Fourier-serien er en repræsentation af en vilkårligt taget funktion med en bestemt periode som en serie. Generelt kaldes denne løsning for nedbrydning af et grundstof på en ortogonal basis. Udvidelsen af funktioner i en Fourier-serie er et ret kraftfuldt værktøj til at løse forskellige problemer på grund af egenskaberne ved denne transformation ved integration, differentiering samt forskydning af et udtryk i et argument og foldning.
En person, der ikke er bekendt med højere matematik, såvel som med den franske videnskabsmand Fouriers værker, vil højst sandsynligt ikke forstå, hvad disse "rækker" er, og hvad de er til for. I mellemtiden er denne transformation blevet ret tæt i vores liv. Det bruges ikke kun af matematikere, men også af fysikere, kemikere, læger, astronomer, seismologer, oceanografer og mange andre. Lad os se nærmere på den store franske videnskabsmands værker, som gjorde en opdagelse forud for sin tid.
Man and the Fourier Transform
Fourier-serier er en af metoderne (sammen med analyse og andre) til Fourier-transformationen. Denne proces opstår hver gang en person hører en lyd. Vores øre konverterer automatisk lydenbølger. De oscillerende bevægelser af elementarpartikler i et elastisk medium dekomponeres i rækker (langs spektret) af successive værdier af volumenniveauet for toner af forskellige højder. Dernæst forvandler hjernen disse data til lyde, vi kender. Alt dette sker ud over vores ønske eller bevidsthed af sig selv, men for at forstå disse processer vil det tage flere år at studere højere matematik.
Mere om Fourier-transformationen
Fourier-transformation kan udføres ved hjælp af analytiske, numeriske og andre metoder. Fourier-serier henviser til den numeriske måde at nedbryde enhver oscillerende process på - fra havvande og lysbølger til cyklusser af solaktivitet (og andre astronomiske objekter). Ved hjælp af disse matematiske teknikker er det muligt at analysere funktioner, der repræsenterer enhver oscillerende processer som en række sinusformede komponenter, der går fra minimum til maksimum og omvendt. Fourier-transformationen er en funktion, der beskriver fasen og amplituden af sinusoider svarende til en bestemt frekvens. Denne proces kan bruges til at løse meget komplekse ligninger, der beskriver dynamiske processer, der sker under påvirkning af termisk, lys eller elektrisk energi. Fourier-serier gør det også muligt at isolere de konstante komponenter i komplekse oscillerende signaler, hvilket gjorde det muligt korrekt at fortolke de opnåede eksperimentelle observationer inden for medicin, kemi og astronomi.
Historisk baggrund
Grundlæggeren af denne teoriJean Baptiste Joseph Fourier er en fransk matematiker. Denne transformation blev efterfølgende opkaldt efter ham. I første omgang brugte videnskabsmanden sin metode til at studere og forklare mekanismerne for varmeledning - spredningen af varme i faste stoffer. Fourier foreslog, at den oprindelige uregelmæssige fordeling af en varmebølge kan nedbrydes i de simpleste sinusoider, som hver vil have sit eget temperaturminimum og -maksimum, såvel som sin egen fase. I dette tilfælde vil hver sådan komponent blive målt fra minimum til maksimum og omvendt. Den matematiske funktion, der beskriver kurvens øvre og nedre toppe, samt fasen af hver af harmoniske, kaldes Fourier-transformationen af temperaturfordelingsudtrykket. Forfatteren af teorien reducerede den generelle fordelingsfunktion, som er svær at beskrive matematisk, til en meget lethåndterlig række af periodiske cosinus- og sinusfunktioner, der lægger op til den oprindelige fordeling.
Princippet om transformation og samtidens synspunkter
Videnskabsmandens samtidige - de førende matematikere i det tidlige nittende århundrede - accepterede ikke denne teori. Hovedindvendingen var Fouriers påstand om, at en diskontinuerlig funktion, der beskriver en ret linje eller en diskontinuerlig kurve, kan repræsenteres som en sum af sinusformede udtryk, der er kontinuerte. Som et eksempel kan du overveje Heavisides "trin": dens værdi er nul til venstre for mellemrummet og en til højre. Denne funktion beskriver den elektriske strøms afhængighed af tidsvariablen, når kredsløbet er lukket. Samtidige af teorien på det tidspunkt havde aldrig stødt på sådanneen situation, hvor det diskontinuerlige udtryk ville blive beskrevet ved en kombination af kontinuerte, ordinære funktioner, såsom eksponentiel, sinusformet, lineær eller kvadratisk.
