Matrix er et særligt objekt i matematik. Det er afbildet i form af en rektangulær eller firkantet tabel, sammensat af et vist antal rækker og kolonner. I matematik er der en bred vifte af typer af matricer, forskellige i størrelse eller indhold. Numrene på dens rækker og kolonner kaldes ordrer. Disse objekter bruges i matematik til at organisere skrivningen af systemer af lineære ligninger og bekvemt søge efter deres resultater. Ligninger ved hjælp af en matrix løses ved hjælp af metoden fra Carl Gauss, Gabriel Cramer, bifag og algebraiske tilføjelser og mange andre måder. Den grundlæggende færdighed, når du arbejder med matricer, er at bringe dem til en standardform. Lad os dog først finde ud af, hvilke typer matricer der skelnes af matematikere.
Nul type
Alle komponenter i denne slags matrix er nuller. I mellemtiden er antallet af rækker og kolonner helt anderledes.
Kvadrattype
Antallet af kolonner og rækker i denne type matrix er det samme. Det er med andre ord et "firkantet" formbord. Antallet af dets kolonner (eller rækker) kaldes rækkefølgen. Særlige tilfælde er eksistensen af en matrix af anden orden (matrix 2x2), fjerde orden (4x4), tiende (10x10), syttende (17x17) og så videre.
Kolonnevektor
Dette er en af de enkleste typer matricer, der kun indeholder én kolonne, som indeholder tre numeriske værdier. Det repræsenterer en række frie led (tal uafhængige af variabler) i systemer af lineære ligninger.
Rækkevektor
Visning ligner den forrige. Består af tre numeriske elementer, igen organiseret i én linje.
Diagon altype
Kun komponenter i hoveddiagonalen (fremhævet med grønt) har numeriske værdier i matrixens diagonale form. Hoveddiagonalen starter henholdsvis med elementet i øverste venstre hjørne og slutter med elementet nederst til højre. Resten af komponenterne er nul. Den diagonale type er kun en kvadratisk matrix af en eller anden orden. Blandt matricer af den diagonale form kan man udskille en skalar. Alle dens komponenter har de samme værdier.
Identitetsmatrix
En underart af den diagonale matrix. Alle dens numeriske værdier er enheder. Brug en enkelt type matrixtabeller, udfør dens grundlæggende transformationer eller find en matrix invers til den oprindelige.
kanonisk type
Den kanoniske form af en matrix betragtes som en af de vigtigste; støbning til det er ofte nødvendigt for at virke. Antallet af rækker og kolonner i den kanoniske matrix er forskelligt, det hører ikke nødvendigvis til kvadrattypen. Det ligner lidt identitetsmatrixen, men i dets tilfælde har ikke alle komponenter i hoveddiagonalen en værdi lig med én. Der kan være to eller fire hoveddiagonale enheder (det hele afhænger af længden og bredden af matrixen). Eller der er måske slet ingen enheder (så betragtes det som nul). De resterende komponenter af den kanoniske type, såvel som elementerne i diagonalen og identiteten, er lig med nul.
Trekanttype
En af de vigtigste typer matrix, der bruges, når der søges efter dens determinant, og når der udføres simple operationer. Den trekantede type kommer fra den diagonale type, så matrixen er også kvadratisk. Det trekantede billede af matrixen er opdelt i øvre trekantede og nedre trekantede.
I den øverste trekantede matrix (fig. 1) får kun elementer, der er over hoveddiagonalen, en værdi lig med nul. Komponenterne i selve diagonalen og den del af matrixen under den indeholder numeriske værdier.
I den nederste trekantede matrix (fig. 2) er elementerne i den nederste del af matrixen tværtimod lig nul.
Step Matrix
Udsigten er nødvendig for at finde rangeringen af en matrix, såvel som for elementære operationer på dem (sammen med den trekantede type). Trinmatrixen er så navngivet, fordi den indeholder karakteristiske "trin" af nuller (som vist i figuren). I den trinformede type dannes en diagonal af nuller (ikke nødvendigvis den vigtigste), og alle elementer under denne diagonal har også værdier lig nul. En forudsætning er følgende: Hvis der er en nul-række i trinmatricen, så indeholder de resterende rækker under den heller ikke numeriske værdier.
