Mange, der står over for begrebet "sandsynlighedsteori", er bange og tænker, at dette er noget overvældende, meget komplekst. Men det er virkelig ikke så tragisk. I dag vil vi overveje det grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori, lære at løse problemer ved hjælp af specifikke eksempler.
Science
Hvad studerer en sådan gren af matematik som "sandsynlighedsteori"? Den noterer mønstre af tilfældige begivenheder og mængder. For første gang blev videnskabsmænd interesseret i dette spørgsmål tilbage i det attende århundrede, da de studerede gambling. Det grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori er en begivenhed. Det er enhver kendsgerning, der konstateres ved erfaring eller observation. Men hvad er erfaring? Et andet grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori. Det betyder, at denne sammensætning af omstændigheder ikke er skabt tilfældigt, men til et bestemt formål. Med hensyn til observation, her deltager forskeren ikke selv i eksperimentet, men er blot et vidne til disse begivenheder, han påvirker ikke på nogen måde, hvad der sker.
Begivenheder
Vi lærte, at det grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori er en begivenhed, men overvejede ikke klassificeringen. Alle er opdelt i følgende kategorier:
- Pålidelig.
- Impossible.
- Random.
Ligegyldigthvilken slags begivenheder der observeres eller skabes i løbet af oplevelsen, de er alle underlagt denne klassifikation. Vi tilbyder at stifte bekendtskab med hver af arterne separat.
bestemt begivenhed
Dette er en omstændighed, inden for hvilken de nødvendige foranst altninger er blevet truffet. For bedre at forstå essensen er det bedre at give et par eksempler. Fysik, kemi, økonomi og højere matematik er underlagt denne lov. Sandsynlighedsteori inkluderer et så vigtigt begreb som en bestemt begivenhed. Her er nogle eksempler:
- Vi arbejder og får aflønning i form af løn.
- Vi bestod eksamenerne godt, bestod konkurrencen, for dette modtager vi en belønning i form af optagelse på en uddannelsesinstitution.
- Vi har investeret penge i banken, vi får dem tilbage, hvis det er nødvendigt.
Sådanne begivenheder er pålidelige. Hvis vi har opfyldt alle de nødvendige betingelser, vil vi helt sikkert få det forventede resultat.
umulige begivenheder
Nu overvejer vi elementer af sandsynlighedsteori. Vi foreslår at gå videre til en forklaring på den næste type begivenhed, nemlig den umulige. Lad os først specificere den vigtigste regel - sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul.
Du kan ikke afvige fra denne formulering, når du løser problemer. For at præcisere er her eksempler på sådanne begivenheder:
- Vand frøs ved plus ti (det er umuligt).
- Manglen på elektricitet påvirker ikke produktionen på nogen måde (lige så umuligt som i det foregående eksempel).
Flere eksemplerDet er ikke værd at citere, da de ovenfor beskrevne meget tydeligt afspejler essensen af denne kategori. Den umulige begivenhed vil under ingen omstændigheder ske under oplevelsen.
tilfældige begivenheder
Når du studerer elementerne i sandsynlighedsteori, bør der lægges særlig vægt på denne særlige type begivenhed. Det er det, videnskaben studerer. Som et resultat af erfaring kan der ske noget eller ikke. Derudover kan testen gentages et ubegrænset antal gange. Levende eksempler er:
- At kaste en mønt er en oplevelse, eller en test, overskriften er en begivenhed.
- Blindt at trække en bold op af en pose er en test, en rød bold er fanget er en begivenhed og så videre.
Der kan være et ubegrænset antal af sådanne eksempler, men generelt bør essensen være klar. For at opsummere og systematisere den opnåede viden om begivenheder gives en tabel. Sandsynlighedsteori studerer kun den sidste type af alle præsenterede.
| title | definition | eksempel |
| Reliable | Begivenheder, der finder sted med 100 % garanti under visse betingelser. | Optagelse på en uddannelsesinstitution med en god adgangsprøve. |
| Impossible | Begivenheder, der aldrig vil ske under nogen omstændigheder. | Det sner ved en temperatur på plus tredive grader Celsius. |
| Random | En hændelse, der måske eller måske ikke forekommer under et eksperiment/test. | Slag eller miss, når du kaster en basketball ind i bøjlen. |
love
Sandsynlighedsteori er en videnskab, der studerer muligheden for, at en begivenhed indtræffer. Ligesom de andre har den nogle regler. Der er følgende love for sandsynlighedsteori:
- Konvergens af sekvenser af tilfældige variable.
