Bertrands paradoks er et problem i den klassiske fortolkning af sandsynlighedsteori. Joseph introducerede det i sit værk Calcul des probabilités (1889) som et eksempel på, at sandsynligheder ikke kan defineres godt, hvis en mekanisme eller metode producerer en tilfældig variabel.
Problem Statement
Bertrands paradoks er som følger.
Tænk først på en ligesidet trekant indskrevet i en cirkel. I dette tilfælde vælges diameteren tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at den er længere end siden af trekanten?
Bertrand fremsatte tre argumenter, som alle ser ud til at være korrekte, men giver forskellige resultater.
Random Endpoint Method
Du skal vælge to steder på cirklen og tegne en bue, der forbinder dem. Til beregningen tages der hensyn til Bertrands sandsynlighedsparadoks. Det er nødvendigt at forestille sig, at trekanten er roteret, så dens toppunkt falder sammen med et af akkordens endepunkter. Værd at betaleBemærk, at hvis den anden del er i en bue mellem to steder, er cirklen længere end siden af trekanten. Længden af buen er en tredjedel af cirklen, så sandsynligheden for, at en tilfældig akkord er længere er 1/3.
Udvalgsmetode
Det er nødvendigt at vælge radius for cirklen og et punkt på den. Derefter skal du bygge en akkord gennem dette sted, vinkelret på diameteren. For at beregne Bertrands betragtede paradoks af sandsynlighedsteori skal man forestille sig, at trekanten drejes, så siden er vinkelret på radius. Akkorden er længere end benet, hvis det valgte punkt er tættere på midten af cirklen. Og i dette tilfælde halverer siden af trekanten radius. Derfor er sandsynligheden for, at akkorden er længere end siden af den indskrevne figur, 1/2.
tilfældige akkorder
Midpunktsmetode. Det er nødvendigt at vælge et sted på cirklen og skabe en akkord med en given midte. Aksen er længere end kanten af den indskrevne trekant, hvis den valgte placering er inden for en koncentrisk cirkel med radius 1/2. Arealet af den mindre cirkel er en fjerdedel af den større figur. Derfor er sandsynligheden for en tilfældig akkord længere end siden af den indskrevne trekant og er lig med 1/4.
Som præsenteret ovenfor adskiller udvælgelsesmetoder sig i den vægt, de giver til visse akkorder, som er diametre. I metode 1 kan hver akkord vælges på nøjagtig én måde, uanset om det er en diameter eller ej.
I metode 2 kan hver lige linje vælges på to måder. Hvorimod enhver anden akkord vil blive valgtkun én af mulighederne.
I metode 3 har hvert midtpunktsvalg en enkelt parameter. Bortset fra midten af cirklen, som er midtpunktet af alle diametre. Disse problemer kan undgås ved at "ordre" alle spørgsmål til at ekskludere parametre uden at påvirke de resulterende sandsynligheder.
Udvalgte metoder kan også visualiseres som følger. En akkord, der ikke er en diameter, identificeres entydigt ved dens midtpunkt. Hver af de tre udvælgelsesmetoder præsenteret ovenfor giver en forskellig fordeling af midten. Og valgmulighed 1 og 2 giver to forskellige uensartede partitioner, mens metode 3 giver en ensartet fordeling.
Det klassiske paradoks ved at løse Bertrands problem afhænger af metoden, hvormed akkorden vælges "tilfældigt". Det viser sig, at hvis en metode til tilfældig udvælgelse er specificeret på forhånd, har problemet en veldefineret løsning. Dette skyldes, at hver enkelt metode har sin egen fordeling af akkorder. De tre afgørelser, Bertrand har vist, svarer til forskellige udvælgelsesmåder, og i mangel af yderligere oplysninger er der ingen grund til at favorisere den ene frem for den anden. Derfor har det angivne problem ikke en enkelt løsning.
