Det er usandsynligt, at mange tænker over, om det er muligt at beregne begivenheder, der er mere eller mindre tilfældige. Enkelt sagt, er det realistisk at vide, hvilken side af terningen i terningen vil falde ud næste gang. Det var dette spørgsmål, som to store videnskabsmænd stillede, som lagde grundlaget for en sådan videnskab som sandsynlighedsteorien, hvor sandsynligheden for en begivenhed studeres ret omfattende.
Oprindelse
Hvis du forsøger at definere et sådant begreb som sandsynlighedsteori, får du følgende: dette er en af de grene af matematikken, der studerer konstanten af tilfældige begivenheder. Selvfølgelig afslører dette koncept ikke rigtig hele essensen, så det er nødvendigt at overveje det mere detaljeret.
Jeg vil gerne starte med skaberne af teorien. Som nævnt ovenfor var der to af dem, disse er Pierre Fermat og Blaise Pascal. Det var dem, der var blandt de første, der forsøgte at beregne udfaldet af en begivenhed ved hjælp af formler og matematiske beregninger. I det hele taget dukkede denne videnskabs rudimenter op så tidligt somMiddelalderen. På det tidspunkt forsøgte forskellige tænkere og videnskabsmænd at analysere gambling, såsom roulette, craps og så videre, for derved at etablere et mønster og en procentdel af et bestemt tal, der faldt ud. Grundlaget blev lagt i det syttende århundrede af de førnævnte videnskabsmænd.
I begyndelsen kunne deres arbejde ikke tilskrives de store præstationer på dette område, fordi alt, hvad de gjorde, blot var empiriske fakta, og eksperimenterne blev sat visuelt, uden brug af formler. Over tid viste det sig at opnå gode resultater, som dukkede op som et resultat af observation af terningkast. Det var dette værktøj, der hjalp med at udlede de første forståelige formler.
Associates
Det er umuligt ikke at nævne en sådan person som Christian Huygens, der er i færd med at studere et emne kaldet "sandsynlighedsteori" (sandsynligheden for en begivenhed dækkes netop i denne videnskab). Denne person er meget interessant. Han forsøgte ligesom de ovenfor præsenterede videnskabsmænd at udlede regelmæssigheden af tilfældige begivenheder i form af matematiske formler. Det er bemærkelsesværdigt, at han ikke gjorde dette sammen med Pascal og Fermat, det vil sige, at alle hans værker ikke på nogen måde krydsede disse sind. Huygens udledte de grundlæggende begreber for sandsynlighedsteori.
En interessant kendsgerning er, at hans arbejde udkom længe før resultaterne af pionerernes arbejde, eller rettere sagt, tyve år tidligere. Blandt de udpegede koncepter er de mest berømte:
- begrebet sandsynlighed som en størrelse af tilfældigheder;
- forventning til diskretsager;
- sætninger om multiplikation og addition af sandsynligheder.
Det er også umuligt ikke at huske Jacob Bernoulli, som også ydede et væsentligt bidrag til undersøgelsen af problemet. Ved at udføre sine egne tests, uafhængigt af nogen, lykkedes det ham at fremlægge et bevis på loven om store tal. Til gengæld var videnskabsmændene Poisson og Laplace, som arbejdede i begyndelsen af det nittende århundrede, i stand til at bevise de oprindelige teoremer. Det var fra dette øjeblik, at sandsynlighedsteori begyndte at blive brugt til at analysere fejl i løbet af observationer. Russiske videnskabsmænd, eller rettere Markov, Chebyshev og Dyapunov, kunne heller ikke omgå denne videnskab. Baseret på det arbejde udført af de store genier fik de dette emne fast som en gren af matematikken. Disse figurer virkede allerede i slutningen af det nittende århundrede, og takket være deres bidrag, fænomener som:
- lov om store tal;
- Markov-kædeteori;
- central grænsesætning.
Så med historien om videnskabens fødsel og med hovedpersonerne, der har påvirket den, er alt mere eller mindre klart. Nu er det tid til at konkretisere alle fakta.
Grundlæggende begreber
Før man berører love og sætninger, er det værd at studere de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Arrangementet tager hovedrollen i den. Dette emne er ret omfangsrigt, men uden det vil det ikke være muligt at forstå alt andet.
