Polynomium, eller polynomium - en af de grundlæggende algebraiske strukturer, som findes i skolen og højere matematik. Studiet af et polynomium er det vigtigste emne i et algebrakursus, da polynomier på den ene side er ret enkle sammenlignet med andre typer funktioner, og på den anden side er de meget brugt til at løse problemer med matematisk analyse. Så hvad er et polynomium?
Definition
Definitionen af begrebet polynomium kan gives gennem begrebet monomial eller monomial.
Et monomial er et udtryk for formen cx1i1x2 i2 …x in. Her er с en konstant, x1, x2, … x - variabler, i1, i2, … i - eksponenter for variable. Så er et polynomium en hvilken som helst endelig sum af monomer.
For at forstå, hvad et polynomium er, kan du se på specifikke eksempler.
Det firkantede trinomium, der er beskrevet detaljeret i matematikkurset i 8. klasse, er et polynomium: ax2+bx+c.
Et polynomium med to variable kan se sådan ud: x2-xy+y2. Sådanet polynomium kaldes også et ufuldstændigt kvadrat af forskellen mellem x og y.
Polynomiale klassifikationer
polynomisk grad
For hvert monomial i polynomiet, find summen af eksponenterne i1+i2+…+in. Den største af summerne kaldes polynomiets eksponent, og den monomial, der svarer til denne sum, kaldes den højeste led.
Enhver konstant kan i øvrigt betragtes som et polynomium af grad nul.
Reducerede og ikke-reducerede polynomier
Hvis koefficienten c er lig med 1 for det højeste led, er polynomiet givet, ellers er det ikke.
For eksempel er udtrykket x2+2x+1 et reduceret polynomium, og 2x2+2x+1 er ikke reduceret.
Homogene og inhomogene polynomier
Hvis graderne af alle medlemmer af et polynomium er ens, så siger vi, at et sådant polynomium er homogent. Alle andre polynomier betragtes som ikke-homogene.
homogene polynomier: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogen: x+1, x2+y.
Der er specielle navne for et polynomium med to og tre led: henholdsvis binomial og trinomial.
Polynomier af én variabel er allokeret i en separat kategori.
Anvendelse af et polynomium af én variabel
Polynomier af én variabel tilnærmer sig kontinuerte funktioner af varierende kompleksitet fra ét argument.
Faktum er, at sådanne polynomier kan betragtes som partielle summer af en potensrække, og en kontinuert funktion kan repræsenteres som en række med en vilkårlig lille fejl. Udvidelsesrækkerne af en funktion kaldes Taylor-serier, og deresdelsummer i form af polynomier - Taylor-polynomier.
At studere en funktions adfærd grafisk ved at tilnærme den med et eller andet polynomium er ofte nemmere end at undersøge den samme funktion direkte eller bruge en serie.
Det er nemt at lede efter afledte polynomier. For at finde rødderne til polynomier af grad 4 og derunder er der færdige formler, og til at arbejde med højere grader bruges tilnærmede algoritmer med høj præcision.
Der er også en generalisering af de beskrevne polynomier for funktioner af flere variable.
Newtons binomiale
Berømte polynomier er Newtons polynomier, udledt af videnskabsmænd for at finde koefficienterne for udtrykket (x + y).
Det er nok at se på de første par potenser af den binomiale dekomponering for at sikre, at formlen er ikke-triviel:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
For hver koefficient er der et udtryk, der giver dig mulighed for at beregne den. Men at huske besværlige formler og udføre de nødvendige aritmetiske operationer hver gang ville være ekstremt ubelejligt for de matematikere, der ofte har brug for sådanne udvidelser. Pascals trekant gjorde livet meget lettere for dem.
Figuren er bygget efter følgende princip. 1 skrives i toppen af trekanten, og i hver næste linje bliver det til et ciffer mere, 1 sættes i kanterne, og midten af linjen er fyldt med summen af to tilstødende tal fra den forrige.
Når du ser på illustrationen, bliver alt tydeligt.
Selvfølgelig er brugen af polynomier i matematik ikke begrænset til de givne eksempler, de mest kendte.