Et eksempel på, hvordan man gør et generelt svar unikt, er at specificere, at akkordens endepunkter er jævnt fordelt mellem 0 og c, hvor c er cirklens omkreds. Denne fordeling er den samme som i Bertrands første argument, og den resulterende unikke sandsynlighed vil være 1/3.
Dette Bertrand Russell-paradoks og andre unikke ved klassiskfortolkninger af mulighed retfærdiggør mere stringente formuleringer. Herunder sandsynlighedsfrekvens og subjektivistisk Bayesiansk teori.
Hvad ligger til grund for Bertrands paradoks
I sin artikel "The Well-posed Problem" fra 1973 tilbød Edwin Jaynes sin unikke løsning. Han bemærkede, at Bertrands paradoks er baseret på en præmis baseret på princippet om "maksimal uvidenhed". Det betyder, at du ikke bør bruge oplysninger, der ikke er angivet i problemformuleringen. Jaynes påpegede, at Bertrands problem ikke bestemmer placeringen eller størrelsen af cirklen. Og argumenterede for, at enhver bestemt og objektiv beslutning derfor skal være "ligeglad" med hensyn til størrelse og position.
Til illustrationsformål
Forudsat at alle akkorderne er placeret tilfældigt på en 2 cm cirkel, skal du nu kaste sugerør på lang afstand.
Så skal du tage endnu en cirkel med en mindre diameter (f.eks. 1 centimeter), som passer ind i en større figur. Så skal fordelingen af akkorder på denne mindre cirkel være den samme som på den maksimale. Hvis den anden figur også bevæger sig inde i den første, bør sandsynligheden i princippet ikke ændre sig. Det er meget let at se, at for metode 3 vil følgende ændring ske: fordelingen af akkorder på den lille røde cirkel vil være kvalitativt forskellig fra fordelingen på den store cirkel.
Det samme sker for metode 1. Selvom det er sværere at se i den grafiske visning.
Metode 2 er den enestesom viser sig at være både en skala og en oversættelsesinvariant.
Metode nummer 3 ser ud til at kunne udvides.
Metode 1 er hverken.
Janes brugte imidlertid ikke invarianter let til at acceptere eller afvise disse metoder. Dette ville efterlade muligheden for, at der er en anden ubeskrevet metode, der passer til dens aspekter af rimelig betydning. Jaynes anvendte integralligninger, der beskrev invarianser. For direkte at bestemme sandsynlighedsfordelingen. I hans problem har integralligningerne faktisk en unik løsning, og det er præcis det, der blev kaldt den anden tilfældige radiusmetode ovenfor.
I et papir fra 2015 argumenterer Alon Drory for, at Jaynes' princip også kan give to andre Bertrand-løsninger. Forfatteren forsikrer, at den matematiske implementering af ovenstående egenskaber for invarians ikke er unik, men afhænger af den grundlæggende tilfældige udvælgelsesprocedure, som en person beslutter at bruge. Han viser, at hver af de tre Bertrand-løsninger kan opnås ved hjælp af rotation, skalering og translationel invarians. Samtidig konkluderer man, at Jaynes-princippet er lige så genstand for fortolkning som selve ligegyldigheden.
Fysiske eksperimenter
Metode 2 er den eneste løsning, der tilfredsstiller de transformationsinvarianter, der er til stede i specifikke fysiologiske begreber såsom statistisk mekanik og gasstruktur. Også i det foreslåedeJanes' eksperiment med at kaste sugerør fra en lille cirkel.
Der kan dog designes andre praktiske eksperimenter, der giver svar efter andre metoder. For at nå frem til en løsning på den første tilfældige slutpunktsmetode kan du for eksempel vedhæfte en tæller til midten af området. Og lad resultaterne af to uafhængige rotationer fremhæve akkordens sidste pladser. For at komme frem til en løsning på den tredje metode kan man dække cirklen med for eksempel melasse og markere det første punkt, hvorpå fluen lander, som den midterste korde. Adskillige overvejere har lavet undersøgelser for at drage forskellige konklusioner og har bekræftet resultaterne empirisk.
