Fourier-transformation er en transformation, der sammenligner funktionerne af en reel variabel. Denne operation udføres hver gang vi opfatter forskellige lyde. Øret udfører en automatisk "beregning", som vores bevidsthed kun er i stand til at udføre efter at have studeret den tilsvarende sektion af højere matematik. Det menneskelige høreorgan bygger en transformation, som et resultat af hvilken lyd (oscillerende bevægelse af betingede partikler i et elastisk medium, der forplanter sig i en bølgeform i et fast, flydende eller gasformigt medium) leveres i form af et spektrum af successive værdier af lydstyrkeniveauet for toner i forskellige højder. Derefter forvandler hjernen denne information til en lyd, som alle kender.
Matematisk Fourier-transformation
Transformation af lydbølger eller andre oscillerende processer (fra lysstråling og havvande til cyklusser af stjerne- eller solaktivitet) kan også udføres ved hjælp af matematiske metoder. Så ved at bruge disse teknikker er det muligt at nedbryde funktioner ved at repræsentere oscillerende processer som et sæt af sinusformede komponenter, det vil sige bølgede kurver, dergå fra lav til høj, så tilbage til lav, som en havbølge. Fourier transformation - en transformation, hvis funktion beskriver fasen eller amplituden af hver sinusoid svarende til en bestemt frekvens. Fasen er startpunktet for kurven, og amplituden er dens højde.
Fourier-transformationen (eksempler er vist på billedet) er et meget kraftfuldt værktøj, der bruges inden for forskellige videnskabsområder. I nogle tilfælde bruges det som et middel til at løse ret komplekse ligninger, der beskriver dynamiske processer, der opstår under påvirkning af lys, termisk eller elektrisk energi. I andre tilfælde giver det dig mulighed for at bestemme de regulære komponenter i komplekse oscillerende signaler, takket være hvilke du kan fortolke forskellige eksperimentelle observationer i kemi, medicin og astronomi korrekt.
Historisk baggrund
Den første person til at anvende denne metode var den franske matematiker Jean Baptiste Fourier. Transformationen, senere opkaldt efter ham, blev oprindeligt brugt til at beskrive varmeledningsmekanismen. Fourier brugte hele sit voksne liv på at studere varmes egenskaber. Han ydede et stort bidrag til den matematiske teori om at bestemme rødderne til algebraiske ligninger. Fourier var professor i analyse ved Polytechnic School, sekretær for Institut for Egyptologi, var i den kejserlige tjeneste, hvor han udmærkede sig under konstruktionen af vejen til Torino (under hans ledelse, mere end 80 tusind kvadratkilometer malariasumpe). Al denne kraftige aktivitet forhindrede dog ikke videnskabsmanden i at lave matematisk analyse. I 1802 udledte han en ligning, der beskriver udbredelsen af varme i faste stoffer. I 1807 opdagede videnskabsmanden en metode til at løse denne ligning, som blev kaldt "Fourier-transformationen".
Termisk ledningsevneanalyse
Forskeren anvendte en matematisk metode til at beskrive varmeledningsmekanismen. Et praktisk eksempel, hvor der ikke er nogen vanskeligheder ved beregning, er udbredelsen af termisk energi gennem en jernring nedsænket i en del i en ild. For at udføre eksperimenter opvarmede Fourier en del af denne ring rødglødende og begravede den i fint sand. Herefter tog han temperaturmålinger på den modsatte side af den. Til at begynde med er varmefordelingen uregelmæssig: en del af ringen er kold og den anden er varm; en skarp temperaturgradient kan observeres mellem disse zoner. Men i processen med varmeudbredelse over hele overfladen af metallet bliver det mere ensartet. Så snart tager denne proces form af en sinusoid. Først stiger grafen jævnt og falder også jævnt, nøjagtigt i henhold til lovene for ændring af cosinus- eller sinusfunktionen. Bølgen jævner sig gradvist, og som et resultat bliver temperaturen den samme på hele ringens overflade.
Forfatteren af denne metode foreslog, at den oprindelige uregelmæssige fordeling kan dekomponeres i et antal elementære sinusoider. Hver af dem vil have sin egen fase (udgangsposition) og sin egen temperaturmaksimum. Desuden ændres hver sådan komponent fra et minimum til et maksimum og tilbage på en komplet omdrejning rundt om ringen et helt antal gange. En komponent med en periode blev kaldt den grundlæggende harmoniske, og en værdi med to eller flere perioder blev kaldt den anden, og så videre. Så den matematiske funktion, der beskriver temperaturmaksimum, fase eller position, kaldes Fourier-transformationen af fordelingsfunktionen. Videnskabsmanden reducerede en enkelt komponent, som er svær at beskrive matematisk, til et letanvendeligt værktøj - cosinus- og sinusrækkerne, som summeres til at give den oprindelige fordeling.
