Geometri er smuk, fordi den i modsætning til algebra, hvor det ikke altid er klart, hvad du tænker og hvorfor, giver synlighed til objektet. Denne vidunderlige verden af forskellige kroppe er dekoreret med almindelige polyedre.
Generelle oplysninger om almindelige polyeder
Regulære polyedre, eller som de også kaldes platoniske faste stoffer, har ifølge mange unikke egenskaber. Adskillige videnskabelige hypoteser er forbundet med disse objekter. Når du begynder at studere disse geometriske legemer, forstår du, at du praktisk t alt intet ved om sådan et begreb som regulære polyeder. Præsentationen af disse genstande i skolen er ikke altid interessant, så mange kan ikke engang huske, hvad de hedder. De fleste husker kun kuben. Ingen af kroppene i geometri er så perfekte som almindelige polyedre. Alle navnene på disse geometriske kroppe stammer fra det antikke Grækenland. De betyder antallet af ansigter: tetrahedron - firesidet, hexahedron - sekssidet, oktaeder - oktaeder, dodekaeder - tolvsidet, icosahedron - tyvesidet. Alle disse geometriske kroppeindtog en vigtig plads i Platons opfattelse af universet. Fire af dem personificerede elementerne eller entiteterne: tetraederet - ild, icosahedron - vand, terningen - jorden, oktaederet - luft. Dodekaederet legemliggjorde alt, hvad der eksisterer. Den blev betragtet som den vigtigste, fordi den var et symbol på universet.
Generalisering af begrebet polyeder
Et polyeder er en samling af et endeligt antal polygoner, således at:
- hver af siderne af en af polygonerne er på samme tid siden af kun én anden polygon på samme side;
- fra hver af polygonerne kan du komme til de andre ved at passere langs polygonerne, der støder op til den.
Polygonerne, der udgør et polyeder, er dets flader, og deres sider er kanter. Polyedres spidser er spidserne af polygonerne. Hvis begrebet en polygon forstås som flade lukkede stiplede linjer, så kommer man frem til én definition af et polyeder. I det tilfælde, hvor dette koncept betyder en del af planet, der er begrænset af stiplede linjer, skal en overflade bestående af polygonale stykker forstås. Et konveks polyeder er et legeme, der ligger på den ene side af et plan, der støder op til dets ansigt.
En anden definition af et polyeder og dets elementer
Et polyeder er en overflade bestående af polygoner, der begrænser et geometrisk legeme. De er:
- ikke-konveks;
- konveks (korrekt og forkert).
Et regulært polyeder er et konveks polyeder med maksimal symmetri. Elementer af regulære polyedre:
- tetraeder: 6 kanter, 4 flader, 5 spidser;
- hexahedron (terning): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- oktaeder: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
Eulers sætning
Det etablerer et forhold mellem antallet af kanter, hjørner og flader, der topologisk svarer til en kugle. Ved at tilføje antallet af hjørner og flader (B + D) af forskellige regulære polyedre og sammenligne dem med antallet af kanter, kan et mønster etableres: summen af antallet af flader og spidser er lig med antallet af kanter (P) øget med 2. Du kan udlede en simpel formel:
B + D=R + 2
Denne formel er sand for alle konvekse polyedre.
Grundlæggende definitioner
Begrebet et regulært polyeder kan ikke beskrives i én sætning. Det er mere meningsfuldt og omfangsrigt. For at et organ kan anerkendes som sådan, skal det opfylde en række definitioner. Så et geometrisk legeme vil være et regulært polyeder, hvis følgende betingelser er opfyldt:
- det er konveks;
- det samme antal kanter konvergerer ved hvert af dets hjørner;
- alle dens flader er regulære polygoner, lig med hinanden;
- alle dens dihedriske vinkler er ens.
egenskaber ved almindelige polyeder
Der er 5 forskellige typer almindelige polyedre:
- Terning (hexahedron) - den har en flad vinkel på toppen er 90°. Den har en 3-sidet vinkel. Summen af de flade vinkler i toppen er 270°.
- Tetraeder - flad vinkel i toppen - 60°. Den har en 3-sidet vinkel. Summen af flade vinkler i toppen er 180°.
- Octahedron - flad topvinkel - 60°. Den har et 4-sidet hjørne. Summen af flade vinkler i toppen er 240°.
- Dodecahedron - flad vinkel ved toppunktet 108°. Den har en 3-sidet vinkel. Summen af flade vinkler i toppen er 324°.
- Icosahedron - den har en flad vinkel i toppen - 60°. Den har en 5-sidet vinkel. Summen af flade vinkler i toppen er 300°.