Seneste begivenheder
I sin artikel fra 2007 "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle" argumenterer Nicholas Shackel for, at mere end et århundrede senere er problemet stadig uløst. Hun fortsætter med at tilbagevise princippet om ligegyldighed. Desuden viser Darrell R. Robottom i sit papir fra 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", at alle de foreslåede afgørelser ikke har noget at gøre med hans eget spørgsmål. Så det viste sig, at paradokset ville være meget sværere at løse end tidligere antaget.
Shackel understreger, at indtil videre har mange videnskabsmænd og mennesker langt fra videnskaben forsøgt at løse Bertrands paradoks. Det er stadig overvundet ved hjælp af to forskellige tilgange.
Dem, hvor forskellen mellem ikke-ækvivalente problemer blev overvejet, og dem, hvor problemet altid blev anset for at være korrekte. Shackel citerer Louis i sine bøgerMarinoff (som en typisk eksponent for differentieringsstrategien) og Edwin Jaynes (som forfatter til en gennemtænkt teori).
I deres nylige arbejde Solving a Complex Problem mener Diederik Aerts og Massimiliano Sassoli de Bianchi, at for at løse Bertrand-paradokset skal præmisserne søges i en blandet strategi. Ifølge disse forfattere er det første skridt at løse problemet ved klart at angive arten af den enhed, der randomiseres. Og først efter dette er gjort, kan ethvert problem betragtes som korrekt. Det mener Janes.
Så princippet om maksimal uvidenhed kan bruges til at løse det. Til dette formål, og da problemet ikke specificerer, hvordan en akkord skal vælges, anvendes princippet ikke på niveau med de forskellige muligheder, men på et meget dybere niveau.
Udvalg af dele
Denne del af problemet kræver beregning af et meta-gennemsnit over alle mulige måder, som forfatterne kalder det universelle middel. For at håndtere dette bruger de diskretiseringsmetoden. Inspireret af, hvad der bliver gjort for at definere sandsynlighedsloven i wienerprocesser. Deres resultat er i overensstemmelse med Jaynes' numeriske konsekvens, selvom deres velformulerede problem adskiller sig fra den oprindelige forfatters.
I økonomi og handel beskriver Bertrand Paradox, opkaldt efter dets skaber Joseph Bertrand, en situation, hvor to spillere (firmaer) når en Nash-ligevægt. Når begge virksomheder sætter en pris lig med marginalomkostninger(MS).
Bertrands paradoks er baseret på en præmis. Det ligger i det faktum, at i modeller som Cournot-konkurrence er en stigning i antallet af virksomheder forbundet med konvergens mellem priser og marginalomkostninger. I disse alternative modeller er Bertrands paradoks i et oligopol af et lille antal virksomheder, der tjener positive overskud ved at opkræve priser over omkostningerne.
Til at begynde med er det værd at antage, at to firmaer A og B sælger et homogent produkt, som hver har samme produktions- og distributionsomkostninger. Det følger heraf, at køberne udelukkende vælger et produkt ud fra prisen. Det betyder, at efterspørgslen er uendeligt priselastisk. Hverken A eller B vil sætte en højere pris end de andre, for det ville få hele Bertrand-paradokset til at bryde sammen. En af markedsdeltagerne vil give efter for sin konkurrent. Hvis de sætter den samme pris, vil virksomhederne dele overskuddet.
På den anden side, hvis et firma sænker sin pris endda lidt, vil det få hele markedet og et betydeligt højere afkast. Da A og B ved dette, vil de hver især forsøge at underbyde konkurrenten, indtil produktet sælges uden økonomisk fortjeneste.
Seneste arbejde har vist, at der kan være en yderligere ligevægt i Bertrands blandede strategiparadoks med positive økonomiske overskud, forudsat at monopolsummen er uendelig. Med hensyn til endelig fortjeneste blev det vist, at en positiv stigning under priskonkurrence er umulig i blandede ligevægte og selv i det mere generelle tilfældekorrelerede systemer.