essensen af analysen
Ved at anvende denne analyse på transformationen af udbredelsen af varme gennem et fast objekt, der har en ringformet form, ræsonnerede matematikeren, at en forøgelse af perioderne af den sinusformede komponent ville føre til dens hurtige henfald. Dette ses tydeligt i den grundlæggende og anden harmoniske. I sidstnævnte når temperaturen maksimum- og minimumværdierne to gange i en omgang, og i førstnævnte kun én gang. Det viser sig, at afstanden dækket af varme i den anden harmoniske vil være halvdelen af den i grundtonen. Derudover vil gradienten i den anden også være dobbelt så stejl som i den første. Derfor, da den mere intense varmestrøm rejser en afstand dobbelt så kort, vil denne harmoniske henfalde fire gange hurtigere end den fundamentale som en funktion af tiden. I fremtiden vil denne proces være endnu hurtigere. Matematikeren mente, at denne metode giver dig mulighed for at beregne processen med den indledende temperaturfordeling over tid.
Udfordring til samtidige
Fourier-transformationsalgoritmen udfordrede det teoretiske grundlag for matematik på det tidspunkt. I begyndelsen af det nittende århundrede accepterede de fleste fremtrædende videnskabsmænd, herunder Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre og Biot, ikke hans udtalelse om, at den indledende temperaturfordeling er opdelt i komponenter i form af en grundlæggende harmonisk og højere frekvenser. Imidlertid kunne Videnskabsakademiet ikke ignorere de resultater, matematikeren havde opnået, og tildelte ham en pris for teorien om varmeledningslovene, såvel som at sammenligne den med fysiske eksperimenter. I Fouriers tilgang var hovedindvendingen det faktum, at den diskontinuerlige funktion er repræsenteret ved summen af flere sinusformede funktioner, der er kontinuerte. De beskriver jo revet lige og buede linjer. Videnskabsmandens samtidige stødte aldrig på en lignende situation, hvor diskontinuerlige funktioner blev beskrevet af en kombination af kontinuerlige funktioner, såsom kvadratisk, lineær, sinusformet eller eksponentiel. I tilfælde af at matematikeren havde ret i sine udsagn, skulle summen af en uendelig række af en trigonometrisk funktion reduceres til en nøjagtig trinvis. På det tidspunkt virkede sådan en udtalelse absurd. Men på trods af tvivl har nogle forskere (f.eks. Claude Navier, Sophie Germain) udvidet forskningens omfang og taget dem ud over analysen af fordelingen af termisk energi. I mellemtiden fortsatte matematikere med at kæmpe med spørgsmålet om, hvorvidt summen af flere sinusformede funktioner kan reduceres til en nøjagtig repræsentation af en diskontinuerlig.
200 år gammelhistorie
Denne teori har udviklet sig over to århundreder, og i dag er den endelig blevet dannet. Med sin hjælp er rumlige eller tidsmæssige funktioner opdelt i sinusformede komponenter, som har deres egen frekvens, fase og amplitude. Denne transformation opnås ved to forskellige matematiske metoder. Den første af dem bruges, når den oprindelige funktion er kontinuerlig, og den anden - når den er repræsenteret af et sæt diskrete individuelle ændringer. Hvis udtrykket er opnået fra værdier, der er defineret af diskrete intervaller, kan det opdeles i flere sinusformede udtryk med diskrete frekvenser - fra den laveste og derefter to gange, tre gange og så videre højere end den vigtigste. En sådan sum kaldes Fourierrækken. Hvis det indledende udtryk gives en værdi for hvert reelt tal, så kan det dekomponeres i flere sinusformede af alle mulige frekvenser. Det kaldes almindeligvis Fourier-integralet, og løsningen indebærer integrale transformationer af funktionen. Uanset hvordan konverteringen opnås, skal der angives to tal for hver frekvens: amplitude og frekvens. Disse værdier er udtrykt som et enkelt komplekst tal. Teorien om udtryk for komplekse variable gjorde det sammen med Fourier-transformationen muligt at udføre beregninger i design af forskellige elektriske kredsløb, analyse af mekaniske vibrationer, undersøgelse af mekanismen for bølgeudbredelse og mere.
Fourier Transform Today
I dag er undersøgelsen af denne proces hovedsageligt reduceret til at være effektivovergangsmetoder fra en funktion til dens transformerede form og omvendt. Denne løsning kaldes den direkte og inverse Fourier-transformation. Hvad betyder det? For at bestemme integralet og producere en direkte Fourier-transformation kan man bruge matematiske metoder eller analytiske. På trods af at der opstår visse vanskeligheder ved at bruge dem i praksis, er de fleste integraler allerede fundet og inkluderet i matematiske opslagsbøger. Numeriske metoder kan bruges til at beregne udtryk, hvis form er baseret på eksperimentelle data, eller funktioner, hvis integraler ikke er tilgængelige i tabeller og er vanskelige at præsentere i analytisk form.