En hændelse i sandsynlighedsteori er ethvert sæt af udfald af et eksperiment. Der er ikke så mange begreber om dette fænomen. Så, videnskabsmand Lotman,arbejder på dette område, sagde, at i dette tilfælde taler vi om noget, der "er sket, selvom det måske ikke er sket."
Tilfældige hændelser (sandsynlighedsteori lægger særlig vægt på dem) er et begreb, der implicerer absolut ethvert fænomen, der har evnen til at forekomme. Eller omvendt sker dette scenario muligvis ikke, når mange betingelser er opfyldt. Det er også værd at vide, at det er tilfældige begivenheder, der fanger hele mængden af fænomener, der er opstået. Sandsynlighedsteori indikerer, at alle forhold kan gentages konstant. Det var deres adfærd, der blev kaldt "erfaring" eller "test".
En bestemt begivenhed er en, der vil 100 % ske i en given test. Derfor er en umulig begivenhed en begivenhed, der ikke vil ske.
Kombination af et par handlinger (konventionelt tilfælde A og tilfælde B) er et fænomen, der opstår samtidigt. De er udpeget som AB.
Summen af par af hændelser A og B er C, med andre ord, hvis mindst én af dem sker (A eller B), vil C. Formlen for det beskrevne fænomen skrives som følger: C=A + B.
Usammenhængende begivenheder i sandsynlighedsteori indebærer, at to tilfælde udelukker hinanden. De kan aldrig ske på samme tid. Fælles hændelser i sandsynlighedsteori er deres modsætning. Dette indebærer, at hvis A skete, så forstyrrer det ikke B.
Modsatte begivenheder (sandsynlighedsteori behandler dem meget detaljeret) er nemme at forstå. Det er bedst at håndtere dem i sammenligning. De er næsten de samme somog uforenelige begivenheder i sandsynlighedsteori. Men deres forskel ligger i, at et af de mange fænomener skal ske alligevel.
Tilsvarende begivenheder er de handlinger, hvis mulighed er lige stor. For at gøre det klarere kan vi forestille os, at en mønt kastes: faldet af den ene side er lige så sandsynligt, at den falder af den anden.
God begivenhed er nemmere at se med et eksempel. Lad os sige, at der er episode B og episode A. Den første er terningkast med et ulige tal, og den anden er udseendet af tallet fem på terningen. Så viser det sig, at A favoriserer B.
Uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori projiceres kun på to eller flere tilfælde og antyder uafhængigheden af enhver handling fra en anden. For eksempel er A tabet af haler, når en mønt kastes, og B er tegningen af en knægt fra dækket. De er uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori. Med dette øjeblik blev det klarere.
Afhængige hændelser i sandsynlighedsteori er også kun tilladt for deres sæt. De indebærer, at den ene er afhængig af den anden, det vil sige, at fænomenet B kun kan opstå, hvis A allerede er sket eller tværtimod ikke er sket, når dette er hovedbetingelsen for B.
Resultatet af et tilfældigt eksperiment bestående af én komponent er elementære hændelser. Sandsynlighedsteori forklarer, at dette er et fænomen, der kun er sket én gang.
Grundlæggende formler
Så, begreberne "begivenhed", "sandsynlighedsteori",definitionen af de grundlæggende udtryk for denne videnskab blev også givet. Nu er det tid til at sætte sig direkte ind i de vigtige formler. Disse udtryk bekræfter matematisk alle hovedbegreberne i et så vanskeligt emne som sandsynlighedsteori. Sandsynligheden for en begivenhed spiller også en stor rolle her.
Bedre start med de grundlæggende formler for kombinatorik. Og før du går videre til dem, er det værd at overveje, hvad det er.
Kombinatorik er primært en gren af matematikken, den beskæftiger sig med studiet af et stort antal heltal, såvel som forskellige permutationer af både tallene selv og deres elementer, forskellige data osv., hvilket fører til fremkomsten af en række kombinationer. Ud over sandsynlighedsteori er denne gren vigtig for statistik, datalogi og kryptografi.
Så nu kan vi gå videre til at præsentere selve formlerne og definere dem.
Den første vil være udtrykket for antallet af permutationer, det ser sådan ud:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Ligningen gælder kun, hvis elementer kun afviger i rækkefølge.
Nu vil placeringsformlen blive overvejet, den ser sådan ud:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Dette udtryk gælder ikke kun for elementets rækkefølge, men også for dets sammensætning.
