Polyedre indtager ikke kun en fremtrædende plads i geometrien, men forekommer også i hver persons daglige liv. For ikke at nævne kunstigt skabte husholdningsartikler i form af forskellige polygoner, startende med en tændstikæske og slutter med arkitektoniske elementer, krystaller i form af en terning (s alt), prisme (krystal), pyramide (scheelit), oktaeder (diamant), osv. e.
Begrebet et polyeder, typer af polyeder i geometri
Geometri som videnskab indeholder et afsnit af stereometri, der studerer karakteristika og egenskaber ved tredimensionelle figurer. Geometriske legemer, hvis sider i det tredimensionelle rum er dannet af begrænsede planer (ansigter), kaldes "polyedre". Typer af polyedre omfatter mere end et dusin repræsentanter, der adskiller sig i antallet og formen af ansigter.
Men alle polyedre har fælles egenskaber:
- De har alle 3 væsentlige komponenter: ansigt(overfladen af en polygon), vertex (hjørner dannet ved overgangen mellem flader), kant (siden af en figur eller et segment dannet ved krydset mellem to flader).
- Hver polygonkant forbinder to og kun to flader, der støder op til hinanden.
- Konveksitet betyder, at kroppen kun er fuldstændig placeret på den ene side af det plan, som en af ansigterne ligger på. Reglen gælder for alle overflader af polyhedron. Sådanne geometriske figurer i stereometri kaldes konvekse polyedre. Undtagelsen er stjerneformede polyedre, som er derivater af regulære polyedriske geometriske faste stoffer.
Polyhedra kan betinget opdeles i:
- Typer af konvekse polyedre, bestående af følgende klasser: almindelige eller klassiske (prisme, pyramide, parallelepipedum), regulære (også kaldet platoniske faste stoffer), semi-regulære (andet navn - arkimedeiske faste stoffer).
- Ikke-konvekse polyedre (stjerneformet).
Prism og dets egenskaber
Stereometri som en gren af geometri studerer egenskaberne af tredimensionelle figurer, typer af polyedre (et prisme er et af dem). Et prisme er et geometrisk legeme, der nødvendigvis har to helt identiske flader (de kaldes også baser), der ligger i parallelle planer, og det n-te antal sideflader i form af parallelogrammer. Til gengæld har prismet også flere varianter, herunder sådanne typer polyedre som:
- Parallelepipedum - dannet hvis basen er et parallelogram -polygon med 2 par lige modsatte vinkler og 2 par kongruente modsatte sider.
- Et lige prisme har kanter vinkelrette på bunden.
- Tiltet prisme er kendetegnet ved tilstedeværelsen af ikke-rette vinkler (andre end 90) mellem fladerne og basen.
- Et regulært prisme er kendetegnet ved baser i form af en regulær polygon med lige store sideflader.
Grundlæggende egenskaber for et prisme:
- Kongruente baser.
- Alle kanter af prismet er lige store og parallelle med hinanden.
- Alle sideflader er parallelogramformede.
Pyramid
Pyramid er et geometrisk legeme, som består af en base og n-te antal trekantede flader, forbundet på et punkt - toppen. Det skal bemærkes, at hvis pyramidens sideflader nødvendigvis er repræsenteret af trekanter, så kan basen enten være en trekantet polygon eller en firkant eller en femkant, og så videre ad infinitum. I dette tilfælde vil navnet på pyramiden svare til polygonen ved bunden. For eksempel, hvis en trekant ligger i bunden af en pyramide, er det en trekantet pyramide, en firkant er en firkantet osv.
Pyramider er keglelignende polyedre. Typerne af polyedre i denne gruppe, ud over dem, der er anført ovenfor, omfatter også følgende repræsentanter:
- En regulær pyramide har en regulær polygon ved sin base, og dens højde er projiceret til midtenen cirkel indskrevet i bunden eller omskrevet omkring den.
- En rektangulær pyramide dannes, når en af sidekanterne skærer bunden i en ret vinkel. I dette tilfælde er det også rimeligt at kalde denne kant for pyramidens højde.
Pyramidegenskaber:
- Hvis alle sidekanter af pyramiden er kongruente (af samme højde), så skærer de alle med basen i samme vinkel, og rundt om basen kan du tegne en cirkel med et centrum, der falder sammen med projektionen af toppen af pyramiden.
- Hvis bunden af pyramiden er en regulær polygon, så er alle sidekanter kongruente, og fladerne er ligebenede trekanter.
Regulært polyeder: typer og egenskaber af polyeder
I stereometri er en særlig plads optaget af geometriske legemer med absolut ens flader, ved hvis toppunkter det samme antal kanter er forbundet. Disse faste stoffer kaldes platoniske faste stoffer eller regulære polyedre. Typer af polyedre med sådanne egenskaber har kun fem former:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Regelmæssige polyeder skylder deres navn til den antikke græske filosof Platon, som beskrev disse geometriske kroppe i sine skrifter og forbandt dem med de naturlige elementer: jord, vand, ild, luft. Den femte figur blev tildelt ligheden med universets struktur. Efter hans mening ligner atomerne af naturlige elementer i form typerne af almindelige polyedre. På grund af sin mest spændende ejendom -symmetri var disse geometriske kroppe af stor interesse ikke kun for gamle matematikere og filosoffer, men også for arkitekter, kunstnere og billedhuggere til alle tider. Tilstedeværelsen af kun 5 typer polyedre med absolut symmetri blev betragtet som en grundlæggende opdagelse, de blev endda tildelt en forbindelse med det guddommelige princip.
