Planimetri er en gren af geometri, der studerer egenskaberne af plane figurer. Disse omfatter ikke kun velkendte trekanter, firkanter, rektangler, men også lige linjer og vinkler. I planimetri er der også sådanne begreber som vinkler i en cirkel: central og indskrevet. Men hvad betyder de?
Hvad er den centrale vinkel?
For at forstå, hvad en central vinkel er, skal du definere en cirkel. En cirkel er en samling af alle punkter, der er lige langt fra et givet punkt (cirklens centrum).
Det er meget vigtigt at skelne det fra en cirkel. Det skal huskes, at en cirkel er en lukket linje, og en cirkel er en del af et plan afgrænset af den. En polygon eller en vinkel kan indskrives i en cirkel.
En midtervinkel er en vinkel, hvis toppunkt falder sammen med cirklens centrum, og hvis sider skærer cirklen i to punkter. Den bue, som vinklen begrænser af skæringspunkter, kaldes den bue, som den givne vinkel hviler på.
Tænk på eksempel 1.
På billedet er vinklen AOB central, fordi vinklens toppunkt og cirklens centrum er ét punkt O. Den hviler på buen AB, som ikke indeholder punktet C.
Hvordan adskiller en indskrevet vinkel sig fra en central?
Men udover de centrale er der også indskrevne vinkler. Hvad er deres forskel? Ligesom den centrale, hviler vinklen indskrevet i en cirkel på en bestemt bue. Men dens toppunkt falder ikke sammen med midten af cirklen, men ligger på den.
Lad os tage følgende eksempel.
Vinkel ACB kaldes en vinkel indskrevet i en cirkel, der er centreret i punktet O. Punkt C hører til cirklen, dvs. ligger på den. Vinklen hviler på buen AB.
Hvad er den centrale vinkel
For at kunne klare problemer i geometri, er det ikke nok at kunne skelne mellem indskrevne og centrale vinkler. For at løse dem skal du som regel vide præcis, hvordan du finder den centrale vinkel i en cirkel og være i stand til at beregne dens værdi i grader.
Så den centrale vinkel er lig med gradmålet for den bue, den hviler på.
På billedet hviler vinklen AOB på buen AB lig med 66°. Så vinklen AOB er også lig med 66°.
Således er de centrale vinkler baseret på lige store buer ens.
I figuren er bue DC lig med bue AB. Så vinkel AOB er lig med vinkel DOC.
Sådan finder du en indskrevet vinkel
Det kan se ud som om vinklen indskrevet i cirklen er lig med den centrale vinkel,som er afhængig af den samme bue. Dette er dog en grov fejl. Faktisk, selv om du bare ser på tegningen og sammenligner disse vinkler med hinanden, kan du se, at deres gradmål vil have forskellige værdier. Så hvad er vinklen indskrevet i cirklen?
Gradmålet for en indskrevet vinkel er den ene halvdel af den bue, den hviler på, eller halvdelen af den centrale vinkel, hvis de er afhængige af den samme bue.
Lad os overveje et eksempel. Vinkel ACB er baseret på en bue lig med 66°.
Så vinklen DIA=66°: 2=33°
Lad os overveje nogle konsekvenser af denne sætning.
- Indskrevne vinkler, hvis de er baseret på den samme bue, akkord eller lige store buer, er ens.
- Hvis de indskrevne vinkler er baseret på den samme korde, men deres toppunkter ligger på modsatte sider af den, er summen af gradmålene for sådanne vinkler 180°, da begge vinkler i dette tilfælde er baseret på buer, hvis samlede gradmål er 360° (hel cirkel), 360°: 2=180°
- Hvis den indskrevne vinkel er baseret på diameteren af den givne cirkel, er dens gradmål 90°, da diameteren ligger under en bue lig med 180°, 180°: 2=90°
- Hvis de centrale og indskrevne vinkler i en cirkel er baseret på den samme bue eller akkord, så er den indskrevne vinkel lig med halvdelen af den centrale vinkel.
Hvor kan problemer om dette emne findes? Deres typer og løsninger
Da cirklen og dens egenskaber er en af de vigtigste sektioner af geometri, især planimetri, er de indskrevne og centrale vinkler i cirklen et emne, der er bredt og detaljeretstuderet i skolens læseplan. Opgaver, der er afsat til deres egenskaber, findes i hovedstatseksamenen (OGE) og unified state-eksamenen (USE). For at løse disse problemer bør du som regel finde vinklerne på cirklen i grader.