Areal med regulære polyeder
Overfladearealet af disse geometriske legemer (S) beregnes som arealet af en regulær polygon ganget med antallet af dens flader (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Volumen af et regulært polyeder
Denne værdi beregnes ved at gange volumenet af en regulær pyramide, ved hvis basis der er en regulær polygon, med antallet af flader, og dens højde er radius af den indskrevne kugle (r):
V=1: 3rS
Bind af regulære polyeder
Som enhver anden geometrisk krop har almindelige polyedre forskellige volumener. Nedenfor er formlerne, som du kan beregne dem med:
- tetraeder: α x 3√2: 12;
- oktaeder: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexahedron (terning): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementer af regulære polyeder
Hexahedron og octahedron er dobbelte geometriske legemer. Med andre ord kan de opnås fra hinanden, hvis tyngdepunktet af den ene ansigt tages som toppunktet på den anden, og omvendt. icosahedron og dodecahedron er også dobbelte. Kun tetraederet er dobbelt med sig selv. Ifølge Euklid-metoden kan du få et dodekaeder fra et sekskant ved at bygge "tage" på flader af en terning. Hjørnerne af et tetraeder vil være alle 4 spidser af en terning, der ikke støder op i par langs en kant. Fra sekskantet (terningen) kan du få andre almindelige polyeder. På trods af at der er utallige regulære polygoner, er der kun 5 regulære polyedre.
Radius af regulære polygoner
Der er 3 koncentriske kugler forbundet med hver af disse geometriske legemer:
- beskrevet, passerer gennem sine tinder;
- indskrevet, rørende ved hver af dens ansigter i midten;
- median, rørende alle kanter i midten.
Radien af den beskrevne kugle beregnes ved hjælp af følgende formel:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Radien af en indskrevet kugle beregnes af formlen:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
hvor θ er den dihedriske vinkel mellem tilstødende flader.
Radius af mediankuglen kan beregnes ved hjælp af følgende formel:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
hvor h-værdi=4, 6, 6, 10 eller 10. Forholdet mellem omskrevne og indskrevne radier er symmetrisk i forhold til p og q. Detberegnet med formlen:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symmetri of polyedra
Symmetrien af regulære polyedre forårsager hovedinteressen for disse geometriske legemer. Det forstås som en sådan bevægelse af kroppen i rummet, som efterlader det samme antal hjørner, flader og kanter. Med andre ord, under påvirkning af en symmetritransformation bevarer en kant, et toppunkt, en flade enten sin oprindelige position eller flytter sig til den oprindelige position af en anden kant, toppunkt eller flade.
Elementer af symmetri af regulære polyedre er karakteristiske for alle typer af sådanne geometriske legemer. Her taler vi om en identisk transformation, der efterlader et hvilket som helst af punkterne i sin oprindelige position. Så når du roterer et polygon alt prisme, kan du få flere symmetrier. Enhver af dem kan repræsenteres som et produkt af refleksioner. En symmetri, der er produktet af et lige antal refleksioner, kaldes en ret linje. Hvis det er produktet af et ulige antal refleksioner, kaldes det invers. Alle rotationer omkring en linje er således direkte symmetri. Enhver refleksion af et polyeder er en invers symmetri.
For bedre at forstå symmetrielementerne i regulære polyedre kan vi tage eksemplet med et tetraeder. Enhver lige linje, der vil passere gennem et af hjørnerne og midten af denne geometriske figur, vil også passere gennem midten af ansigtet modsat den. Hver af 120° og 240° drejningerne rundt om linjen er flertal.symmetri af tetraederet. Da den har 4 hjørner og 4 flader, er der kun otte direkte symmetrier. Enhver af linjerne, der går gennem midten af kanten, og midten af denne krop passerer gennem midten af dens modsatte kant. Enhver 180° rotation, kaldet en halv omgang, omkring en lige linje er en symmetri. Da tetraederet har tre par kanter, er der yderligere tre direkte symmetrier. Baseret på det foregående kan vi konkludere, at det samlede antal direkte symmetrier, inklusive den identiske transformation, vil nå tolv. Tetraederet har ingen andre direkte symmetrier, men det har 12 omvendte symmetrier. Derfor er tetraederet karakteriseret ved i alt 24 symmetrier. For klarhedens skyld kan du bygge en model af et regulært tetraeder af pap og sikre dig, at denne geometriske krop virkelig kun har 24 symmetrier.
Dodecahedron og icosahedron er tættest på kroppens sfære. Ikosaederet har det største antal flader, den største dihedrale vinkel og kan presses tættest mod en indskrevet kugle. Dodekaederet har den mindste vinkeldefekt, den største rumvinkel ved toppunktet. Han kan fylde sin beskrevne sfære maksim alt.
Sweps of polyedra
Almindelige uindpakkede polyeder, som vi alle limede sammen i barndommen, har mange begreber. Hvis der er en samling af polygoner, hvor hver side kun er identificeret med den ene side af polyederet, skal identifikationen af siderne opfylde to betingelser:
- fra hver polygon kan du gå over polygoner, der haridentificeret side;
- identificerede sider skal have samme længde.
Det er det sæt af polygoner, der opfylder disse betingelser, som kaldes polyederens udvikling. Hver af disse organer har flere af dem. Så f.eks. har en terning 11 af dem.