Hexahedron og dets egenskaber
I form af en sekskant antog Platons efterfølgere en lighed med strukturen af jordens atomer. Naturligvis er denne hypotese på nuværende tidspunkt blevet fuldstændig tilbagevist, hvilket dog ikke forhindrer figurerne i at tiltrække kendte figurers sind med deres æstetik i moderne tid.
I geometri betragtes et hexaeder, også kendt som en terning, som et speci altilfælde af et parallelepipedum, som igen er en slags prisme. Derfor er kubens egenskaber relateret til prismets egenskaber, med den eneste forskel, at alle terningens flader og hjørner er ens med hinanden. Følgende egenskaber følger heraf:
- Alle kanter af terningen er kongruente og ligger i parallelle planer i forhold til hinanden.
- Alle flader er kongruente firkanter (der er 6 i alt i en terning), hvoraf alle kan tages som basis.
- Alle grænsefladevinkler er 90.
- Et lige antal kanter udgår fra hvert toppunkt, nemlig 3.
- Terningen har 9 symmetriakser, som alle skærer hinanden i skæringspunktet mellem sekskantens diagonaler, kaldet symmetricentret.
Tetrahedron
Et tetraeder er et tetraeder med lige store flader i form af trekanter, hvis hjørnerer samlingspunktet for tre flader.
egenskaber ved almindelig tetraeder:
- Alle flader af et tetraeder er ligesidede trekanter, hvilket betyder, at alle flader af et tetraeder er kongruente.
- Da grundfladen er repræsenteret af en regulær geometrisk figur, dvs. den har lige store sider, konvergerer tetraederets flader i samme vinkel, det vil sige, at alle vinkler er lige store.
- Summen af flade vinkler ved hvert af hjørnerne er 180, da alle vinkler er lige store, så er enhver vinkel på et regulært tetraeder 60.
- Hver af hjørnerne er projiceret til skæringspunktet for højderne af den modsatte (orthocenter) flade.
Oktaederet og dets egenskaber
Når man beskriver typerne af regulære polyedre, kan man ikke undgå at bemærke et sådant objekt som et oktaeder, der visuelt kan repræsenteres som to firkantede regulære pyramider limet sammen af baser.
Oktaederets egenskaber:
- Selve navnet på en geometrisk krop antyder antallet af dens ansigter. Oktaederet består af 8 kongruente ligesidede trekanter, i hvert af hjørnerne af hvilke et lige antal flader konvergerer, nemlig 4.
- Da alle flader af et oktaeder er ens, er dets grænsefladevinkler også ens, som hver er lig med 60, og summen af planvinklerne for enhver af hjørnerne er således 240.
Dodecahedron
Hvis vi forestiller os, at alle ansigterne af en geometrisk krop er en regulær femkant, så får vi et dodekaeder -et tal på 12 polygoner.
Dodecahedrons egenskaber:
- Tre ansigter skærer hinanden ved hvert toppunkt.
- Alle flader er lige store og har samme kantlængde og samme areal.
- Dodekaederet har 15 akser og symmetriplaner, og enhver af dem passerer gennem toppen af ansigtet og midten af den modsatte kant.
Icosahedron
Ikke mindre interessant end dodecahedron, figuren af icosahedron er en tredimensionel geometrisk krop med 20 lige store flader. Blandt egenskaberne ved en regulær tyvehedron kan følgende bemærkes:
- Alle flader af icosahedron er ligebenede trekanter.
- Fem flader konvergerer ved hvert toppunkt på polyederet, og summen af de tilstødende vinkler på toppunktet er 300.
- Icosahedron har ligesom dodecahedron 15 akser og symmetriplaner, der passerer gennem midtpunkterne på modsatte flader.
Semi-regulære polygoner
Udover platoniske faste stoffer omfatter gruppen af konvekse polyedre også arkimedeiske faste stoffer, som er afkortede regulære polyedre. Typerne af polyedre i denne gruppe har følgende egenskaber:
- Geometriske legemer har parvis lige store flader af flere typer, for eksempel har et afkortet tetraeder 8 flader, ligesom et regulært tetraeder, men i tilfælde af et arkimedisk fast stof, vil 4 flader være trekantede og 4 vil være sekskantede.
- Alle vinkler på et toppunkt er kongruente.
Stjernepolyeder
Repræsentanter for ikke-volumetriske typer af geometriske legemer er stjerneformede polyedre, hvis ansigter skærer hinanden. De kan dannes ved at fusionere to almindelige 3D solide eller ved at forlænge deres ansigter.
Sådanne stjerneformede polyedre er således kendt som: stjerneformede former for oktaeder, dodekaeder, icosahedron, cuboctahedron, icosododecahedron.
