Leonhard Euler (1707-1783) - berømt schweizisk og russisk matematiker, medlem af St. Petersburgs Videnskabsakademi, boede det meste af sit liv i Rusland. Den mest berømte inden for matematisk analyse, statistik, datalogi og logik er Euler-cirklen (Euler-Venn-diagram), der bruges til at angive rækkevidden af begreber og sæt af elementer.
John Venn (1834-1923) - engelsk filosof og logiker, medforfatter af Euler-Venn-diagrammet.
Kompatible og inkompatible koncepter
Under begrebet i logik betyder en form for tænkning, der afspejler de væsentlige træk ved en klasse af homogene objekter. De er angivet med et eller en gruppe af ord: "verdenskort", "dominerende femte-syvende akkord", "mandag" osv.
I det tilfælde, hvor elementerne i et begrebs rækkevidde helt eller delvist hører under et andet, taler man om kompatible begreber. Men hvis intet element i et bestemt begrebs omfang hører til et andet, har vi inkompatible begreber.
Til gengæld har hver type koncept sit eget sæt af mulige relationer. For kompatible koncepter er disse:
- identitet (ækvivalens) af bind;
- kryds (delvis match)bind;
- underordning (underordning).
For inkompatibel:
- underordning (koordinering);
- modsat (kontraalitet);
- modsigelse (modsigelse).
Skematisk er relationer mellem begreber i logik norm alt angivet ved hjælp af Euler-Venn-cirkler.
ækvivalente relationer
I dette tilfælde betyder begreberne det samme emne. Følgelig er mængderne af disse begreber fuldstændig de samme. For eksempel:
A - Sigmund Freud;
B er grundlæggeren af psykoanalyse.
Eller:
A er en firkant;
B er et ligesidet rektangel;
C er en ligekantet rombe.
Fuldstændigt sammenfaldende Euler-cirkler bruges til betegnelse.
Krydspunkt (delvis match)
Denne kategori omfatter begreber, der har fælles elementer, der er i relation til krydsning. Det vil sige, at volumen af et af begreberne er delvist inkluderet i volumen af det andet:
A - lærer;
B er en musikelsker.
Som det kan ses af dette eksempel, er mængden af begreber delvist sammenfaldende: en bestemt gruppe lærere kan vise sig at være musikelskere, og omvendt - der kan være repræsentanter for lærerfaget blandt musikelskere. En lignende holdning vil være tilfældet, når koncept A f.eks. er en "borger", og B er en "chauffør".
Underordning (underordning)
Skematisk angivet som Euler-cirkler i forskellige skalaer. Relationermellem begreber i dette tilfælde er kendetegnet ved, at det underordnede begreb (mindre i volumen) er fuldstændig medtaget i det underordnede (større i volumen). Samtidig udtømmer det underordnede koncept ikke helt det underordnede.
For eksempel:
A - træ;
B - fyrretræ.
Koncept B vil være underordnet koncept A. Da fyrretræer tilhører træer, bliver koncept A i dette eksempel underordnet, og "absorberer" omfanget af koncept B.
Koordinering (koordinering)
Relation karakteriserer to eller flere begreber, der udelukker hinanden, men som tilhører en bestemt fælles generisk kreds. For eksempel:
A – klarinet;
B - guitar;
C - violin;
D er et musikinstrument.
Begreberne A, B, C krydser ikke hinanden i forhold til hinanden, men de tilhører alle kategorien musikinstrumenter (begrebet D).
Modsat (modsat)
Modsatte forhold mellem begreber indebærer, at disse begreber tilhører samme slægt. Samtidig har et af begreberne visse egenskaber (træk), mens det andet benægter dem og erstatter dem med modsatte i naturen. Vi har således at gøre med antonymer. For eksempel:
A er en dværg;
B er en kæmpe.
Euler-cirkel med modsatte relationer mellem begreberer opdelt i tre segmenter, hvoraf det første svarer til koncept A, det andet til koncept B og det tredje til alle andre mulige koncepter.