Vi har derfor overvejet de vigtigste typer matricer, der er nødvendige for at arbejde med dem. Lad os nu beskæftige os med opgaven med at konvertere en matrix til den påkrævede form.
Reducer til trekantet form
Hvordan bringes matrixen til en trekantet form? Oftest skal man i opgaver konvertere en matrix til en trekantet form for at finde dens determinant, ellers kaldet determinanten. Når du udfører denne procedure, er det ekstremt vigtigt at "bevare" matrixens hoveddiagonal, fordi determinanten for en trekantet matrix nøjagtigt er produktet af komponenterne i dens hoveddiagonal. Lad mig også minde dig om alternative metoder til at finde determinanten. Den kvadratiske determinant findes ved hjælp af specielle formler. Du kan for eksempel bruge trekantmetoden. For andre matricer bruges metoden til dekomponering efter række, kolonne eller deres elementer. Du kan også anvende metoden for bifag og algebraiske komplementer af matricen.
DetaljerLad os analysere processen med at bringe en matrix til en trekantet form ved hjælp af eksempler på nogle opgaver.
Opgave 1
Det er nødvendigt at finde determinanten for den præsenterede matrix ved at bruge metoden til at bringe den til en trekantet form.
Matrixen givet til os er en kvadratisk matrix af tredje orden. For at transformere den til en trekantet form skal vi derfor annullere to komponenter i den første kolonne og en komponent i den anden.
For at bringe det til en trekantet form, start transformationen fra nederste venstre hjørne af matricen - fra tallet 6. For at vende det til nul skal du gange den første række med tre og trække den fra den sidste række.
Vigtigt! Den øverste linje ændres ikke, men forbliver den samme som i den oprindelige matrix. Du behøver ikke at skrive en streng fire gange den oprindelige. Men værdierne for de strenge, hvis komponenter skal annulleres, ændrer sig konstant.
Næste, lad os beskæftige os med den næste værdi - elementet i den anden række i den første kolonne, nummer 8. Multiplicer den første række med fire og træk den fra den anden række. Vi får nul.
Kun den sidste værdi er tilbage - elementet i den tredje række i den anden kolonne. Dette er tallet (-1). For at vende den til nul skal du trække den anden fra den første linje.
Lad os tjekke:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Så svaret på opgaven er -22.
Opgave 2
Vi skal finde determinanten af matricen ved at bringe den til en trekantet form.
Repræsenteret matrixhører til kvadrattypen og er en matrix af fjerde orden. Det betyder, at tre komponenter i den første kolonne, to komponenter i den anden kolonne og en komponent i den tredje kolonne skal nulstilles.
Lad os starte dens reduktion fra elementet placeret i nederste venstre hjørne - fra tallet 4. Vi skal dreje dette tal til nul. Den nemmeste måde at gøre dette på er at gange den øverste række med fire og derefter trække den fra den fjerde række. Lad os nedskrive resultatet af den første fase af transformationen.
Så komponenten af den fjerde linje er sat til nul. Lad os gå videre til det første element i den tredje linje, til tallet 3. Vi udfører en lignende operation. Multiplicer den første linje med tre, træk den fra den tredje linje og skriv resultatet.
Dernæst ser vi tallet 2 i anden linje. Vi gentager operationen: gange den øverste række med to og træk den fra den anden.
Det lykkedes os at nulstille alle komponenterne i den første kolonne i denne kvadratiske matrix, undtagen tallet 1, elementet i hoveddiagonalen, der ikke kræver transformation. Nu er det vigtigt at beholde de resulterende nuller, så vi udfører transformationer med rækker, ikke kolonner. Lad os gå videre til anden kolonne i den præsenterede matrix.
Lad os starte fra bunden igen - fra elementet i anden kolonne i den sidste række. Dette er tallet (-7). Men i dette tilfælde er det mere bekvemt at starte med tallet (-1) - elementet i den anden kolonne i den tredje række. For at vende den til nul skal du trække den anden række fra den tredje række. Derefter multiplicerer vi den anden række med syv og trækker den fra den fjerde. Vi fik nul i stedet for elementet i den fjerde række i den anden kolonne. Lad os nu gå videre til den tredjekolonne.