Før fremkomsten af computere var beregningerne af sådanne transformationer meget kedelige, de krævede manuel udførelse af et stort antal aritmetiske operationer, som afhang af antallet af punkter, der beskrev bølgefunktionen. For at lette beregningerne findes der i dag specielle programmer, der har gjort det muligt at implementere nye analysemetoder. Så i 1965 skabte James Cooley og John Tukey software, der blev kendt som "Fast Fourier Transform". Det giver dig mulighed for at spare tid til beregninger ved at reducere antallet af multiplikationer i analysen af kurven. Den hurtige Fourier-transformationsmetode er baseret på at opdele kurven i et stort antal ensartede prøveværdier. Følgelig halveres antallet af multiplikationer med samme fald i antallet af point.
Anvendelse af Fourier-transformation
Detteprocessen bruges inden for forskellige videnskabsområder: inden for t alteori, fysik, signalbehandling, kombinatorik, sandsynlighedsteori, kryptografi, statistik, oceanologi, optik, akustik, geometri og andre. De rige muligheder for dens anvendelse er baseret på en række nyttige funktioner, som kaldes "Fourier-transformationsegenskaber". Overvej dem.
1. Funktionstransformationen er en lineær operator og er med passende normalisering unitær. Denne egenskab er kendt som Parsevals teorem, eller generelt Plancherel-sætningen, eller Pontryagins dualisme.
2. Transformationen er reversibel. Desuden har det omvendte resultat næsten samme form som i den direkte løsning.
3. Sinusformede baseudtryk er egne differentierede funktioner. Det betyder, at en sådan repræsentation ændrer lineære ligninger med en konstant koefficient til almindelige algebraiske.
4. Ifølge "convolution"-sætningen forvandler denne proces en kompleks operation til en elementær multiplikation.
5. Den diskrete Fourier-transformation kan hurtigt beregnes på en computer ved hjælp af den "hurtige" metode.
Varieties of the Fourier-transformation
1. Oftest bruges dette udtryk til at betegne en kontinuerlig transformation, der giver ethvert kvadrat-integrerbart udtryk som en sum af komplekse eksponentielle udtryk med specifikke vinkelfrekvenser og amplituder. Denne art har flere forskellige former, som kanafvige med konstante koefficienter. Den kontinuerlige metode inkluderer en konverteringstabel, som kan findes i matematiske opslagsbøger. Et generaliseret tilfælde er en fraktioneret transformation, ved hjælp af hvilken den givne proces kan hæves til den nødvendige reelle styrke.
2. Den kontinuerte tilstand er en generalisering af den tidlige teknik af Fourier-serier defineret for forskellige periodiske funktioner eller udtryk, der eksisterer i et begrænset område og repræsenterer dem som serier af sinusoider.
3. Diskret Fourier-transformation. Denne metode bruges i computerteknologi til videnskabelige beregninger og til digital signalbehandling. For at udføre denne type beregning er det nødvendigt at have funktioner, der definerer individuelle punkter, periodiske eller afgrænsede områder på et diskret sæt i stedet for kontinuerte Fourier-integraler. Sign altransformationen i dette tilfælde er repræsenteret som summen af sinusoider. Samtidig gør brugen af den "hurtige" metode det muligt at anvende diskrete løsninger på eventuelle praktiske problemer.
4. Fourier-transformationen med vinduer er en generaliseret form for den klassiske metode. I modsætning til standardløsningen, når signalspektret anvendes, som tages i hele området af eksistensen af en given variabel, er det her kun den lokale frekvensfordeling, der er af særlig interesse, forudsat at den oprindelige variabel (tid) bevares.
5. Todimensionel Fourier-transformation. Denne metode bruges til at arbejde med todimensionelle dataarrays. I dette tilfælde udføres transformationen først i én retning og derefter indandet.
Konklusion
I dag er Fourier-metoden solidt forankret i forskellige videnskabsområder. For eksempel blev DNA-dobbelthelixformen i 1962 opdaget ved hjælp af Fourier-analyse kombineret med røntgendiffraktion. Sidstnævnte var fokuseret på krystaller af DNA-fibre, som et resultat blev billedet, der blev opnået ved diffraktion af stråling, optaget på film. Dette billede gav information om værdien af amplituden ved brug af Fourier-transformationen til en given krystalstruktur. Fasedata blev opnået ved at sammenligne diffraktionskortet for DNA med kort opnået fra analysen af lignende kemiske strukturer. Som et resultat har biologer genoprettet krystalstrukturen - den oprindelige funktion.
Fourier-transformationer spiller en stor rolle i studiet af rummet, halvleder- og plasmafysik, mikrobølgeakustik, oceanografi, radar, seismologi og medicinske undersøgelser.
