Sekunder, tangenter - alt dette kunne høres hundredvis af gange i geometritimer. Men eksamen fra skolen er forbi, årene går, og al denne viden er glemt. Hvad skal huskes?
Essence
Udtrykket "tangens til en cirkel" er sikkert kendt for alle. Men det er usandsynligt, at alle hurtigt vil være i stand til at formulere sin definition. I mellemtiden er en tangent sådan en lige linje, der ligger i samme plan med en cirkel, der kun skærer den i ét punkt. Der kan være et stort udvalg af dem, men de har alle de samme egenskaber, som vil blive diskuteret nedenfor. Som du måske kan gætte, er kontaktpunktet det sted, hvor cirklen og linjen skærer hinanden. I hvert tilfælde er det én, men hvis der er flere, så vil det være en sekant.
Opdagelses- og studiehistorie
Begrebet en tangent dukkede op i antikken. Konstruktionen af disse lige linjer, først til en cirkel, og derefter til ellipser, parabler og hyperbler ved hjælp af en lineal og et kompas, blev udført selv i de indledende stadier af udviklingen af geometri. Naturligvis har historien ikke bevaret opdagerens navn, mendet er indlysende, at selv på det tidspunkt var folk meget opmærksomme på egenskaberne ved tangenten til cirklen.
I moderne tid blussede interessen for dette fænomen op igen - en ny runde med at studere dette koncept begyndte, kombineret med opdagelsen af nye kurver. Så Galileo introducerede begrebet en cykloid, og Fermat og Descartes byggede en tangent til det. Hvad angår cirklerne, ser det ud til, at der ikke er nogen hemmeligheder tilbage for de gamle i dette område.
Properties
Radien tegnet til skæringspunktet vil være vinkelret på linjen. Dette er
hovedegenskaben, men ikke den eneste, som en tangent til en cirkel har. En anden vigtig funktion inkluderer allerede to lige linjer. Så gennem et punkt, der ligger uden for cirklen, kan to tangenter tegnes, mens deres segmenter vil være lige store. Der er et andet teorem om dette emne, men det er sjældent dækket inden for rammerne af et standardskolekursus, selvom det er yderst praktisk til at løse nogle problemer. Det lyder sådan her. Fra et punkt placeret uden for cirklen trækkes en tangent og en sekant til den. Segmenterne AB, AC og AD dannes. A er skæringspunktet mellem linjer, B er kontaktpunktet, C og D er skæringspunkterne. I dette tilfælde vil følgende lighed være gyldig: længden af tangenten til cirklen, i kvadrat, vil være lig med produktet af segmenterne AC og AD.
Udfra ovenstående er der en vigtig konsekvens. For hvert punkt i cirklen kan du bygge en tangent, men kun én. Beviset for dette er ret simpelt: ved teoretisk at slippe en vinkelret fra radius ned på den, finder vi ud af, at den dannedetrekant kan ikke eksistere. Og det betyder, at tangenten er den eneste.
Bygning
Blandt andre problemer inden for geometri er der en særlig kategori, som regel ikke
elsket af elever og studerende. For at løse opgaver fra denne kategori behøver du kun et kompas og en lineal. Det er byggeopgaver. Der er også metoder til at konstruere en tangent.
Så givet en cirkel og et punkt, der ligger uden for dens grænser. Og det er nødvendigt at tegne en tangent gennem dem. Hvordan gør man det? Først og fremmest skal du tegne et segment mellem midten af cirklen O og et givet punkt. Brug derefter et kompas til at dele det i to. For at gøre dette skal du indstille radius - lidt mere end halvdelen af afstanden mellem midten af den oprindelige cirkel og det givne punkt. Derefter skal du bygge to skærende buer. Desuden behøver kompassets radius ikke at ændres, og midten af hver del af cirklen vil være henholdsvis startpunktet og O. Skæringspunkterne mellem buerne skal forbindes, hvilket vil dele segmentet i to. Indstil en radius på kompasset svarende til denne afstand. Tegn derefter en anden cirkel med midten i skæringspunktet. På den vil både begyndelsespunktet og O ligge. I dette tilfælde vil der være yderligere to skæringspunkter med cirklen angivet i opgaven. De vil være kontaktpunkterne for det oprindeligt givne punkt.
Interessant
Det var konstruktionen af tangenter til cirklen, der førte til fødslen af
differentialregning. Det første arbejde om dette emne varudgivet af den berømte tyske matematiker Leibniz. Han sørgede for muligheden for at finde maksima, minima og tangenter, uanset brøk- og irrationelle værdier. Nå, nu bruges det også til mange andre beregninger.