Hvad forvirrede franske matematikere i Fourier-teorien?
Når alt kommer til alt, hvis matematikeren havde ret i sine udsagn, og opsummerer den uendelige trigonometriske Fourier-række, kan du få en nøjagtig repræsentation af trinudtrykket, selvom det har mange lignende trin. I begyndelsen af det nittende århundrede virkede en sådan udtalelse absurd. Men på trods af al tvivl har mange matematikere udvidet omfanget af undersøgelsen af dette fænomen, idet det tager det ud over omfanget af undersøgelser af termisk ledningsevne. De fleste videnskabsmænd fortsatte dog med at pine sig over spørgsmålet: "Kan summen af en sinusformet række konvergere til den nøjagtige værdi af en diskontinuerlig funktion?"
Convergence of Fourier-serier: eksempel
Spørgsmålet om konvergens rejses, når det er nødvendigt at summere uendelige rækker af tal. For at forstå dette fænomen, overvej et klassisk eksempel. Kan du nogensinde nå væggen, hvis hvert efterfølgende trin er halvt så stort som det foregående? Antag, at du er to meter fra målet, det første skridt bringer dig tættere på halvvejs, det næste til trekvartmærket, og efter det femte vil du tilbagelægge næsten 97 procent af vejen. Men uanset hvor mange skridt du tager, vil du ikke nå det tilsigtede mål i en streng matematisk forstand. Ved hjælp af numeriske beregninger kan man bevise, at man i sidste ende kan komme så tæt på, som man vil.lille specificeret afstand. Dette bevis svarer til at demonstrere, at sumværdien af en halv, en fjerdedel osv. vil have en tendens til en.
Spørgsmål om konvergens: The Second Coming, eller Lord Kelvin's Appliance
Gentagne gange blev dette spørgsmål rejst i slutningen af det nittende århundrede, da Fourier-serier blev forsøgt brugt til at forudsige intensiteten af ebbe og flod. På dette tidspunkt opfandt Lord Kelvin en enhed, som er en analog computerenhed, der gjorde det muligt for søfolk fra militær- og handelsflåden at spore dette naturlige fænomen. Denne mekanisme bestemte sætene af faser og amplituder ud fra en tabel over tidevandshøjder og deres tilsvarende tidsmomenter, omhyggeligt målt i en given havn i løbet af året. Hver parameter var en sinusformet komponent af tidevandshøjdeudtrykket og var en af de regulære komponenter. Resultaterne af målingerne blev indtastet i Lord Kelvins lommeregner, som syntetiserede en kurve, der forudsagde vandets højde som funktion af tiden for det næste år. Meget snart blev der tegnet lignende kurver for alle verdens havne.
Og hvis processen er brudt af en diskontinuerlig funktion?
På det tidspunkt virkede det indlysende, at en tidevandsbølgeprædiktor med et stort antal tælleelementer kunne beregne et stort antal faser og amplituder og dermed give mere præcise forudsigelser. Ikke desto mindre viste det sig, at denne regelmæssighed ikke iagttages i tilfælde, hvor tidevandsudtrykket, som følgersyntetisere, indeholdt et skarpt spring, det vil sige, det var diskontinuerligt. I tilfælde af at data indtastes i enheden fra tabellen over tidsmomenter, beregner den flere Fourier-koefficienter. Den oprindelige funktion genoprettes takket være de sinusformede komponenter (i henhold til de fundne koefficienter). Uoverensstemmelsen mellem det oprindelige og det gendannede udtryk kan måles på ethvert tidspunkt. Ved gentagne beregninger og sammenligninger kan det ses, at værdien af den største fejl ikke falder. De er dog lokaliseret i det område, der svarer til diskontinuitetspunktet, og har en tendens til nul på ethvert andet punkt. I 1899 blev dette resultat teoretisk bekræftet af Joshua Willard Gibbs fra Yale University.
