polyedriske formel på. På en måde er de mest åbenlyse beviser metoder, der bruger matematisk induktion. Resultatet kan bevisestegne den langs antallet af enten kanter, flader eller spidser på grafen.
Bevis for Rademacher og Toeplitz
Særligt attraktivt er følgende bevis fra Rademacher og Toeplitz, baseret på Von Staudts tilgang. For at retfærdiggøre Eulers sætning, antag, at G er en forbundet graf indlejret i et plan. Hvis den har skemaer, er det muligt at udelukke en kant fra hver af dem på en sådan måde, at egenskaben bevares, så den forbliver forbundet. Der er en en-til-en overensstemmelse mellem de fjernede dele for at gå til den tilsluttede graf uden lukning og dem, der ikke er en uendelig kant. Denne forskning førte til klassificeringen af "orienterbare overflader" i form af den såkaldte Euler-karakteristik.
Jordan-kurve. Sætning
Hovedafhandlingen, som direkte eller indirekte bruges i beviset for polyederformlen i Euler-sætningen for grafer, afhænger af Jordan-kurven. Denne idé er relateret til generalisering. Den siger, at enhver simpel lukket kurve opdeler planet i tre sæt: punkter på det, indeni og udenfor det. Da interessen for Eulers polyedriske formel udviklede sig i det nittende århundrede, blev der gjort mange forsøg på at generalisere den. Denne forskning lagde grundlaget for udviklingen af algebraisk topologi og forbandt den med algebra og t alteori.
Moebius-gruppe
Det blev hurtigt opdaget, at nogle overflader kun kunne "orienteres" på en ensartet måde lok alt, ikke glob alt. Den velkendte Möbius-gruppe tjener som en illustration af sådanneoverflader. Det blev opdaget noget tidligere af Johann Listing. Dette koncept inkluderer begrebet slægten af en graf: det mindste antal deskriptorer g. Det skal tilføjes til overfladen af kuglen, og det kan indlejres på den forlængede overflade på en sådan måde, at kanterne kun mødes i hjørnerne. Det viser sig, at enhver orienterbar overflade i det euklidiske rum kan betragtes som en kugle med et vist antal håndtag.
Euler-diagram
Forskeren gjorde en anden opdagelse, som stadig bruges i dag. Dette såkaldte Euler-diagram er en grafisk repræsentation af cirkler, som norm alt bruges til at illustrere forhold mellem mængder eller grupper. Diagrammerne inkluderer norm alt farver, der blander sig i områder, hvor cirklerne overlapper hinanden. Sæt er repræsenteret præcist af cirkler eller ovaler, selvom andre figurer også kan bruges til dem. En inklusion er repræsenteret af et overlap af ellipser kaldet Euler-cirkler.
De repræsenterer mængder og delmængder. Undtagelsen er ikke-overlappende cirkler. Euler-diagrammer er tæt beslægtede med anden grafisk repræsentation. De er ofte forvirrede. Denne grafiske repræsentation kaldes Venn-diagrammer. Afhængigt af de pågældende sæt kan begge versioner se ens ud. I Venn-diagrammer indikerer overlappende cirkler dog ikke nødvendigvis fællestræk mellem mængder, men kun et muligt logisk forhold, hvis deres etiketter ikke er ikrydsende cirkel. Begge muligheder blev brugt til undervisning i mængdeteori som en del af den nye matematiske bevægelse i 1960'erne.
Fermat og Eulers sætninger
Euler efterlod et mærkbart spor i matematisk videnskab. Algebraisk t alteori blev beriget med en sætning opkaldt efter ham. Det er også en konsekvens af en anden vigtig opdagelse. Dette er den såkaldte generelle algebraiske Lagrange-sætning. Eulers navn er også forbundet med Fermats lille teorem. Den siger, at hvis p er et primtal, og a er et heltal, der ikke er deleligt med p, så:
ap-1 - 1 er deleligt med p.
Nogle gange har den samme opdagelse et andet navn, som oftest findes i udenlandsk litteratur. Det lyder som Fermats julesætning. Sagen er, at opdagelsen blev kendt takket være et brev fra en videnskabsmand sendt aftenen den 25. december 1640. Men selve udsagnet er stødt på før. Det blev brugt af en anden videnskabsmand ved navn Albert Girard. Fermat forsøgte kun at bevise sin teori. Forfatteren antyder i et andet brev, at han var inspireret af metoden med uendelig afstamning. Men han fremlagde ingen beviser. Senere gik Eider også over til samme metode. Og efter ham - mange andre berømte videnskabsmænd, inklusive Lagrange, Gauss og Minkosky.
Funktioner af identiteter
Fermats lille sætning kaldes også et speci altilfælde af en sætning fra t alteori på grund af Euler. I denne teori tæller Euler-identitetsfunktionen positive heltal op til et givet heltal n. De er coprime mhtn. Eulers sætning i t alteori er skrevet med det græske bogstav φ og ligner φ(n). Det kan mere formelt defineres som antallet af heltal k i området 1 ≦ k ≦ n, hvor den største fælles divisor gcd(n, k) er 1. Notation φ(n) kan også kaldes Eulers phi-funktion. Heltal k af denne form kaldes nogle gange totativ. Kernen i t alteorien er Euler-identitetsfunktionen multiplikativ, hvilket betyder, at hvis to tal m og n er coprime, så er φ(mn)=φ(m)φ(n). Det spiller også en nøglerolle i definitionen af RSA-krypteringssystemet.
Euler-funktionen blev introduceret i 1763. Men på det tidspunkt valgte matematikeren ikke noget specifikt symbol for den. I en publikation fra 1784 studerede Euler denne funktion mere detaljeret og valgte det græske bogstav π til at repræsentere den. James Sylvester opfandt udtrykket "total" for denne funktion. Derfor omtales det også som Eulers total. Den samlede φ(n) af et positivt heltal n større end 1 er antallet af positive heltal mindre end n, der er relativt prime op til n.φ(1) er defineret som 1. Euler-funktionen eller phi(φ)-funktionen er en meget vigtig t alteoretik en funktion, der er dybt relateret til primtal og den såkaldte rækkefølge af heltal.