Desuden er tangenten til cirklen relateret til den geometriske betydning af tangenten. Det er der, dens navn kommer fra. Oversat fra latin betyder tangens "tangens". Dette begreb er således ikke kun forbundet med geometri og differentialregning, men også med trigonometri.
To cirkler
Ikke altid en tangent påvirker kun én form. Hvis et stort antal lige linjer kan trækkes til en cirkel, hvorfor så ikke omvendt? Kan. Men opgaven i dette tilfælde er alvorligt kompliceret, fordi tangenten til to cirkler måske ikke passerer gennem nogen punkter, og den relative position af alle disse figurer kan være meget
forskelligt.
Typer og varianter
Når det drejer sig om to cirkler og en eller flere linjer, selvom man ved, at disse er tangenter, bliver det ikke umiddelbart klart, hvordan alle disse figurer er placeret i forhold til hinanden. Baseret på dette er der flere varianter. Så cirkler kan have et eller to fælles punkter eller slet ikke have dem. I det første tilfælde vil de krydse hinanden, og i det andet vil de røre. Og her er der to varianter. Hvis en cirkel så at sige er indlejret i den anden, så kaldes berøringen intern, hvis ikke, så ekstern. forstå gensidigplaceringen af figurerne er ikke kun mulig baseret på tegningen, men har også information om summen af deres radier og afstanden mellem deres centre. Hvis disse to mængder er lige store, så rører cirklerne. Hvis den første er større, skærer de hinanden, og hvis den er mindre, har de ikke fælles punkter.
Det samme med lige linjer. For to cirkler, der ikke har fælles punkter, kan du
konstruer fire tangenter. To af dem vil skære mellem figurerne, de kaldes interne. Et par andre er eksterne.
Hvis vi taler om cirkler, der har én fælles pointe, så er opgaven meget forenklet. Faktum er, at for ethvert gensidigt arrangement i dette tilfælde vil de kun have en tangent. Og det vil passere gennem deres skæringspunkt. Så konstruktionen af vanskeligheden vil ikke forårsage.
Hvis figurerne har to skæringspunkter, kan der konstrueres en ret linje for dem, der tangerer cirklen, både det ene og det andet, men kun den ydre. Løsningen på dette problem ligner det, der vil blive diskuteret nedenfor.
Problemløsning
Både interne og eksterne tangenter til to cirkler er ikke så nemme at konstruere, selvom dette problem kan løses. Faktum er, at der bruges en hjælpefigur til dette, så tænk selv på denne metode
temmelig problematisk. Så givet to cirkler med forskellige radier og centre O1 og O2. For dem skal du bygge to par tangenter.
Først og fremmest nær midten af den størrecirkler skal bygges hjælpe. I dette tilfælde skal forskellen mellem radierne af de to indledende figurer fastslås på kompasset. Tangenter til hjælpecirklen bygges fra midten af den mindre cirkel. Derefter, fra O1 og O2, tegnes vinkelrette linjer til disse linjer, indtil de skærer de originale figurer. Som det følger af tangentens hovedegenskab, findes de ønskede punkter på begge cirkler. Problem løst, i hvert fald den første del af det.
For at konstruere interne tangenter skal du løse praktisk
en lignende opgave. Igen er der brug for en hjælpefigur, men denne gang vil dens radius være lig med summen af de oprindelige. Tangenter konstrueres til det fra midten af en af de givne cirkler. Løsningens videre forløb kan forstås ud fra det foregående eksempel.
Tangens til en cirkel eller endda to eller flere er ikke så vanskelig en opgave. Selvfølgelig er matematikere længe holdt op med at løse sådanne problemer manuelt og stoler på beregningerne til specielle programmer. Men tro ikke, at nu er det ikke nødvendigt at kunne gøre det selv, for for at kunne formulere en opgave korrekt til en computer, skal du gøre og forstå meget. Desværre er der frygt for, at byggeopgaver efter den endelige overgang til testformen videnskontrol vil volde flere og flere vanskeligheder for eleverne.
Med hensyn til at finde fælles tangenter for flere cirkler, er det ikke altid muligt, selvom de ligger i samme plan. Men i nogle tilfælde kan du finde sådan en lige linje.
Livseksempler
En fælles tangent til to cirkler støder man ofte på i praksis, selvom den ikke altid er mærkbar. Transportører, bloksystemer, remskiver, trådspænding i en symaskine og endda bare en cykelkæde - alt dette er eksempler fra livet. Så tro ikke, at geometriske problemer kun forbliver i teorien: inden for teknik, fysik, konstruktion og mange andre områder finder de praktiske anvendelser.