Faktisk ses Bertrands paradoks i økonomi sjældent i praksis, fordi rigtige produkter næsten altid er differentierede på en anden måde end prisen (f.eks. overbetaling for et mærke). Virksomheder har grænser for deres evne til at producere og distribuere. Det er derfor, to virksomheder sjældent har de samme omkostninger.
Bertrands resultat er paradoks alt, fordi hvis antallet af virksomheder stiger fra én til to, falder prisen fra monopol til konkurrencedygtig og forbliver på samme niveau som antallet af virksomheder, der stiger derefter. Dette er ikke særlig realistisk, for i virkeligheden har markeder med få virksomheder med markedsstyrke en tendens til at opkræve priser over marginalomkostningerne. Empirisk analyse viser, at de fleste industrier med to konkurrenter genererer positive overskud.
I den moderne verden forsøger videnskabsmænd at finde løsninger på paradokset, der er mere i overensstemmelse med Cournot-konkurrencemodellen. Hvor to virksomheder på et marked laver positive overskud, der er et sted mellem perfekt konkurrence- og monopolniveau.
Nogle grunde til, at Bertrands paradoks ikke er direkte relateret til økonomi:
- Kapacitetsgrænser. Nogle gange har virksomhederne ikke tilstrækkelig kapacitet til at imødekomme al efterspørgsel. Dette punkt blev først rejst af Francis Edgeworth og gav anledning til Bertrand-Edgeworth-modellen.
- Heltalspriser. Priser over MC er udelukket, fordi et firma kan underbyde et andet tilfældigt.en lille smule. Hvis priserne er diskrete (f.eks. skal de have heltalsværdier), skal den ene virksomhed underbyde den anden med mindst én rubel. Dette indebærer, at værdien af den småvaluta er over MC. Hvis en anden virksomhed sætter prisen for det højere, kan en anden virksomhed sænke den og erobre hele markedet, Bertrands paradoks består netop i dette. Det vil ikke give hende nogen fortjeneste. Denne virksomhed vil foretrække at dele salget 50/50 med et andet firma og modtage en rent positiv indtægt.
- Produktdifferentiering. Hvis produkterne fra forskellige firmaer adskiller sig fra hinanden, skifter forbrugerne muligvis ikke helt til produkter med en lavere pris.
- Dynamisk konkurrence. Gentagen interaktion eller gentagen priskonkurrence kan føre til en værdiligevægt.
- Flere varer til et højere beløb. Dette følger af gentagen interaktion. Hvis én virksomhed sætter sin pris lidt højere, vil den stadig få nogenlunde det samme antal køb, men mere fortjeneste pr. Derfor vil det andet selskab øge sin markup osv. (Kun i gentagelser, ellers går dynamikken i den anden retning).
Oligopol
Hvis to virksomheder kan blive enige om en pris, er det i deres langsigtede interesse at holde aftalen: værdireduktionsindtægter er mindre end det dobbelte af indtægterne fra overholdelse af aftalen og varer kun indtil det andet firma skærer sin egne priser.
Teorisandsynligheder (som resten af matematik) er faktisk en nylig opfindelse. Og udviklingen har ikke været glat. De første forsøg på at formalisere sandsynlighedsregningen blev lavet af markisen de Laplace, som foreslog at definere begrebet som forholdet mellem antallet af begivenheder, der fører til et udfald.
Dette giver selvfølgelig kun mening, hvis antallet af alle mulige hændelser er begrænset. Og desuden er alle begivenheder lige sandsynlige.
På det tidspunkt syntes disse begreber ikke at have noget solidt fundament. Forsøg på at udvide definitionen til at omfatte et uendeligt antal begivenheder har ført til endnu større vanskeligheder. Bertrands paradoks er en sådan opdagelse, der har gjort matematikere på vagt over for hele begrebet sandsynlighed.
