Indskrevet firkant i en cirkel. Firkantet ABCD er indskrevet i en cirkel

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Med opdelingen af matematik i algebra og geometri bliver undervisningsmaterialet sværere. Nye figurer og deres særlige tilfælde dukker op. For at forstå materialet godt, er det nødvendigt at studere begreber, egenskaber ved objekter og relaterede teoremer.

Generelle begreber

En firkant betyder en geometrisk figur. Den består af 4 punkter. Desuden er 3 af dem ikke placeret på samme lige linje. Der er segmenter, der forbinder de angivne punkter i serie.

Alle firkanter studeret i skolens geometrikursus er vist i følgende diagram. Konklusion: ethvert objekt fra den præsenterede figur har egenskaberne fra den forrige figur.

En firkant kan være af følgende typer:

Parallelogram. Parallellen af dens modsatte sider bevises af de tilsvarende sætninger.
Trapeze. En firkant med parallelle baser. Det er de to andre partier ikke.
Rektangel. En figur, der har alle 4 hjørner=90º.
Rhombus. En figur med alle sider ens.
Kvadrat. Kombinerer egenskaberne for de sidste to figurer. Den har alle sider lige, og alle vinkler er rette.

Hoveddefinitionen af dette emne er en firkant indskrevet i en cirkel. Den består i det følgende. Dette er en figur, som en cirkel er beskrevet omkring. Det skal passere gennem alle hjørner. De indre vinkler af en firkant indskrevet i en cirkel summerer til 360º.

Ikke alle firkanter kan indskrives. Dette skyldes, at de vinkelrette halveringslinjer på de 4 sider måske ikke skærer hinanden på et punkt. Dette vil gøre det umuligt at finde midten af en cirkel, der omgiver en 4-gon.

Særtilfælde

Der er undtagelser fra alle regler. Så i dette emne er der også særlige tilfælde:

Et parallelogram kan som sådan ikke indskrives i en cirkel. Kun hans særlige tilfælde. Det er et rektangel.
Hvis alle hjørner af en rombe er på den omskrivende linje, så er det en firkant.
Alle hjørner af trapezformen er på grænsen af cirklen. I dette tilfælde taler de om en ligebenet figur.

egenskaber for en indskrevet firkant i en cirkel

Før du løser simple og komplekse problemer om et givet emne, skal du bekræfte din viden. Uden at studere undervisningsmaterialet er det umuligt at løse et enkelt eksempel.

Sætning 1

Summen af de modsatte vinkler af en firkant indskrevet i en cirkel er 180º.

egenskaber for en indskrevet firkant i en cirkel

Proof

Givet: firkant ABCD er indskrevet i en cirkel. Dens centrum er punkt O. Vi skal bevise, at _<A + _<C=180º og _< B + _<D=180º.

Behov for at overveje de præsenterede tal.

_{<A er indskrevet i en cirkel centreret i punktet O. Den måles gennem ½ BCD (halv bue).}

_{<C er indskrevet i den samme cirkel. Den måles gennem ½ DÅRLIG (halvbue).}
BAD og BCD danner en hel cirkel, dvs. deres størrelse er 360º.

_<A + _{<C er lig med halvdelen af summen af de repræsenterede halvbuer.}

Derfor _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

vinkler af en firkant indskrevet i en cirkel

På lignende måde er beviset for _<B og _{<D. Der er dog en anden løsning på problemet.}

Det er kendt, at summen af de indre vinkler af en firkant er 360º.

Fordi _<A + _<C=180º. Derfor _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Sætning 2

(Det kaldes ofte invers) Hvis i en firkant _<A + _<C=180º og _{<B +} <_{D=180º (hvis de er modsat), så kan en cirkel beskrives omkring en sådan figur.}

Proof

Summen af modsatte vinkler af firkant ABCD lig med 180º er givet. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Vi skal bevise, at en cirkel kan omskrives omkring ABCD.}

Fra geometrikurset er det kendt, at en cirkel kan tegnes gennem 3 punkter af en firkant. For eksempel kan du bruge punkterne A, B, C. Hvor vil punkt D ligge? Der er 3 gæt:

Hun ender inde i cirklen. I dette tilfælde rører D ikke linjen.
Uden for cirklen. Hun træder langt ud over den skitserede linje.
Det viser sig på en cirkel.

