I skoleforløbet for solid geometri er en af de enkleste figurer, der har ikke-nul dimensioner langs tre rumlige akser, et firkantet prisme. Overvej i artiklen, hvilken slags figur det er, hvilke elementer den består af, og også hvordan du kan beregne dens overfladeareal og volumen.
Begrebet et prisme
I geometri er et prisme en rumlig figur, som er dannet af to identiske baser og sideflader, der forbinder siderne af disse baser. Bemærk, at begge baser transformeres ind i hinanden ved hjælp af parallel translation af en eller anden vektor. Denne tildeling af prismet fører til, at alle dets sider altid er parallellogrammer.
Antallet af sider af basen kan være vilkårligt, startende fra tre. Når dette tal har en tendens til det uendelige, bliver prismet jævnt til en cylinder, da dets basis bliver en cirkel, og sideparallellegrammerne, der forbinder, danner en cylindrisk overflade.
Som ethvert polyeder er et prisme kendetegnet vedsider (planer, der afgrænser figuren), kanter (segmenter, langs hvilke to sider krydser hinanden) og hjørner (mødepunkter for tre sider, for et prisme er to af dem laterale, og den tredje er bunden). Mængderne af de nævnte tre elementer i figuren er forbundet med følgende udtryk:
P=C + B - 2
Her er P, C og B antallet af henholdsvis kanter, sider og toppunkter. Dette udtryk er den matematiske notation af Eulers sætning.
Billedet ovenfor viser to prismer. I bunden af en af dem (A) ligger en regulær sekskant, og sidesiderne er vinkelrette på baserne. Figur B viser et andet prisme. Dens sider er ikke længere vinkelrette på baserne, og basen er en regulær femkant.
Hvad er et firkantet prisme?
Som det klart fremgår af beskrivelsen ovenfor, er typen af prisme primært bestemt af typen af polygon, der danner basen (begge baser er ens, så vi kan tale om en af dem). Hvis denne polygon er et parallelogram, får vi et firkantet prisme. Således er alle sider af denne type prisme parallellogrammer. Et firkantet prisme har sit eget navn - et parallelepipedum.
Antallet af sider af et parallelepipedum er seks, og hver side har en lignende parallel til sig. Da boksens bund er to sider, er de resterende fire sideværts.
Antallet af spidser af parallelepipedet er otte, hvilket er let at se, hvis vi husker, at spidserne af prismet kun dannes ved spidserne af basispolygonerne (4x2=8). Ved at anvende Eulers sætning får vi antallet af kanter:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Ud af 12 ribben er kun 4 dannet uafhængigt af siderne. De resterende 8 ligger i planerne af figurens baser.
Længere i artiklen vil vi kun tale om firkantede prismer.
Typer af parallelepipeder
Den første type klassifikation er funktionerne i det underliggende parallelogram. Det kan se sådan ud:
- regular, hvis vinkler ikke er lig med 90o;
- rektangel;
- en firkant er en regulær firkant.
Den anden type klassifikation er den vinkel, hvor siden krydser basen. To forskellige tilfælde er mulige her:
- denne vinkel er ikke lige, så kaldes prismet skrå eller skrå;
- vinklen er 90o, så er sådan et prisme rektangulært eller bare lige.
Den tredje type klassifikation er relateret til prismets højde. Hvis prismet er rektangulært, og basen er enten en firkant eller et rektangel, så kaldes det en kuboid. Hvis der er en firkant ved bunden, er prismet rektangulært, og dets højde er lig med længden af kvadratets side, så får vi den velkendte terningfigur.
Prismeoverflade og -areal
Sættet af alle punkter, der ligger på to baser af et prisme(parallelogrammer) og på dens sider (fire parallelogrammer) danner overfladen af figuren. Arealet af denne overflade kan beregnes ved at beregne arealet af basen og denne værdi for sidefladen. Så vil deres sum give den ønskede værdi. Matematisk skrives dette som følger:
S=2So+ Sb
Her er So og Sb arealet af henholdsvis basis- og sideoverfladen. Tallet 2 før So vises, fordi der er to baser.
Bemærk, at den skrevne formel er gyldig for ethvert prisme og ikke kun for arealet af et firkantet prisme.
Det er nyttigt at huske, at arealet af et parallelogram Sp beregnes med formlen:
Sp=ah
Hvor symbolerne a og h angiver henholdsvis længden af en af dens sider og højden tegnet til denne side.
Arealet af et rektangulært prisme med en kvadratisk base
I et regulært firkantet prisme er basen en firkant. For bestemthedens skyld betegner vi dens side med bogstavet a. For at beregne arealet af et regulært firkantet prisme skal du kende dets højde. Ifølge definitionen for denne mængde er den lig med længden af vinkelret faldet fra en base til en anden, det vil sige lig med afstanden mellem dem. Lad os betegne det med bogstavet h. Da alle sideflader er vinkelrette på baserne for den pågældende prismetype, vil højden af et regulært firkantet prisme være lig med længden af dets sidekant.