Contradiction (contradiction)
I dette tilfælde er begge begreber arter af samme slægt. Som i det foregående eksempel angiver et af begreberne visse kvaliteter (træk), mens det andet benægter dem. Men i modsætning til forholdet mellem modsætninger erstatter det andet, modsatte begreb ikke de nægtede egenskaber med andre, alternative. For eksempel:
A er en vanskelig opgave;
B er en nem opgave (ikke-A).
Udtrykker mængden af begreber af denne art, Euler-cirklen er opdelt i to dele - det tredje, mellemliggende led i dette tilfælde eksisterer ikke. Begreberne er således også antonymer. Samtidig bliver den ene af dem (A) positiv (bekræfter en eller anden funktion), og den anden (B eller ikke-A) bliver negativ (nægter den tilsvarende funktion): "hvidt papir" - "ikke hvidt papir", " national historie" – "fremmed historie" osv.
Således er forholdet mellem begrebernes volumener i forhold til hinanden en nøglekarakteristik, der definerer Euler-cirkler.
Relationer mellem sæt
Det er også nødvendigt at skelne mellem begreberne elementer og mængder, hvis volumen vises af Euler-cirkler. Begrebet et sæt er lånt fra matematisk videnskab og har en ret bred betydning. Eksempler inden for logik og matematik viser det som et bestemt sæt objekter. Selve objekterne erelementer i dette sæt. "Mange er mange tænkt som én" (Georg Kantor, grundlægger af mængdeteori).
Sættes er angivet med store bogstaver: A, B, C, D… osv., elementer i sæt er angivet med små bogstaver: a, b, c, d… osv. Eksempler på et sæt kan være elever, der er i ét klasseværelse, bøger på en bestemt hylde (eller f.eks. alle bøgerne på et bestemt bibliotek), sider i en dagbog, bær i en skovlysning osv.
Til gengæld, hvis et bestemt sæt ikke indeholder et enkelt element, så kaldes det tomt og betegnes med tegnet Ø. For eksempel sættet af skæringspunkter for parallelle linjer, mængden af løsninger til ligningen x2=-5.
Problemløsning
Euler-cirkler bruges aktivt til at løse et stort antal problemer. Eksempler i logik demonstrerer tydeligt sammenhængen mellem logiske operationer og mængdeteori. I dette tilfælde bruges sandhedstabeller med begreber. For eksempel repræsenterer cirklen mærket A sandhedsområdet. Så området uden for cirklen vil repræsentere falsk. For at bestemme arealet af diagrammet for en logisk operation, skal du skygge de områder, der definerer Euler-cirklen, hvor dens værdier for elementerne A og B vil være sande.
Brugen af Euler-cirkler har fundet bred praktisk anvendelse i forskellige industrier. For eksempel i en situation med et professionelt valg. Hvis forsøgspersonen er bekymret for valget af et fremtidigt erhverv, kan han lade sig vejlede af følgende kriterier:
W – hvad kan jeg lide at lave?
D – hvad laver jeg?
P– hvordan kan jeg tjene gode penge?
Lad os tegne dette som et diagram: Euler-cirkler (eksempler i logik - skæringsforhold):
Resultatet vil være de erhverv, der vil være i skæringspunktet mellem alle tre cirkler.
Euler-Venn-cirkler indtager en separat plads i matematik (mængdelære), når man beregner kombinationer og egenskaber. Euler-cirklerne i sættet af elementer er indesluttet i billedet af et rektangel, der angiver det universelle sæt (U). I stedet for cirkler kan andre lukkede figurer også bruges, men essensen af dette ændrer sig ikke. Figurerne krydser hinanden i henhold til problemets betingelser (i det mest generelle tilfælde). Disse tal skal også mærkes i overensstemmelse hermed. Elementerne i de betragtede sæt kan være punkter placeret inde i forskellige segmenter af diagrammet. Baseret på det kan du skygge specifikke områder og derved udpege de nydannede sæt.
Med disse mængder er det muligt at udføre grundlæggende matematiske operationer: addition (summen af sæt af elementer), subtraktion (forskel), multiplikation (produkt). Derudover er det, takket være Euler-Venn-diagrammerne, muligt at sammenligne mængder med antallet af elementer, der er inkluderet i dem, uden at tælle dem.