Det skal antages, at D er inde i cirklen. Pladsen for det angivne toppunkt er optaget af D´. Det viser sig, at firkantet ABCD´.

Resultatet er:_<B + _<D´=2d.

Hvis vi fortsætter AD´ til skæringspunktet med den eksisterende cirkel centreret i punkt E og forbinder E og C, får vi en indskrevet firkant ABCE. Fra den første sætning følger ligheden:

I henhold til geometriens love er udtrykket ikke gyldigt, fordi _<D´ er det ydre hjørne af trekanten CD´E. Derfor bør den være mere end _{<E. Ud fra dette kan vi slutte, at D enten skal være på cirklen eller uden for den.}

På samme måde kan den tredje antagelse bevises forkert, når D´´ går ud over grænsen for den beskrevne figur.

Fra to hypoteser følger den eneste rigtige. Toppunktet D er placeret på cirkellinjen. Med andre ord falder D sammen med E. Det følger heraf, at alle punkter i firkanten er placeret på den beskrevne linje.

Fra disseto sætninger, følgerne følger:

Ethvert rektangel kan indskrives i en cirkel. Der er en anden konsekvens. En cirkel kan omskrives omkring ethvert rektangel

Trapez med lige store hofter kan indskrives i en cirkel. Med andre ord lyder det sådan: en cirkel kan beskrives omkring en trapez med lige kanter

Flere eksempler

Opgave 1. Firkant ABCD er indskrevet i en cirkel. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Skal finde _{<ABD. Svaret skal skrives i grader.}

Beslutning. I starten kan det virke svært at finde svaret.

1. Du skal huske egenskaberne fra dette emne. Nemlig: summen af modsatte vinkler=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

I geometri er det bedre at holde fast i princippet: find alt, hvad du kan. Nyttigt senere.

2. Næste trin: brug trekantssumsætningen.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD og _{<ACD er indskrevet. Efter betingelse er de afhængige af én bue. Derfor har de samme værdier:}

_<ABD=_<ACD=70º

Svar: _<ABD=70º.

Opgave 2. BCDE er en indskrevet firkant i en cirkel. _<B=69º, _<C=84º. Cirklens centrum er punktet E. Find - _<E.

Beslutning.

Need to find _{<E af sætning 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Svar: _{< E=96º.}

Opgave 3. Givet en firkant indskrevet i en cirkel. Dataene er vist på figuren. Det er nødvendigt at finde ukendte værdier x, y, z.

Løsning:

z=180º – 93º=87º (ved sætning 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (ved sætning 1)

Svar: z=87º, x=82º, y=98º.

Opgave 4. Der er en firkant indskrevet i en cirkel. Værdierne er vist på figuren. Find x, y.

Løsning:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Svar: x=100º, y=109º.

Problemer med uafhængig løsning

Eksempel 1. Givet en cirkel. Dens centrum er punkt O. AC og BD er diametre. _<ACB=38º. Skal finde _{<AOD. Svar skal gives i grader.}

Eksempel 2. Givet en firkant ABCD og en cirkel afgrænset omkring den. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Find _{<CAD. Skriv dit svar i grader.}

Eksempel 3. Givet en cirkel og en indskrevet firkant ABCD. Dens to vinkler er 82º og58º. Du skal finde den største af de resterende vinkler og skrive svaret ned i grader.

Eksempel 4. Firkant ABCD er givet. Vinklerne A, B, C er givet i forholdet 1:2:3. Det er nødvendigt at finde vinklen D, hvis den angivne firkant kan indskrives i en cirkel. Svar skal gives i grader.

Eksempel 5. Firkant ABCD er givet. Dens sider danner buer af den omskrevne cirkel. Gradværdierne AB, BC, CD og AD er henholdsvis: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Du bør finde _{<Fra den givne firkant og skrive svaret ned i grader.}