Matricer (tabeller med numeriske elementer) kan bruges til forskellige beregninger. Nogle af dem er multiplikation med et tal, en vektor, en anden matrix, flere matricer. Produktet er nogle gange forkert. Et fejlagtigt resultat er resultatet af uvidenhed om reglerne for udførelse af beregningshandlinger. Lad os finde ud af, hvordan man laver multiplikation.
Matrix og tal
Lad os starte med den enkleste ting - at gange en tabel med tal med en bestemt værdi. For eksempel har vi en matrix A med elementerne aij (i er rækkenumrene og j er kolonnenumrene) og tallet e. Produktet af matricen ved tallet e vil være matricen B med elementerne bij, som findes ved formlen:
bij=e × aij.
T. e. for at få elementet b11 skal du tage elementet a11 og gange det med det ønskede tal for at få b12 det er nødvendigt at finde produktet af elementet a12 og tallet e osv.
Lad os løse problemet nummer 1 på billedet. For at få matrix B skal du blot gange elementerne fra A med 3:
- a11 × 3=18. Vi skriver denne værdi ind i matrix B på det sted, hvor kolonne nr. 1 og række nr. 1 skærer hinanden.
- a21 × 3=15. Vi fik element b21.
- a12 × 3=-6. Vi modtog elementet b12. Vi skriver det ind i matrix B på det sted, hvor kolonne 2 og række 1 skærer hinanden.
- a22 × 3=9. Dette resultat er element b22.
- a13 × 3=12. Indtast dette tal i matrixen i stedet for elementet b13.
- a23 × 3=-3. Det sidst modtagne tal er element b23.
Sådan fik vi en rektangulær matrix med numeriske elementer.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektorer og betingelsen for eksistensen af et produkt af matricer
I matematiske discipliner er der sådan noget som en "vektor". Dette udtryk refererer til et ordnet sæt værdier fra a1 til a . De kaldes vektorrumskoordinater og er skrevet som en kolonne. Der er også udtrykket "transponeret vektor". Dens komponenter er arrangeret som en streng.
Vektorer kan kaldes matricer:
- kolonnevektor er en matrix bygget af én kolonne;
- rækkevektor er en matrix, der kun omfatter én række.
Når du er færdigover matricer af multiplikationsoperationer er det vigtigt at huske, at der er en betingelse for eksistensen af et produkt. Beregningshandlingen A × B kan kun udføres, når antallet af kolonner i tabel A er lig med antallet af rækker i tabel B. Den resulterende matrix, der er resultatet af beregningen, har altid antallet af rækker i tabel A og antallet af kolonner i tabel B.
Når der multipliceres, anbefales det ikke at omarrangere matricer (multiplikatorer). Deres produkt svarer norm alt ikke til den kommutative (forskydnings) lov om multiplikation, dvs. resultatet af operationen A × B er ikke lig med resultatet af operationen B × A. Denne funktion kaldes ikke-kommutativiteten af produktet af matricer. I nogle tilfælde er resultatet af multiplikationen A × B lig med resultatet af multiplikationen B × A, dvs. produktet er kommutativt. Matricer, for hvilke ligheden A × B=B × A gælder, kaldes permutationsmatricer. Se eksempler på sådanne tabeller nedenfor.
Multiplikation med en kolonnevektor
Når vi multiplicerer en matrix med en kolonnevektor, skal vi tage hensyn til betingelsen for produktets eksistens. Antallet af kolonner (n) i tabellen skal svare til antallet af koordinater, der udgør vektoren. Resultatet af beregningen er den transformerede vektor. Dens antal koordinater er lig med antallet af linjer (m) fra tabellen.
Hvordan beregnes koordinaterne for vektoren y, hvis der er en matrix A og en vektor x? For beregninger oprettede formler:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
hvor x1, …, x er koordinater fra x-vektoren, m er antallet af rækker i matrixen og tallet af koordinater i den nye y- vektor, n er antallet af kolonner i matrixen og antallet af koordinater i x-vektoren, a11, a12, …, amn– elementer i matrix A.