Den tredje ligning fra kombinatorik, og det er også den sidste, kaldes formlen for antallet af kombinationer:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinationer er valg, der ikke er bestilt, og denne regel gælder for dem.
Det viste sig at være let at finde ud af kombinatorikkens formler, nu kan vi gå videre til den klassiske definition af sandsynligheder. Dette udtryk ser sådan ud:
P(A)=m: n.
I denne formel er m antallet af betingelser, der er gunstige for begivenhed A, og n er antallet af absolut alle lige mulige og elementære udfald.
Der er et stort antal udtryk, artiklen vil ikke dække dem alle, men de vigtigste af dem vil blive berørt, som f.eks. sandsynligheden for summen af begivenheder:
P(A + B)=P(A) + P(B) - denne sætning er kun til at tilføje inkompatible hændelser;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - og denne er kun til at tilføje kompatible.
Sandsynlighed for at producere begivenheder:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – denne sætning er for uafhængige hændelser;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - og denne er til misbrugere.
Begivenhedsformlen afslutter listen. Sandsynlighedsteori fortæller os om Bayes' sætning, som ser sådan ud:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
I denne formel er H1, H2, …, H komplet gruppe af hypoteser.
Lad os stoppe her, så vil eksempler på anvendelse af formler til at løse specifikke problemer fra praksis blive overvejet.
Eksempler
Hvis du omhyggeligt studerer et afsnitmatematik, det undværer øvelser og prøveløsninger. Det samme er sandsynlighedsteorien: begivenheder, eksempler her er en integreret komponent, der bekræfter videnskabelige beregninger.
Formel for antallet af permutationer
Lad os sige, at der er tredive kort i et sæt kort, startende med pålydende værdi et. Næste spørgsmål. Hvor mange måder er der til at stable bunken, så kort med en pålydende værdi på en og to ikke er ved siden af hinanden?
Opgaven er sat, lad os nu gå videre til at løse den. Først skal du bestemme antallet af permutationer af tredive elementer, for dette tager vi ovenstående formel, det viser sig P_30=30!.
Baseret på denne regel vil vi finde ud af, hvor mange muligheder der er for at folde bunken på forskellige måder, men vi skal trække dem fra dem, hvor det første og andet kort er det næste. For at gøre dette, lad os starte med muligheden, når den første er over den anden. Det viser sig, at det første kort kan tage niogtyve pladser - fra det første til det niogtyvende, og det andet kort fra det andet til det tredivte, viser det sig niogtyve pladser for et par kort. Til gengæld kan resten tage otteogtyve pladser, og i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, for en permutation på otteogtyve kort er der otteogtyve muligheder P_28=28!
Som et resultat viser det sig, at hvis vi overvejer løsningen, når det første kort er over det andet, er der 29 ⋅ 28 ekstra muligheder!=29!
Ved den samme metode skal du beregne antallet af overflødige muligheder for sagen, når det første kort er under det andet. Det viser sig også 29 ⋅ 28!=29!
Det følger, at der er 2 ⋅ 29 ekstra muligheder!, mens der er 30 påkrævede måder at bygge et kortspil på! - 2 ⋅ 29!. Det er kun tilbage at tælle.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Nu skal du gange alle tallene fra et til niogtyve sammen, og derefter gange alt med 28 til sidst. Svaret er 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Løsning af eksemplet. Formel for placeringsnummer
I dette problem skal du finde ud af, hvor mange måder der er at lægge femten bind på én hylde, men under forudsætning af, at der er tredive bind i alt.
Dette problem har en lidt nemmere løsning end det forrige. Ved at bruge den allerede kendte formel er det nødvendigt at beregne det samlede antal lokationer ud fra tredive bind af femten.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 9310
Svaret vil være henholdsvis 202 843 204 931 727 360 000.
Lad os nu tage opgaven lidt sværere. Du skal finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere tredive bøger på to bogreoler, forudsat at kun femten bind kan være på én hylde.
Før jeg starter løsningen, vil jeg gerne præcisere, at nogle problemer løses på flere måder, så der er to måder i denne, men den samme formel bruges i begge.
I denne opgave kan du tage svaret fra den forrige, for der har vi beregnet, hvor mange gange du kan fylde en hylde med femten bøger til-anderledes. Det viste sig A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Vi vil beregne den anden hylde ved hjælp af permutationsformlen, fordi der er placeret femten bøger i den, mens der kun er femten tilbage. Brug formlen P_15=15!.
