Cirkel er hovedfiguren i geometri, hvis egenskaber bliver overvejet i skolen i 8. klasse. Et af de typiske problemer forbundet med en cirkel er at finde arealet af en del af den, som kaldes en cirkulær sektor. Artiklen giver formler for arealet af en sektor og længden af dens bue, samt et eksempel på deres brug til at løse et specifikt problem.
Begrebet en cirkel og en cirkel
Før du giver formlen for arealet af en sektor af en cirkel, lad os overveje, hvad den angivne figur er. Ifølge den matematiske definition forstås en cirkel som en sådan figur på et plan, hvis punkter alle er lige langt fra et eller andet punkt (midtpunkt).
Når man overvejer en cirkel, bruges følgende terminologi:
- Radius - et segment, der tegnes fra det centrale punkt til cirklens kurve. Det er norm alt angivet med bogstavet R.
- Diameter er et segment, der forbinder to punkter i cirklen, men som også passerer gennem midten af figuren. Det er norm alt angivet med bogstavet D.
- Arc er en del af en buet cirkel. Det måles enten i længdeenheder eller ved hjælp af vinkler.
Cirkel er en anden vigtig geometrisk figur, det er en samling af punkter, der er afgrænset af en buet cirkel.
Cirkelområde og omkreds
Værdierne angivet i titlen på elementet beregnes ved hjælp af to simple formler. De er anført nedenfor:
- Omkreds: L=2piR.
- Areal af en cirkel: S=piR2.
I disse formler er pi en konstant kaldet Pi. Det er irrationelt, det vil sige, det kan ikke udtrykkes nøjagtigt som en simpel brøk. Pi er cirka 3,1416.
Som du kan se af ovenstående udtryk, er det nok kun at kende radius af cirklen for at beregne arealet og længden.
Arealet af cirklens sektor og længden af dens bue
Før vi overvejer de tilsvarende formler, husker vi, at vinklen i geometri norm alt udtrykkes på to hovedmåder:
- i seksagesimale grader, og en fuld rotation omkring dens akse er 360o;
- i radianer, udtrykt som brøkdele af pi og relateret til grader ved følgende ligning: 2pi=360o.
Sektoren af en cirkel er en figur afgrænset af tre linjer: en cirkelbue og to radier placeret ved enderne af denne bue. Et eksempel på en cirkulær sektor er vist på billedet nedenfor.
At få en idé om, hvad en sektor for en cirkel er, det er nemtforstå, hvordan man beregner dens areal og længden af den tilsvarende bue. Det kan ses af figuren ovenfor, at sektorens bue svarer til vinklen θ. Vi ved, at en fuld cirkel svarer til 2pi radianer, så formlen for arealet af en cirkulær sektor vil have formen: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Her er vinklen θ udtrykt i radianer. En lignende formel for sektorområdet, hvis vinklen θ måles i grader, vil se sådan ud: S1=piθR2 /360.
Længden af den bue, der danner en sektor, beregnes med formlen: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Og hvis θ er kendt i grader, så: L1=piθR/180.
Eksempel på problemløsning
Lad os bruge eksemplet på et simpelt problem til at vise, hvordan man bruger formlerne for arealet af en sektor af en cirkel og længden af dens bue.
Det er kendt, at hjulet har 12 eger. Når hjulet laver en hel omdrejning, dækker det en afstand på 1,5 meter. Hvad er området indesluttet mellem to tilstødende eger på hjulet, og hvad er længden af buen mellem dem?
Som du kan se fra de tilsvarende formler, skal du kende to størrelser for at bruge dem: cirklens radius og buens vinkel. Radius kan beregnes ud fra at kende hjulets omkreds, da afstanden tilbagelagt af det i en omdrejning svarer nøjagtigt til det. Vi har: 2Rpi=1,5, hvoraf: R=1,5/(2pi)=0,2387 meter. Vinklen mellem de nærmeste eger kan bestemmes ved at kende deres antal. Hvis vi antager, at alle 12 eger deler cirklen ligeligt i lige store sektorer, får vi 12 identiske sektorer. Følgelig er vinkelmålet for buen mellem de to eger: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.
Vi har fundet alle de nødvendige værdier, nu kan de erstattes i formlerne og beregne de værdier, der kræves af problemets tilstand. Vi får: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, eller 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m eller 12,5 cm.