For at opnå den i-te komponent af den nye vektor udføres det skalære produkt. Den i-te rækkevektor er taget fra matrix A, og den multipliceres med den tilgængelige vektor x.
Lad os løse opgave 2. Du kan finde produktet af en matrix og en vektor, fordi A har 3 søjler og x består af 3 koordinater. Som et resultat skulle vi få en kolonnevektor med 4 koordinater. Lad os bruge ovenstående formler:
- Beregn y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Den endelige værdi er 2.
- Beregn y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Når vi beregner, får vi 0,
- Beregn y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Summen af produkterne af de angivne faktorer er 6.
- Beregn y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinaten er -8.
Rækkevektor-matrix multiplikation
Du kan ikke gange en matrix med flere kolonner med en rækkevektor. I sådanne tilfælde er betingelsen for arbejdets eksistens ikke opfyldt. Men multiplikation af en rækkevektor med en matrix er mulig. Detteberegningsoperationen udføres, når antallet af koordinater i vektoren og antallet af rækker i tabellen matcher. Resultatet af produktet af en vektor og en matrix er en ny rækkevektor. Dens antal koordinater skal svare til antallet af kolonner i matrixen.
Beregning af den første koordinat af en ny vektor involverer at gange rækkevektoren og den første kolonnevektor fra tabellen. Den anden koordinat beregnes på lignende måde, men i stedet for den første kolonnevektor tages den anden kolonnevektor. Her er den generelle formel til beregning af koordinater:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, hvor yk er en koordinat fra y-vektoren, (k er mellem 1 og n), m er antallet af rækker i matrixen og antallet af koordinater i x-vektoren er n antallet af søjler i matricen og antallet af koordinater i y-vektoren, a med alfanumeriske indekser er elementerne i matricen A.
Produkt af rektangulære matricer
Denne beregning kan virke kompliceret. Multiplikation er dog let at udføre. Lad os starte med en definition. Produktet af en matrix A med m rækker og n kolonner og en matrix B med n rækker og p kolonner er en matrix C med m rækker og p kolonner, hvor elementet cij er summen af produkterne af elementerne i-te række fra tabel A og j-te kolonne fra tabel B. I enklere udtryk er elementet cij skalarproduktet af den i-te række vektor fra tabel A og den j-te kolonnevektor fra tabel B.
Lad os nu i praksis finde ud af, hvordan man finder produktet af rektangulære matricer. Lad os løse dette problem nr. 3. Betingelsen for eksistensen af et produkt er opfyldt. Lad os begynde at beregne elementerne cij:
- Matrix C vil have 2 rækker og 3 kolonner.
- Beregn element c11. For at gøre dette udfører vi skalarproduktet af række nr. 1 fra matrix A og kolonne nr. 1 fra matrix B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Derefter fortsætter vi på lignende måde, idet vi kun ændrer rækker, kolonner (afhængigt af elementindeks).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementerne er beregnet. Nu er det kun tilbage at lave en rektangulær blok af de modtagne tal.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplikation af tre matricer: den teoretiske del
Kan du finde produktet af tre matricer? Denne beregningsoperation er gennemførlig. Resultatet kan opnås på flere måder. For eksempel er der 3 kvadratiske tabeller (af samme rækkefølge) - A, B og C. For at beregne produktet kan du:
- Multipér først A og B. Gang derefter resultatet med C.
- Find først produktet af B og C. Gang derefter matrix A med resultatet.
Hvis du har brug for at multiplicere rektangulære matricer, skal du først sikre dig, at denne beregningsoperation er mulig. Børprodukterne A × B og B × C findes.
Inkrementel multiplikation er ikke en fejl. Der er sådan noget som "associativitet af matrix multiplikation". Dette udtryk refererer til ligheden (A × B) × C=A × (B × C).
Trematrix-multiplikationsøvelse
Kvadratiske matricer
Start med at gange små kvadratiske matricer. Nedenstående figur viser problem nummer 4, som vi skal løse.
Vi vil bruge associativitetsegenskaben. Først gange vi enten A og B, eller B og C. Vi husker kun én ting: du kan ikke bytte faktorer, det vil sige, du kan ikke gange B × A eller C × B. Med denne multiplikation får vi en fejlagtigt resultat.