Det viser sig, at totalen vil være A_30^15 ⋅ P_15 måder, men derudover skal produktet af alle tal fra tredive til seksten ganges med produktet af tal fra et til femten, da et resultat, produktet af alle tal fra et til tredive, så svaret er 30!
Men dette problem kan løses på en anden måde - nemmere. For at gøre dette kan du forestille dig, at der er en hylde til tredive bøger. Alle er placeret på dette plan, men da tilstanden kræver, at der er to hylder, skærer vi en lang i halve, det bliver to femten hver. Heraf viser det sig, at placeringsmulighederne kan være P_30=30!.
Løsning af eksemplet. Formel for kombinationsnummer
Nu vil vi overveje en variant af det tredje problem fra kombinatorik. Du skal finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere femten bøger på, forudsat at du skal vælge mellem tredive helt identiske.
For løsningen vil formlen for antallet af kombinationer naturligvis blive anvendt. Af betingelsen bliver det klart, at rækkefølgen af de identiske femten bøger ikke er vigtig. Derfor skal du først finde ud af det samlede antal kombinationer af tredive bøger på femten.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: femten!=155 117 520
Det var det. Ved at bruge denne formel var det muligt på kortest mulig tidløser et sådant problem, er svaret henholdsvis 155 117 520.
Løsning af eksemplet. Den klassiske definition af sandsynlighed
Med formlen ovenfor kan du finde svaret på et simpelt problem. Men det vil hjælpe visuelt at se og følge handlingsforløbet.
Det er givet i opgaven, at der er ti helt identiske bolde i urnen. Af disse er fire gule og seks er blå. Den ene kugle tages fra urnen. Du skal finde ud af sandsynligheden for at blive blå.
For at løse problemet er det nødvendigt at udpege at få den blå bold som begivenhed A. Denne oplevelse kan have ti udfald, som igen er elementære og lige så sandsynlige. Samtidig er seks ud af ti gunstige til begivenhed A. Vi løser efter formlen:
P(A)=6: 10=0, 6
Ved at bruge denne formel fandt vi ud af, at sandsynligheden for at få den blå kugle er 0,6.
Løsning af eksemplet. Sandsynlighed for summen af hændelser
Nu vil der blive præsenteret en variant, som løses ved hjælp af formlen for sandsynligheden for summen af hændelser. Så i den betingelse, at der er to kasser, indeholder den første en grå og fem hvide kugler, og den anden indeholder otte grå og fire hvide kugler. Som et resultat blev en af dem taget fra den første og anden kasse. Du skal finde ud af, hvad chancen er for, at de bolde, du får, bliver grå og hvide.
For at løse dette problem skal du mærke begivenhederne.
- Så, A - tag en grå bold fra den første boks: P(A)=1/6.
- A’ – tag også en hvid bold fra den første boks: P(A')=5/6.
- B – den grå kugle er allerede taget ud af den anden boks: P(B)=2/3.
- B’ – tag en grå bold fra den anden boks: P(B')=1/3.
I henhold til problemets tilstand skal et af fænomenerne ske: AB' eller A'B. Ved at bruge formlen får vi: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nu er sandsynlighedsmultiplikationsformlen blevet brugt. Dernæst, for at finde ud af svaret, skal du anvende ligningen for deres addition:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Sådan kan du ved hjælp af formlen løse lignende problemer.
Resultat
Artiklen gav information om emnet "Sandsynlighedsteori", hvor sandsynligheden for en begivenhed spiller en afgørende rolle. Selvfølgelig blev der ikke taget højde for alt, men ud fra den præsenterede tekst kan man teoretisk stifte bekendtskab med dette afsnit af matematik. Den pågældende videnskab kan være nyttig ikke kun i professionelt arbejde, men også i hverdagen. Med dens hjælp kan du beregne enhver mulighed for enhver begivenhed.
Teksten berørte også vigtige datoer i historien om dannelsen af sandsynlighedsteori som en videnskab, og navnene på personer, hvis værker var investeret i den. Sådan førte menneskelig nysgerrighed til, at folk lærte at beregne selv tilfældige hændelser. Engang var de bare interesserede i det, men i dag ved alle allerede om det. Og ingen vil sige, hvad der venter os i fremtiden, hvilke andre strålende opdagelser relateret til den undersøgte teori vil blive gjort. Men én ting er sikkert – forskningen står ikke stille!
