Uløselige problemer er 7 mest interessante matematiske problemer. Hver af dem blev foreslået på én gang af kendte videnskabsmænd, som regel i form af hypoteser. I mange årtier har matematikere over hele verden knoklet over deres løsning. De, der lykkes, vil blive belønnet med en million amerikanske dollars tilbudt af Clay Institute.
Backstory
I 1900 præsenterede den store tyske matematiker David Hilbert en liste med 23 problemer.
Forskning udført for at løse dem havde en enorm indflydelse på videnskaben i det 20. århundrede. I øjeblikket er de fleste af dem holdt op med at være mysterier. Blandt de uløste eller delvist løste var:
- problem med konsistens af aritmetiske aksiomer;
- generel lov om gensidighed på rummet i ethvert talfelt;
- matematisk undersøgelse af fysiske aksiomer;
- studie af kvadratiske former for vilkårlige algebraiske numeriskeodds;
- problemet med streng begrundelse for Fyodor Schuberts beregningsgeometri;
- etc.
Uudforskede er: problemet med at udvide den velkendte Kronecker-sætning til ethvert algebraisk område af rationalitet og Riemann-hypotesen.
The Clay Institute
Dette er navnet på en privat non-profit organisation med hovedkontor i Cambridge, Massachusetts. Det blev grundlagt i 1998 af Harvard-matematikeren A. Jeffey og forretningsmanden L. Clay. Instituttets formål er at popularisere og udvikle matematisk viden. For at opnå dette giver organisationen priser til videnskabsmænd og sponsorer, der lover forskning.
I begyndelsen af det 21. århundrede tilbød Clay Institute of Mathematics en pris til dem, der løser, hvad der er kendt som de sværeste uløselige problemer, og kaldte deres liste for Millennium Prize Problemer. Kun Riemann-hypotesen blev inkluderet i Hilbert-listen.
Millennium Challenges
The Clay Institutes liste inkluderede oprindeligt:
- Hodge-cyklushypotese;
- kvante Yang-Mills teoriligninger;
- Poincaré-hypotese;
- problemet med ligheden mellem klasserne P og NP;
- Riemann-hypotese;
- Navier-Stokes-ligninger, om eksistensen og smidigheden af dens løsninger;
- Birch-Swinnerton-Dyer-problem.
Disse åbne matematiske problemer er af stor interesse, da de kan have mange praktiske implementeringer.
Hvad beviste Grigory Perelman
I 1900 foreslog den berømte filosof Henri Poincaré, at enhver simpelt forbundet kompakt 3-manifold uden grænse er homøomorf til en 3-dimensionel sfære. Dets bevis i den generelle sag blev ikke fundet i et århundrede. Først i 2002-2003 udgav St. Petersborg-matematikeren G. Perelman en række artikler med en løsning på Poincaré-problemet. De havde virkningen af en eksploderende bombe. I 2010 blev Poincaré-hypotesen udelukket fra listen over "uløste problemer" i Clay Institute, og Perelman blev selv tilbudt at modtage et betydeligt vederlag til ham, hvilket sidstnævnte afviste uden at forklare årsagerne til hans beslutning.
Den mest forståelige forklaring på, hvad den russiske matematiker formåede at bevise, kan gives ved at forestille sig, at en gummiskive trækkes på en doughnut (torus), og så forsøger de at trække kanterne af dens cirkel ind i ét punkt. Det er åbenbart ikke muligt. En anden ting, hvis du laver dette eksperiment med en bold. I dette tilfælde ville en tilsyneladende tredimensionel kugle, der stammer fra en skive, hvis omkreds blev trukket til et punkt af en hypotetisk snor, være tredimensionel i forståelsen af en almindelig person, men todimensionel i form af matematik.
Poincare foreslog, at en tredimensionel kugle er det eneste tredimensionelle "objekt", hvis overflade kan trækkes sammen til et punkt, og Perelman formåede at bevise det. Således består listen over "uløselige problemer" i dag af 6 problemer.
Yang-Mills-teori
Dette matematiske problem blev foreslået af dets forfattere i 1954. Den videnskabelige formulering af teorien er som følger:for enhver simpel kompakt gauge-gruppe eksisterer den rumlige kvanteteori skabt af Yang og Mills, og den har samtidig en massefejl på nul.
Når vi taler i et sprog, der er forståeligt for en almindelig person, er vekselvirkningerne mellem naturlige objekter (partikler, kroppe, bølger osv.) opdelt i 4 typer: elektromagnetisk, gravitationel, svag og stærk. I mange år har fysikere forsøgt at skabe en generel feltteori. Det bør blive et værktøj til at forklare alle disse interaktioner. Yang-Mills teori er et matematisk sprog, hvormed det blev muligt at beskrive 3 af naturens 4 hovedkræfter. Det gælder ikke tyngdekraften. Derfor kan det ikke anses for, at det lykkedes Yang og Mills at skabe en feltteori.
Desuden gør ikke-lineariteten af de foreslåede ligninger dem ekstremt vanskelige at løse. For små koblingskonstanter kan de tilnærmelsesvis løses i form af en række perturbationsteorier. Det er dog endnu ikke klart, hvordan disse ligninger kan løses med stærk kobling.