I denne kolonne skal vi kun dreje et tal til nul - 4. Det er nemt at gøre: bare føje det tredje til den sidste linje og se det nul, vi skal bruge.
Efter alle transformationerne bragte vi den foreslåede matrix til en trekantet form. Nu, for at finde dens determinant, behøver du kun at gange de resulterende elementer i hoveddiagonalen. Vi får: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Derfor er løsningen tallet 160.
Så, nu vil spørgsmålet om at bringe matrixen til en trekantet form ikke gøre det svært for dig.
Reduktion til trinvis form
I elementære operationer på matricer er den trinformede form mindre "krævet" end den trekantede. Det bruges mest til at finde rangeringen af en matrix (dvs. antallet af dens rækker, der ikke er nul) eller til at bestemme lineært afhængige og uafhængige rækker. Den trinvise matrixvisning er dog mere alsidig, da den er velegnet ikke kun til den firkantede type, men til alle andre.
For at reducere en matrix til en trinvis form, skal du først finde dens determinant. Til dette er ovenstående metoder egnede. Formålet med at finde determinanten er at finde ud af, om den kan konverteres til en trinmatrix. Hvis determinanten er større eller mindre end nul, så kan du trygt gå videre til opgaven. Hvis det er lig med nul, vil det ikke virke at reducere matricen til en trinvis form. I dette tilfælde skal du kontrollere, om der er fejl i posten eller i matrixtransformationerne. Hvis der ikke er sådanne unøjagtigheder, kan opgaven ikke løses.
Lad os se hvordanbring matricen til en trinvis form ved hjælp af eksempler på flere opgaver.
Opgave 1. Find rangeringen af den givne matrixtabel.
Før os er en kvadratisk matrix af tredje orden (3x3). Vi ved, at for at finde rangen er det nødvendigt at reducere den til en trinvis form. Derfor skal vi først finde matricens determinant. Brug af trekantsmetoden: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12, Determinant=12. Den er større end nul, hvilket betyder, at matrixen kan reduceres til en trinvis form. Lad os starte dens transformationer.
Lad os starte med elementet i venstre kolonne i den tredje række - tallet 2. Multiplicer den øverste række med to, og træk den fra den tredje. Takket være denne operation blev både det element, vi har brug for, og tallet 4 - elementet i anden kolonne i den tredje række - til nul.
Drej derefter elementet i anden række i den første kolonne til nul - tallet 3. For at gøre dette skal du gange den øverste række med tre og trække den fra den anden.
Vi ser, at reduktionen resulterede i en trekantet matrix. I vores tilfælde kan transformationen ikke fortsættes, da de resterende komponenter ikke kan vendes til nul.
Så vi konkluderer, at antallet af rækker, der indeholder numeriske værdier i denne matrix (eller dens rang) er 3. Svar på opgaven: 3.
Opgave 2. Bestem antallet af lineært uafhængige rækker i denne matrix.
Vi er nødt til at finde strenge, der ikke kan vendes af nogen transformationertil nul. Faktisk skal vi finde antallet af rækker, der ikke er nul, eller rangeringen af den repræsenterede matrix. For at gøre dette, lad os forenkle det.
Vi ser en matrix, der ikke hører til kvadrattypen. Den har målene 3x4. Lad os også starte castet fra elementet i nederste venstre hjørne - tallet (-1).
Føj den første linje til den tredje. Træk derefter sekundet fra det for at vende tallet 5 til nul.
Yderligere transformationer er umulige. Så vi konkluderer, at antallet af lineært uafhængige linjer i den og svaret på opgaven er 3.
Nu er det ikke en umulig opgave for dig at bringe matrixen til en trinvis form.
På eksemplerne på disse opgaver analyserede vi reduktionen af en matrix til en trekantet form og en trinformet form. For at annullere de ønskede værdier af matrixtabeller, er det i nogle tilfælde påkrævet at vise fantasi og korrekt transformere deres kolonner eller rækker. Held og lykke med matematik og arbejdet med matricer!
