I 1900 kompilerede en af det sidste århundredes største videnskabsmænd, David Hilbert, en liste over 23 uløste problemer i matematik. Arbejdet med dem havde en enorm indflydelse på udviklingen af dette område af menneskelig viden. 100 år senere præsenterede Clay Mathematical Institute en liste over 7 problemer kendt som Millennium-problemerne. Hver af dem blev tilbudt en præmie på $1 million.
Det eneste problem, der dukkede op blandt begge lister over gåder, der har hjemsøgt videnskabsmænd i mere end et århundrede, var Riemann-hypotesen. Hun venter stadig på sin beslutning.
Kort biografisk note
Georg Friedrich Bernhard Riemann blev født i 1826 i Hannover, i en stor familie af en fattig præst, og levede kun 39 år. Han nåede at udgive 10 værker. Riemann blev dog allerede i sin levetid betragtet som efterfølgeren til sin lærer Johann Gauss. I en alder af 25 forsvarede den unge videnskabsmand sin afhandling "Fundamentals of theory of functions of a complex variable." Senere formulerede hanhans berømte hypotese.
primtal
Matematik dukkede op, da mennesket lærte at tælle. Samtidig opstod de første ideer om tal, som de senere forsøgte at klassificere. Nogle af dem er blevet observeret at have fælles egenskaber. Især blandt naturlige tal, det vil sige dem, der blev brugt til at tælle (nummerere) eller angive antallet af objekter, blev der skelnet en gruppe, der kun var delelige med én og med dem selv. De kaldes simple. Et elegant bevis på uendelighedssætningen af mængden af sådanne tal blev givet af Euklid i hans Elementer. I øjeblikket fortsætter deres eftersøgning. Især er det største allerede kendte tal 274 207 281 – 1.
Euler-formel
Sammen med konceptet om uendeligheden af sættet af primtal, bestemte Euklid også den anden sætning om den eneste mulige nedbrydning til primtalsfaktorer. Ifølge den er ethvert positivt heltal produktet af kun ét sæt primtal. I 1737 udtrykte den store tyske matematiker Leonhard Euler Euklids første uendelighedssætning som nedenstående formel.
Det kaldes zeta-funktionen, hvor s er en konstant, og p tager alle prime værdier. Euklids udtalelse om udvidelsens unikke karakter fulgte direkte af den.
Riemann Zeta-funktion
Eulers formel, ved nærmere eftersyn, er fuldstændigoverraskende, fordi det definerer forholdet mellem primtal og heltal. Når alt kommer til alt, multipliceres uendeligt mange udtryk, der kun afhænger af primtal, på dens venstre side, og summen forbundet med alle positive heltal er placeret til højre.
Riemann gik længere end Euler. For at finde nøglen til problemet med fordelingen af tal, foreslog han at definere en formel for både reelle og komplekse variable. Det var hende, der efterfølgende fik navnet på Riemann zeta-funktionen. I 1859 publicerede videnskabsmanden en artikel med titlen "Om antallet af primtal, der ikke overstiger en given værdi", hvor han sammenfattede alle sine ideer.
Riemann foreslog at bruge Euler-serien, som konvergerer for enhver ægte s>1. Hvis den samme formel bruges til komplekse s, så vil rækken konvergere for enhver værdi af denne variabel med en reel del større end 1. Riemann anvendte den analytiske fortsættelsesprocedure og udvidede definitionen af zeta(r) til alle komplekse tal, men "smidt" enheden ud. Den blev udelukket, fordi ved s=1 stiger zetafunktionen til uendelig.
Praktisk sans
Et logisk spørgsmål rejser sig: hvorfor er zeta-funktionen, som er nøglen i Riemanns arbejde med nulhypotesen, interessant og vigtig? Som du ved, er der i øjeblikket ikke blevet identificeret et simpelt mønster, der ville beskrive fordelingen af primtal blandt naturlige tal. Riemann var i stand til at opdage, at tallet pi(x) af primtal, der ikke oversteg x, er udtrykt ved fordelingen af ikke-trivielle nuller af zeta-funktionen. Desuden er Riemann-hypotesenen nødvendig betingelse for at bevise tidsestimater for driften af nogle kryptografiske algoritmer.
Riemann-hypotese
En af de første formuleringer af dette matematiske problem, som ikke er blevet bevist den dag i dag, lyder sådan her: ikke-trivielle 0 zeta-funktioner er komplekse tal med en reel del lig med ½. Med andre ord er de placeret på linjen Re s=½.
Der er også en generaliseret Riemann-hypotese, som er det samme udsagn, men for generaliseringer af zeta-funktioner, som almindeligvis kaldes Dirichlet L-funktioner (se billedet nedenfor).
I formlen χ(n) - et eller andet numerisk tegn (modulo k).
Den riemannske sætning betragtes som den såkaldte nulhypotese, da den er blevet testet for overensstemmelse med eksisterende prøvedata.
Som Riemann argumenterede
Den tyske matematikers bemærkning var oprindeligt formuleret ret henkastet. Faktum er, at videnskabsmanden på det tidspunkt skulle bevise teoremet om fordelingen af primtal, og i denne sammenhæng var denne hypotese ikke af særlig betydning. Dens rolle i løsningen af mange andre problemer er imidlertid enorm. Derfor er Riemanns antagelse nu anerkendt af mange videnskabsmænd som den vigtigste af de ubeviste matematiske problemer.