Navier-Stokes-ligninger
Disse udtryk beskriver processer såsom luftstrømme, væskeflow og turbulens. For nogle specielle tilfælde er der allerede fundet analytiske løsninger af Navier-Stokes-ligningen, men indtil videre er det ikke lykkedes nogen at gøre dette for den generelle. Samtidig kan numeriske simuleringer for specifikke værdier af hastighed, tæthed, tryk, tid og så videre opnå fremragende resultater. Det er stadig at håbe, at nogen vil være i stand til at anvende Navier-Stokes-ligningerne omvendtretning, dvs. beregne parametrene ved hjælp af dem, eller bevise, at der ikke er nogen løsningsmetode.
Birch-Swinnerton-Dyer-problem
Kategorien "uløste problemer" inkluderer også hypotesen foreslået af britiske videnskabsmænd fra University of Cambridge. Selv for 2300 år siden gav den antikke græske videnskabsmand Euclid en komplet beskrivelse af løsningerne til ligningen x2 + y2=z2.
Hvis vi for hvert primtal tæller antallet af punkter på kurven modulo it, får vi et uendeligt sæt heltal. Hvis du specifikt "limer" det ind i 1 funktion af en kompleks variabel, så får du Hasse-Weil zeta-funktionen for en tredje-ordens kurve, betegnet med bogstavet L. Den indeholder information om adfærden modulo alle primtal på én gang.
Brian Birch og Peter Swinnerton-Dyer gættede på elliptiske kurver. Ifølge den er strukturen og antallet af sættet af dets rationelle løsninger relateret til L-funktionens adfærd ved identiteten. Den i øjeblikket ubeviste Birch-Swinnerton-Dyer-formodning afhænger af beskrivelsen af 3. grads algebraiske ligninger og er den eneste relativt enkle generelle måde at beregne rangeringen af elliptiske kurver på.
For at forstå den praktiske betydning af denne opgave er det nok at sige, at i moderne kryptografi er en hel klasse af asymmetriske systemer baseret på elliptiske kurver, og indenlandske digitale signaturstandarder er baseret på deres anvendelse.
Ligestilling mellem klasserne p og np
Hvis resten af Millennium-udfordringerne er rent matematiske, så har denneforhold til den faktiske teori om algoritmer. Problemstillingen omkring ligheden af klasserne p og np, også kendt som Cooke-Levin-problemet, kan formuleres i forståeligt sprog som følger. Antag, at et positivt svar på et bestemt spørgsmål kan kontrolleres hurtigt nok, dvs. i polynomiel tid (PT). Er udsagnet så korrekt, at svaret på det kan findes ret hurtigt? Endnu enklere lyder dette problem sådan: er det virkelig ikke sværere at kontrollere løsningen af problemet end at finde det? Hvis ligheden mellem klasserne p og np nogensinde er bevist, kan alle udvælgelsesproblemer løses for PV. I øjeblikket tvivler mange eksperter på sandheden af denne udtalelse, selvom de ikke kan bevise det modsatte.
Riemann-hypotese
Indtil 1859 blev der ikke fundet noget mønster, der kunne beskrive, hvordan primtal er fordelt mellem naturlige tal. Måske skyldtes det, at videnskaben beskæftigede sig med andre spørgsmål. Men i midten af det 19. århundrede havde situationen ændret sig, og de blev en af de mest relevante, matematik begyndte at beskæftige sig med.
Riemann-hypotesen, som dukkede op i denne periode, er antagelsen om, at der er et vist mønster i fordelingen af primtal.
I dag mener mange moderne videnskabsmænd, at hvis det er bevist, så vil det være nødvendigt at revidere mange af de grundlæggende principper for moderne kryptografi, som danner grundlaget for en væsentlig del af mekanismerne for elektronisk handel.
Ifølge Riemann-hypotesen er karakterenfordelingen af primtal kan afvige væsentligt fra det, der i øjeblikket antages. Faktum er, at der hidtil ikke er blevet opdaget noget system i fordelingen af primtal. For eksempel er der problemet med "tvillinger", hvor forskellen er 2. Disse tal er 11 og 13, 29. Andre primtal danner klynger. Disse er 101, 103, 107 osv. Forskere har længe haft mistanke om, at sådanne klynger eksisterer blandt meget store primtal. Hvis de bliver fundet, vil der være tvivl om styrken af moderne kryptonøgler.
Hodge-cyklushypotese
Dette stadig uløste problem blev formuleret i 1941. Hodges hypotese antyder muligheden for at tilnærme formen på ethvert objekt ved at "lime" simple kroppe af højere dimensioner sammen. Denne metode har været kendt og med succes brugt i lang tid. Det vides dog ikke, i hvilket omfang der kan forenkles.
Nu ved du, hvilke uløselige problemer der findes i øjeblikket. De er genstand for forskning af tusindvis af videnskabsmænd rundt om i verden. Det er stadig at håbe, at de vil blive løst i den nærmeste fremtid, og deres praktiske anvendelse vil hjælpe menneskeheden ind i en ny runde af teknologisk udvikling.
