Sekskantet prisme og dets vigtigste egenskaber

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Rumlig geometri er studiet af prismer. Deres vigtige egenskaber er volumenet indeholdt i dem, overfladearealet og antallet af bestanddele. I artiklen vil vi overveje alle disse egenskaber for et sekskantet prisme.

Hvilket prisme taler vi om?

Et sekskantet prisme er en figur dannet af to polygoner med seks sider og seks vinkler og seks parallelogrammer, der forbinder de markerede sekskanter til en enkelt geometrisk formation.

Figuren viser et eksempel på dette prisme.

Sekskanten markeret med rødt kaldes bunden af figuren. Det er klart, at antallet af dens baser er lig med to, og begge er identiske. De gulgrønlige flader af et prisme kaldes dets sider. På figuren er de repræsenteret af kvadrater, men generelt er de parallelogrammer.

Det sekskantede prisme kan være skråtstillet og lige. I det første tilfælde er vinklerne mellem basen og siderne ikke lige, i det andet er de lig med 90o. Også dette prisme kan være korrekt og forkert. Regelmæssig sekskantetprismet skal være lige og have en regulær sekskant i bunden. Ovenstående prisme på figuren opfylder disse krav, så det kaldes korrekt. Yderligere i artiklen vil vi kun studere dets egenskaber, som et generelt tilfælde.

Elements

For ethvert prisme er dets hovedelementer kanter, flader og hjørner. Det sekskantede prisme er ingen undtagelse. Figuren ovenfor giver dig mulighed for at tælle antallet af disse elementer. Så vi får 8 flader eller sider (to baser og seks laterale parallelogrammer), antallet af hjørner er 12 (6 spidser for hver base), antallet af kanter på et sekskantet prisme er 18 (seks laterale og 12 for baserne).

I 1750'erne etablerede Leonhard Euler (en schweizisk matematiker) for alle polyedre, som inkluderer et prisme, et matematisk forhold mellem tallene på de angivne elementer. Dette forhold ser sådan ud:

antal kanter=antal sider + antal hjørner - 2.

Ovenstående tal opfylder denne formel.

prismediagonaler

Alle diagonaler af et sekskantet prisme kan opdeles i to typer:

• dem, der ligger i dets ansigter;
• dem, der hører til hele figurens bind.

Billedet nedenfor viser alle disse diagonaler.

Det kan ses, at D₁ er sidediagonalen, D₂ og D₃ er diagonalerne hele prismet, D₄ og D_{5 - basens diagonaler.}

Længden af diagonalerne på siderne er lig med hinanden. Det er nemt at beregne dem ved hjælp af den velkendte Pythagoras sætning. Lad a være længden af siden af sekskanten, b længden af sidekanten. Så har diagonalen længden:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ er også let at bestemme. Hvis vi husker, at en regulær sekskant passer ind i en cirkel med radius a, så er D_{4 diameteren af denne cirkel, det vil sige, vi får følgende formel:}

D_4=2a.

Diagonal D₅baser er noget sværere at finde. For at gøre dette skal du overveje en ligesidet trekant ABC (se fig.). For ham er AB=BC=a, vinklen ABC er 120^{o. Hvis vi sænker højden fra denne vinkel (det vil også være halveringslinjen og medianen), så vil halvdelen af AC-basen være lig med:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC-siden er diagonalen af D_{5, så vi får:}

D_5=AC=√3a.

Nu er det tilbage at finde diagonalerne D₂og D_{3for et regulært sekskantet prisme. For at gøre dette skal du se, at de er hypotenuserne i de tilsvarende retvinklede trekanter. Ved at bruge Pythagoras sætning får vi:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Den største diagonal for alle værdier af a og b er såledesD_2.

Overfladeareal

For at forstå, hvad der er på spil, er den nemmeste måde at overveje udviklingen af dette prisme. Det er vist på billedet.

Det kan ses, at for at bestemme arealet af alle sider af den betragtede figur, er det nødvendigt at beregne arealet af firkanten og arealet af sekskanten separat og derefter gange dem med de tilsvarende heltal lig med antallet af hver n-gon i prismet, og tilføj resultaterne. Sekskanter 2, rektangler 6.

For arealet af et rektangel får vi:

S_1=ab.

Så er det laterale overfladeareal:

S_2=6ab.

For at bestemme arealet af en sekskant er den nemmeste måde at bruge den tilsvarende formel, der ser ud som:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Ved at erstatte tallet n lig med 6 i dette udtryk får vi arealet af en sekskant:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Dette udtryk skal ganges med to for at få arealet af prismets grundflader:

S_os=3√3a^2.

Det er tilbage at tilføje S_os og S_{2 for at få figurens samlede overfladeareal:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

prismevolumen

Efter formlen forarealet af en sekskantet base, er det lige så nemt at udregne volumenet indeholdt i det pågældende prisme som at beskyde pærer. For at gøre dette skal du bare gange arealet af knoglebasen (sekskant) med højden af figuren, hvis længde er lig med længden af sidekanten. Vi får formlen:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Bemærk, at produktet af basen og højden giver værdien af volumen af absolut ethvert prisme, inklusive det skrå. Men i sidstnævnte tilfælde er beregningen af højden kompliceret, da den ikke længere vil være lig med længden af sideribben. Hvad angår et regulært sekskantet prisme, er værdien af dets volumen en funktion af to variable: siderne a og b.