Konvergens af Fourier-serier og udviklingen af matematik generelt
Fourier-analyse er ikke anvendelig til udtryk, der indeholder et uendeligt antal bursts i et bestemt interval. Generelt konvergerer Fourier-serier, hvis den oprindelige funktion er resultatet af en reel fysisk måling, altid. Spørgsmål om konvergensen af denne proces for specifikke klasser af funktioner har ført til fremkomsten af nye sektioner i matematik, for eksempel teorien om generaliserede funktioner. Det er forbundet med sådanne navne som L. Schwartz, J. Mikusinsky og J. Temple. Inden for rammerne af denne teori blev der skabt et klart og præcist teoretisk grundlag for sådanne udtryk som Dirac delta-funktionen (den beskriver et område af et enkelt område koncentreret i et uendeligt lille område af et punkt) og Heaviside " trin". Takket være dette arbejde blev Fourier-serien anvendelig tilløsning af ligninger og problemer, der involverer intuitive begreber: punktladning, punktmasse, magnetiske dipoler samt en koncentreret belastning på en stråle.
Fourier-metode
Fourier-serien begynder i overensstemmelse med principperne for interferens med nedbrydningen af komplekse former til mere simple. For eksempel forklares en ændring i varmestrømmen ved dens passage gennem forskellige forhindringer lavet af uregelmæssigt formet varmeisolerende materiale eller en ændring i jordens overflade - et jordskælv, en ændring i et himmellegemes kredsløb - påvirkning af planeter. Som regel løses lignende ligninger, der beskriver simple klassiske systemer, elementært for hver enkelt bølge. Fourier viste, at simple løsninger også kan summeres til at give løsninger på mere komplekse problemer. På matematiksproget er Fourierrækker en teknik til at repræsentere et udtryk som en sum af harmoniske - cosinus og sinus. Derfor er denne analyse også kendt som "harmonisk analyse".
Fourier-serien - den ideelle teknik før "computeralderen"
Før oprettelsen af computerteknologi var Fourier-teknikken det bedste våben i arsenalet af videnskabsmænd, når de arbejdede med vores verdens bølgenatur. Fourier-serien i en kompleks form tillader løsning af ikke kun simple problemer, der direkte kan anvendes på lovene i Newtons mekanik, men også fundamentale ligninger. De fleste af den newtonske videnskabs opdagelser i det nittende århundrede blev kun muliggjort af Fouriers teknik.
Fourier-serien i dag
Med udviklingen af Fourier-transformationscomputereløftet til et helt nyt niveau. Denne teknik er solidt forankret i næsten alle områder af videnskab og teknologi. Et eksempel er et digit alt lyd- og videosignal. Dens realisering blev kun mulig takket være teorien udviklet af en fransk matematiker i begyndelsen af det nittende århundrede. Således gjorde Fourier-serien i en kompleks form det muligt at få et gennembrud i studiet af det ydre rum. Derudover påvirkede det studiet af fysikken i halvledermaterialer og plasma, mikrobølgeakustik, oceanografi, radar, seismologi.
Trigonometrisk Fourier-serie
I matematik er en Fourier-række en måde at repræsentere vilkårlige komplekse funktioner som en sum af simplere. I almindelige tilfælde kan antallet af sådanne udtryk være uendeligt. Desuden, jo mere deres antal tages i betragtning i beregningen, jo mere nøjagtigt er det endelige resultat. Oftest bruges de trigonometriske funktioner af cosinus eller sinus som de enkleste. I dette tilfælde kaldes Fourier-serien trigonometrisk, og løsningen af sådanne udtryk kaldes udvidelsen af den harmoniske. Denne metode spiller en vigtig rolle i matematik. Først og fremmest giver den trigonometriske serie et middel til billedet, såvel som studiet af funktioner, det er teoriens hovedapparat. Derudover giver det mulighed for at løse en række problemer inden for matematisk fysik. Endelig bidrog denne teori til udviklingen af matematisk analyse, gav anledning til en række meget vigtige dele af matematisk videnskab (teorien om integraler, teorien om periodiske funktioner). Derudover fungerede det som udgangspunkt for udviklingen af følgende teorier: mængder, funktionerreel variabel, funktionel analyse, og lagde også grundlaget for harmonisk analyse.