Beslutningsfremskridt.
Trin et. For at finde det fælles produkt multiplicerer vi først A med B. Når vi multiplicerer to matricer, vil vi blive styret af reglerne, der er skitseret ovenfor. Så resultatet af at gange A og B vil være en matrix D med 2 rækker og 2 kolonner, dvs. en rektangulær matrix vil omfatte 4 elementer. Lad os finde dem ved at lave beregningen:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Mellemresultat klar.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Trin to. Lad os nu gange matrix D med matrix C. Resultatet skal være en kvadratisk matrix G med 2 rækker og 2 kolonner. Beregn elementer:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Resultatet af produktet af kvadratiske matricer er således en tabel G med beregnede elementer.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Rektangulære matricer
Figuren nedenfor viser opgave nummer 5. Det er nødvendigt at gange rektangulære matricer og finde en løsning.
Lad os kontrollere, om betingelsen for eksistensen af produkterne A × B og B × C er opfyldt. Rækkefølgen af de angivne matricer giver os mulighed for at udføre multiplikation. Lad os begynde at løse problemet.
Beslutningsfremskridt.
Trin et. Multiplicer B med C for at få D. Matrix B har 3 rækker og 4 kolonner, og matrix C har 4 rækker og 2 kolonner. Det betyder, at vi får en matrix D med 3 rækker og 2 kolonner. Lad os beregne elementerne. Her er 2 regneeksempler:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Vi fortsætter med at løse problemet. Som et resultat af yderligere beregninger finder vi værdierne d21, d2 2, d31 og d32. Disse elementer er henholdsvis 0, 19, 1 og 11. Lad os skrive de fundne værdier i en rektangulær matrix.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Trin to. Multiplicer A med D for at få den endelige matrix F. Den vil have 2 rækker og 2 kolonner. Beregn elementer:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Skriv en rektangulær matrix, som er slutresultatet af at gange tre matricer.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introduktion til direkte arbejde
Ganske svært at forstå materiale er Kronecker-produktet af matricer. Det har også et ekstra navn - et direkte værk. Hvad menes med dette udtryk? Lad os sige, at vi har tabel A i størrelsesordenen m × n og tabel B i størrelsesordenen p × q. Det direkte produkt af matrix A og matrix B er en matrix af orden mp × nq.
Vi har 2 kvadratiske matricer A, B, som er vist på billedet. Den første har 2 kolonner og 2 rækker, og den anden har 3 kolonner og 3 rækker. Vi ser, at matrixen, der kommer fra det direkte produkt, består af 6 rækker og nøjagtigt det samme antal kolonner.
Hvordan beregnes elementer i en ny matrix i et direkte produkt? At finde svaret på dette spørgsmål er meget let, hvis du analyserer billedet. Udfyld først den første linje. Tag det første element fra den øverste række i tabel A, og gange sekventielt med elementerne i den første rækkefra tabel B. Tag derefter det andet element i den første række i tabel A og gange sekventielt med elementerne i den første række i tabel B. For at udfylde den anden række, tag det første element fra den første række i tabel A igen og gange det med elementerne i den anden række i tabel B.
Den endelige matrix opnået ved direkte produkt kaldes en blokmatrix. Hvis vi analyserer figuren igen, kan vi se, at vores resultat består af 4 blokke. Alle inkluderer elementer af matrix B. Derudover multipliceres et element i hver blok med et specifikt element af matrix A. I den første blok multipliceres alle elementer med a11 i anden - af a12, i den tredje - på a21, i den fjerde - på a22.
Produktdeterminant
Når man overvejer emnet matrixmultiplikation, er det værd at overveje et sådant udtryk som "determinanten for produktet af matricer". Hvad er en determinant? Dette er en vigtig egenskab ved en kvadratisk matrix, en vis værdi, der er tildelt denne matrix. Den bogstavelige betegnelse for determinanten er det.
