Prism er et polyeder eller polyeder, som studeres i skoleforløbet i solid geometri. En af de vigtige egenskaber ved dette polyeder er dets volumen. Lad os i artiklen overveje, hvordan denne værdi kan beregnes, og også give formlerne for rumfanget af prismer - regulær firkantet og sekskantet.
prisme i stereometri
Denne figur forstås som et polyeder, der består af to identiske polygoner placeret i parallelle planer og af flere parallelogrammer. For visse typer prismer kan parallelogrammer repræsentere rektangulære firkanter eller firkanter. Nedenfor er et eksempel på et såkaldt femkantet prisme.
For at bygge en figur som i figuren ovenfor, skal du tage en femkant og udføre dens parallelle overførsel til en vis afstand i rummet. Ved at forbinde siderne af to femkanter ved hjælp af parallelogrammer får vi det ønskede prisme.
Hvert prisme består af flader, spidser og kanter. Prismets hjørneri modsætning til pyramiden, er ens, hver af dem refererer til en af de to baser. Flader og kanter er af to typer: dem, der hører til baserne, og dem, der hører til siderne.
Prismer er af flere typer (korrekte, skrå, konvekse, lige, konkave). Lad os senere i artiklen overveje, hvilken formel volumenet af et prisme beregnes under hensyntagen til figurens form.
Generelt udtryk til bestemmelse af volumen af et prisme
Uanset hvilken type figuren, der undersøges, tilhører, om den er lige eller skrå, regulær eller uregelmæssig, er der et universelt udtryk, der giver dig mulighed for at bestemme dens volumen. Volumenet af en rumlig figur er det område af rummet, der er indesluttet mellem dens ansigter. Den generelle formel for rumfanget af et prisme er:
V=So × h.
Her repræsenterer So arealet af basen. Det skal huskes, at vi taler om ét grundlag, og ikke om to. h-værdien er højden. Højden af den undersøgte figur forstås som afstanden mellem dens identiske baser. Hvis denne afstand falder sammen med længderne af sideribberne, så taler man om et lige prisme. I en lige figur er alle sider rektangler.
Hvis et prisme er skråt og har en uregelmæssig basispolygon, bliver det mere kompliceret at beregne dets volumen. Hvis tallet er lige, reduceres beregningen af volumen kun til at bestemme arealet af basen So.
Bestemmelse af volumen for en almindelig figur
Regulært er ethvert prisme, der er lige og har en polygonal base med sider og vinkler lig med hinanden. For eksempel er sådanne regulære polygoner en firkant og en ligesidet trekant. Samtidig er en rombe ikke en regulær figur, da ikke alle dens vinkler er lige store.
Formlen for volumen af et regulært prisme følger utvetydigt af det generelle udtryk for V, som blev skrevet i artiklens forrige afsnit. Før du fortsætter med at skrive den tilsvarende formel, er det nødvendigt at bestemme arealet af den korrekte base. Uden at gå ind i matematiske detaljer præsenterer vi formlen til bestemmelse af det angivne område. Den er universel for enhver almindelig n-gon og har følgende form:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Som du kan se af udtrykket, er området Sn en funktion af to parametre. Et heltal n kan tage værdier fra 3 til uendelig. Værdien a er længden af siden af n-gon.
For at beregne rumfanget af en figur er det kun nødvendigt at gange arealet S med højden h eller med længden af sidekanten b (h=b). Som et resultat når vi frem til følgende arbejdsformel:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Bemærk, at for at bestemme rumfanget af et prisme af en vilkårlig type, skal du kende flere størrelser (længder af siderne af basen, højde, dihedriske vinkler af figuren), men for at beregne værdien V af et regulært prisme, behøver vi kun at kende to lineære parametre, f.eks. a og h.
Volumen af et firkantet regulært prisme
Et firkantet prisme kaldes et parallelepipedum. Hvis alle dens flader er lige store og er firkanter, vil en sådan figur være en terning. Hver elev ved, at volumenet af et rektangulært parallelepipedum eller terning bestemmes ved at gange dets tre forskellige sider (længde, højde og bredde). Denne kendsgerning følger af det skriftlige generelle bindudtryk for en regulær figur:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Her er cotangensen på 45° lig med 1. Bemærk, at ligheden mellem højden h og længden af siden af basen a automatisk fører til formlen for rumfanget af en terning.
Volumen af sekskantet regulært prisme
Anvend nu ovenstående teori til at bestemme volumenet af en figur med en sekskantet base. For at gøre dette skal du blot erstatte værdien n=6 i formlen:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Det skrevne udtryk kan opnås uafhængigt uden at bruge den universelle formel for S. For at gøre dette skal du opdele den regulære sekskant i seks ligesidede trekanter. Siden af hver af dem vil være lig med a. Arealet af en trekant svarer til:
S3=√3/4 × a2.
Ved at gange denne værdi med antallet af trekanter (6) og med højden får vi ovenstående formel for volumen.