Vinkler baseret på den samme bue
Denne type problemer er måske en af de nemmeste, da du for at løse den kun behøver at kende to simple egenskaber: hvis begge vinkler er indskrevet og læner sig op af den samme akkord, er de ens, hvis en af dem er central, så er den tilsvarende indskrevne vinkel lig med halvdelen af den. Men når man løser dem, skal man være ekstremt forsigtig: nogle gange er det svært at bemærke denne egenskab, og studerende, når de løser så simple problemer, kommer til en blindgyde. Overvej et eksempel.
Problem 1
Givet en cirkel centreret i punktet O. Vinkel AOB er 54°. Find gradmålet for vinklen DIA.
Denne opgave løses i ét trin. Det eneste du skal bruge for at finde svaret på det hurtigt er at bemærke, at den bue, som begge hjørner hviler på, er en almindelig bue. Når du ser dette, kan du anvende den allerede velkendte ejendom. Vinkel ACB er halvdelen af vinklen AOB. Så
1) AOB=54°: 2=27°.
Svar: 54°.
Vinkler baseret på forskellige buer af samme cirkel
Nogle gange er størrelsen af den bue, som den krævede vinkel hviler på, ikke direkte specificeret i betingelserne for problemet. For at kunne beregne det, skal du analysere størrelsen af disse vinkler og sammenligne dem med de kendte egenskaber for cirklen.
Problem 2
I en cirkel centreret ved O, vinkel AOCer 120°, og vinklen AOB er 30°. Find hjørnet DIG.
Til at begynde med er det værd at sige, at det er muligt at løse dette problem ved at bruge egenskaberne for ligebenede trekanter, men dette vil kræve flere matematiske operationer. Derfor vil vi her analysere løsningen ved hjælp af egenskaberne for centrale og indskrevne vinkler i en cirkel.
Så, vinklen AOC hviler på buen AC og er central, hvilket betyder at buen AC er lig med vinklen AOC.
AC=120°
På samme måde hviler vinklen AOB på buen AB.
AB=30°.
Ved dette og gradmålet for hele cirklen (360°), kan du nemt finde størrelsen af buen f. Kr..
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Hovedpunktet af vinkel CAB, punkt A, ligger på cirklen. Derfor er vinklen CAB indskrevet og lig med halvdelen af buen CB.
CAB-vinkel=210°: 2=110°
Svar: 110°
Problemer baseret på bueforhold
Nogle problemer indeholder slet ikke data om vinkler, så de skal kun søges baseret på kendte sætninger og egenskaber for en cirkel.
Problem 1
Find vinklen indskrevet i en cirkel, der understøttes af en korde, der er lig med radius af den givne cirkel.
Hvis du ment alt tegner linjer, der forbinder enderne af segmentet med midten af cirklen, får du en trekant. Efter at have undersøgt det, kan du se, at disse linjer er radierne af cirklen, hvilket betyder, at alle sider af trekanten er lige store. Vi ved, at alle vinkler i en ligesidet trekanter lig med 60°. Derfor er buen AB, der indeholder trekantens toppunkt, lig med 60°. Herfra finder vi buen AB, som den ønskede vinkel er baseret på.
AB=360° - 60°=300°
Angle ABC=300°: 2=150°
Svar: 150°
Problem 2
I en cirkel centreret i punktet O, er buerne relateret til 3:7. Find den mindre indskrevne vinkel.
For løsningen betegner vi den ene del som X, så er den ene bue lig med 3X, og den anden henholdsvis 7X. Når vi ved, at gradmålet for en cirkel er 360°, kan vi skrive en ligning.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
I henhold til tilstanden skal du finde en mindre vinkel. Det er klart, at hvis værdien af vinklen er direkte proportional med den bue, den hviler på, så svarer den påkrævede (mindre) vinkel til en bue lig med 3X.
Så den mindre vinkel er (36°3): 2=108°: 2=54°
Svar: 54°
Problem 3
I en cirkel centreret i punktet O er vinklen AOB 60°, og længden af den mindre bue er 50. Beregn længden af den større bue.
For at beregne længden af en større bue, skal du lave en proportion - hvordan den mindre bue forholder sig til den større. For at gøre dette beregner vi størrelsen af begge buer i grader. Den mindre bue er lig med den vinkel, der hviler på den. Dens gradmål er 60°. Den større bue er lig med forskellen mellem gradmålet for cirklen (den er lig med 360° uanset andre data) og den mindre bue.
Den store bue er 360° - 60°=300°.
Siden 300°: 60°=5, er den større bue 5 gange den mindre.
Stor bue=505=250
Svar: 250
Så der er selvfølgelig andretilgange til at løse lignende problemer, men alle er på en eller anden måde baseret på egenskaberne af centrale og indskrevne vinkler, trekanter og cirkler. For at løse dem med succes skal du omhyggeligt studere tegningen og sammenligne den med dataene i problemet, samt være i stand til at anvende din teoretiske viden i praksis.