BDen generelle formel for overfladearealet af et prisme er to udtryk. Arealet af basen i dette tilfælde er let at beregne, det er lig med:
So=a2
For at beregne arealet af sidefladen argumenterer vi som følger: denne overflade er dannet af 4 identiske rektangler. Desuden er siderne på hver af dem lig med a og h. Det betyder, at arealet af Sb vil være lig med:
Sb=4ah
Bemærk, at produktet 4a er omkredsen af den kvadratiske base. Hvis vi generaliserer dette udtryk til tilfældet med en vilkårlig base, så kan sidefladen for et rektangulært prisme beregnes som følger:
Sb=Poh
Hvor Po er omkredsen af basen.
Vend tilbage til problemet med at beregne arealet af et regulært firkantet prisme, kan vi skrive den endelige formel:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Areal af et skråt parallelepipedum
At beregne det er noget sværere end for en rektangulær. I dette tilfælde beregnes basisarealet af et firkantet prisme ved hjælp af den samme formel som for et parallelogram. Ændringerne vedrører måden det laterale overfladeareal bestemmes på.
For at gøre dette skal du bruge den samme formel gennem omkredsen som angivet i afsnittet ovenfor. Først nu vil den have lidt forskellige multiplikatorer. Den generelle formel for Sb i tilfælde af et skrå prisme er:
Sb=Psrc
Her er c længden af figurens sidekant. Værdien Psr er omkredsen af den rektangulære skive. Dette miljø er bygget som følger: det er nødvendigt at skære alle sidefladerne med et plan, så det er vinkelret på dem alle. Det resulterende rektangel vil være det ønskede snit.
Figuren ovenfor viser et eksempel på en skrå boks. Dens skraverede sektion danner rette vinkler med siderne. Omkredsen af sektionen er Psr. Det er dannet af fire højder af laterale parallelogrammer. For dette firkantede prisme beregnes det laterale overfladeareal ved hjælp af ovenstående formel.
Længden af diagonalen af en cuboid
Diagonalen af et parallelepipedum er et segment, der forbinder to hjørner, der ikke har fælles sider, der danner dem. Der er kun fire diagonaler i ethvert firkantet prisme. For en kasseform med et rektangel ved bunden er længderne af alle diagonaler lig med hinanden.
Figuren nedenfor viser den tilsvarende figur. Det røde segment er dets diagonal.
Beregning af dens længde er meget enkel, hvis du husker Pythagoras sætning. Hver elev kan få den ønskede formel. Den har følgende form:
D=√(A2+ B2 + C2)
Her er D længden af diagonalen. De resterende tegn er længden af boksens sider.
Mange mennesker forveksler diagonalen på et parallelepipedum med diagonalerne på dets sider. Nedenfor er et billede, hvor den farvedesegmenterne repræsenterer diagonalerne på figurens sider.
Længden af hver af dem bestemmes også af Pythagoras sætning og er lig med kvadratroden af summen af kvadraterne af de tilsvarende sidelængder.
prismevolumen
Ud over arealet af et regulært firkantet prisme eller andre typer prismer, for at løse nogle geometriske problemer, bør du også kende deres volumen. Denne værdi for absolut ethvert prisme beregnes ved hjælp af følgende formel:
V=Soh
Hvis prismet er rektangulært, så er det nok at beregne arealet af dets base og gange det med længden af kanten af siden for at få figurens rumfang.
Hvis prismet er et regulært firkantet prisme, vil dets volumen være:
V=a2h.
Det er let at se, at denne formel konverteres til et udtryk for rumfanget af en terning, hvis længden af sidekanten h er lig med siden af basen a.
Problem med en kasseformet
For at konsolidere det undersøgte materiale vil vi løse følgende problem: der er et rektangulært parallelepipedum, hvis sider er 3 cm, 4 cm og 5 cm. Det er nødvendigt at beregne dets overfladeareal, diagonallængde og volumen.
For nøjagtighedens skyld vil vi antage, at figurens basis er et rektangel med sider på 3 cm og 4 cm. Så er dens areal 12 cm2, og punktum er 14 cm. Ved at bruge formlen for prismets overfladeareal får vi:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
For at bestemme længden af diagonalen og figurens volumen, kan du direkte bruge ovenstående udtryk:
D=√(32+42+52)=7. 071 cm;
V=345=60cm3.
Problem med en skrå parallelepipedum
Figuren nedenfor viser et skråt prisme. Dens sider er lige store: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Du skal finde overfladearealet af denne figur.
Først, lad os bestemme arealet af basen. Figuren viser, at den spidse vinkel er 50o. Så er dens område:
So=ha=sin(50o)ba
For at bestemme arealet af sidefladen skal du finde omkredsen af det skraverede rektangel. Siderne af dette rektangel er asin(45o) og bsin(60o). Så er omkredsen af dette rektangel:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Det samlede overfladeareal af denne boks er:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Vi erstatter data fra problemets tilstand med længderne af figurens sider, vi får svaret:
S=458, 5496 cm3
Det kan ses af løsningen af dette problem, at trigonometriske funktioner bruges til at bestemme arealer af skrå figurer.