For en matrix A, der består af to kolonner og to rækker, er determinanten let at finde. Der er en lille formel, der er forskellen mellem produkterne af specifikke elementer:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Lad os overveje et eksempel på beregning af determinanten for en andenordens tabel. Der er en matrix A, hvor a11=2, a12=3, a21=5 og a22=1. For at beregne determinanten, brug formlen:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
For 3 × 3 matricer beregnes determinanten ved hjælp af en mere kompleks formel. Det er præsenteret nedenfor for matrix A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
For at huske formlen fandt vi på trekantreglen, som er illustreret på billedet. Først ganges hoveddiagonalens elementer. Produkterne af disse elementer angivet ved vinklerne på trekanter med røde sider lægges til den opnåede værdi. Derefter trækkes produktet af elementerne i den sekundære diagonal fra, og produkterne af de elementer, der er angivet ved hjørnerne af trekanter med blå sider, trækkes fra.
Lad os nu tale om determinanten for produktet af matricer. Der er en sætning, der siger, at denne indikator er lig med produktet af multiplikatortabellernes determinanter. Lad os bekræfte dette med et eksempel. Vi har matrix A med indgange a11=2, a12=3, a21=1 og a22=1 og matrix B med indgange b11=4, b12=5, b 21 =1 og b22=2. Find determinanterne for matricerne A og B, produktet A × B og determinanten for dette produkt.
Beslutningsfremskridt.
Trin et. Beregn determinanten for A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Beregn derefter determinanten for B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Trin to. Lad os findeprodukt A × B. Betegn den nye matrix med bogstavet C. Beregn dens elementer:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Trin tre. Beregn determinanten for C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Sammenlign med den værdi, der kunne opnås ved at gange determinanterne af de oprindelige matricer. Tallene er de samme. Ovenstående sætning er sand.
Produktrangering
Rangen af en matrix er en karakteristik, der afspejler det maksimale antal lineært uafhængige rækker eller kolonner. For at beregne rangen udføres elementære transformationer af matricen:
- omarrangering af to parallelle rækker;
- multiplicering af alle elementer i en bestemt række fra tabellen med et tal, der ikke er nul;
- tilføjelse til elementerne i en række af elementer fra en anden række ganget med et bestemt tal.
Efter elementære transformationer skal du se på antallet af strenge, der ikke er nul. Deres nummer er rangeringen af matrixen. Overvej det foregående eksempel. Den præsenterede 2 matricer: A med elementerne a11=2, a12=3, a21=1 og a22 =1 og B med elementerne b11=4, b12=5, b21=1 og b22=2. Vi vil også bruge matrixen C opnået som resultat af multiplikation. Hvis vi udfører elementære transformationer, vil der ikke være nul rækker i de forenklede matricer. Dette betyder, at både rangen af tabel A, og rangeringen af tabel B, og rangentabel C er 2.
Lad os nu være særligt opmærksomme på rangeringen af produktet af matricer. Der er en sætning, der siger, at rangeringen af et produkt af tabeller, der indeholder numeriske elementer, ikke overstiger rangeringen af nogen af faktorerne. Dette kan bevises. Lad A være en k × s matrix og B være en s × m matrix. Produktet af A og B er lig med C.
Lad os studere billedet ovenfor. Den viser den første kolonne i matrix C og dens forenklede notation. Denne kolonne er en lineær kombination af de kolonner, der er inkluderet i matricen A. På samme måde kan man sige om enhver anden kolonne fra det rektangulære array C. Således er underrummet dannet af kolonnevektorerne i tabellen C i underrummet dannet af kolonnevektorer i tabellen A. Derfor overstiger dimensionen af underrum nr. 1 ikke dimensionen af underrum nr. 2. Dette indebærer, at rangeringen i kolonnerne i tabel C ikke overstiger rangeringen i kolonnerne i tabel A, dvs. r(C) ≦ r(A). Hvis vi argumenterer på en lignende måde, så kan vi sikre os, at rækkerne i matricen C er lineære kombinationer af rækkerne i matricen B. Dette indebærer uligheden r(C) ≦ r(B).
Hvordan man finder produktet af matricer er et ret kompliceret emne. Det kan nemt mestres, men for at opnå et sådant resultat skal du bruge meget tid på at huske alle de eksisterende regler og teoremer.