Som allerede nævnt er den fulde Riemann-hypotese ikke nødvendig for at bevise fordelingssætningen, og det er nok til at retfærdiggøre logisk, at den reelle del af ethvert ikke-trivielt nulpunkt af zeta-funktionen er imellem 0 og 1. Det følger af denne egenskab, at summen over alle 0'er af zeta-funktionen, der optræder i den nøjagtige formel ovenfor, er en endelig konstant. For store værdier af x kan det gå tabt helt. Det eneste medlem af formlen, der forbliver det samme selv for meget store x, er selve x. De resterende komplekse udtryk forsvinder asymptotisk i sammenligning med det. Så den vægtede sum har en tendens til x. Denne omstændighed kan betragtes som en bekræftelse af sandheden af sætningen om fordelingen af primtal. Nullerne i Riemann zeta-funktionen har således en særlig rolle. Det består i at bevise, at sådanne værdier ikke kan yde et væsentligt bidrag til nedbrydningsformlen.
Followers of Riemann
Tragisk død fra tuberkulose tillod ikke denne videnskabsmand at bringe sit program til dets logiske afslutning. Sh-Zh tog dog over fra ham. de la Vallée Poussin og Jacques Hadamard. Uafhængigt af hinanden udledte de en sætning om fordelingen af primtal. Det lykkedes Hadamard og Poussin at bevise, at alle ikke-trivielle 0 zeta-funktioner er inden for det kritiske bånd.
Takket være disse videnskabsmænds arbejde er en ny retning inden for matematik dukket op - den analytiske teori om tal. Senere fik andre forskere flere primitive beviser for sætningen, som Riemann arbejdede på. Især Pal Erdős og Atle Selberg opdagede endda en meget kompleks logisk kæde, der bekræftede den, som ikke krævede brug af kompleks analyse. Men på dette tidspunkt flere vigtigeteoremer, herunder tilnærmelser af mange t alteoretiske funktioner. I denne henseende påvirkede Erdős og Atle Selbergs nye arbejde praktisk t alt ikke noget.
Et af de enkleste og smukkeste beviser på problemet blev fundet i 1980 af Donald Newman. Den var baseret på den berømte Cauchy-sætning.
Trusler den riemannske hypotese grundlaget for moderne kryptografi
Datakryptering opstod sammen med udseendet af hieroglyffer, mere præcist kan de selv betragtes som de første koder. I øjeblikket er der et helt område inden for digital kryptografi, som udvikler krypteringsalgoritmer.
Prim- og "semi-primtal", dvs. dem, der kun er delelige med 2 andre tal fra samme klasse, danner grundlaget for det offentlige nøglesystem kendt som RSA. Det har den bredeste anvendelse. Det bruges især ved generering af en elektronisk signatur. Riemann-hypotesen taler i termer, der er tilgængelige for dummies, og hævder eksistensen af et system i fordelingen af primtal. Således er styrken af kryptografiske nøgler, som sikkerheden ved online-transaktioner inden for e-handel afhænger af, væsentligt reduceret.
Andre uløste matematiske problemer
Det er værd at afslutte artiklen ved at afsætte et par ord til andre årtusindmål. Disse omfatter:
- Ligestilling mellem klasserne P og NP. Problemstillingen er formuleret som følger: hvis et positivt svar på et bestemt spørgsmål kontrolleres i polynomisk tid, så er det sandt, at svaret på dette spørgsmål i sig selvkan findes hurtigt?
- Hodges formodning. Med enkle ord kan det formuleres som følger: for nogle typer projektive algebraiske varianter (rum) er Hodge-cyklusser kombinationer af objekter, der har en geometrisk fortolkning, dvs. algebraiske cyklusser.
- Poincarés formodning. Dette er den eneste Millennium Challenge, der er blevet bevist indtil videre. Ifølge den skal ethvert 3-dimensionelt objekt, der har de specifikke egenskaber som en 3-dimensionelt sfære, være en sfære, op til deformation.
- Bekræftelse af kvanteteorien om Yang - Mills. Det er nødvendigt at bevise, at kvanteteorien fremsat af disse videnskabsmænd for rummet R 4 eksisterer og har en 0. massedefekt for enhver simpel kompaktmålergruppe G.
- Birch-Swinnerton-Dyer-hypotese. Dette er et andet problem relateret til kryptografi. Den rører ved elliptiske kurver.
- Problemet med eksistensen og smidigheden af løsninger til Navier-Stokes-ligningerne.
Nu kender du Riemann-hypotesen. Enkelt sagt har vi formuleret nogle af de andre Millennium-udfordringer. At de bliver løst, eller det vil blive bevist, at de ikke har nogen løsning, er et spørgsmål om tid. Desuden er det usandsynligt, at dette skal vente for længe, da matematik i stigende grad bruger computernes computeregenskaber. Det er dog ikke alt, der er underlagt teknologi, og først og fremmest kræves intuition og kreativitet for at løse videnskabelige problemer.