- Loven om store tal.
Når du beregner muligheden for et kompleks, kan du bruge et kompleks af simple hændelser til at opnå resultatet på en nemmere og hurtigere måde. Bemærk, at sandsynlighedslærens love let kan bevises ved hjælp af nogle teoremer. Lad os starte med den første lov.
Konvergens af sekvenser af stokastiske variable
Bemærk, at der er flere typer konvergens:
- Rækkefølgen af stokastiske variable konvergerer i sandsynlighed.
- Næsten umuligt.
- RMS-konvergens.
- Konvergens i distribution.
Så i farten er det meget svært at komme til bunds i det. Her er nogle definitioner, der hjælper dig med at forstå dette emne. Lad os starte med det første kig. En sekvens kaldes konvergent i sandsynlighed, hvis følgende betingelse er opfyldt: n har en tendens til uendelig, det tal, som sekvensen tenderer til, er større end nul og tæt på én.
Gå til næste visning, næsten helt sikkert. Det siger desekvensen konvergerer næsten sikkert til en tilfældig variabel, hvor n tenderer mod uendelig og P tenderer til en værdi tæt på én.
Den næste type er rod-middel-kvadrat-konvergens. Ved brug af SC-konvergens reduceres studiet af vektortilfældige processer til studiet af deres tilfældige koordinatprocesser.
Den sidste type er tilbage, lad os tage et kort kig på den for at gå direkte videre til at løse problemer. Distributionskonvergens har et andet navn - "svag", vi vil forklare hvorfor nedenfor. Svag konvergens er konvergensen af fordelingsfunktioner på alle kontinuitetspunkter for grænsefordelingsfunktionen.
Sørg for at opfylde løftet: svag konvergens adskiller sig fra alle ovenstående ved, at den stokastiske variabel ikke er defineret på sandsynlighedsrummet. Dette er muligt, fordi betingelsen udelukkende er dannet ved hjælp af distributionsfunktioner.
Lov om store tal
Fremragende hjælpere til at bevise denne lov vil være sandsynlighedsteoretiske sætninger, såsom:
- Chebyshevs ulighed.
- Chebyshevs sætning.
- Generaliseret Chebyshevs sætning.
- Markovs sætning.
Hvis vi betragter alle disse teoremer, kan dette spørgsmål trække ud i flere dusin ark. Vores hovedopgave er at anvende sandsynlighedsteorien i praksis. Vi inviterer dig til at gøre dette lige nu. Men før det, lad os overveje sandsynlighedsteoriens aksiomer, de vil være de vigtigste assistenter til at løse problemer.
Axioms
Vi mødte allerede den første, da vi t alte om den umulige begivenhed. Lad os huske: sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul. Vi gav et meget levende og mindeværdigt eksempel: det sneede ved en lufttemperatur på tredive grader Celsius.
Den anden lyder sådan her: en pålidelig hændelse opstår med en sandsynlighed lig med én. Lad os nu vise, hvordan man skriver det ved hjælp af matematisk sprog: P(B)=1.
Tredje: En tilfældig hændelse kan forekomme eller ikke, men muligheden varierer altid fra nul til én. Jo tættere værdien er på én, jo større er chancen; hvis værdien nærmer sig nul, er sandsynligheden meget lav. Lad os skrive dette på matematisk sprog: 0<Р(С)<1.
Lad os betragte det sidste, fjerde aksiom, som lyder sådan her: sandsynligheden for summen af to begivenheder er lig med summen af deres sandsynligheder. Vi skriver i matematisk sprog: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Sandsynlighedsteoriens aksiomer er de enkleste regler, der er nemme at huske. Lad os prøve at løse nogle problemer baseret på den viden, der allerede er opnået.
Lotterikupon
Tænk først på det enkleste eksempel - lotteriet. Forestil dig, at du har købt en lottokupon for held og lykke. Hvad er sandsynligheden for, at du vinder mindst tyve rubler? I alt deltager tusind billetter i omløbet, hvoraf en har en præmie på fem hundrede rubler, ti af hundrede rubler, halvtreds af tyve rubler og hundrede af fem. Problemer i sandsynlighedsteori er baseret på at finde mulighedenheld og lykke. Nu vil vi sammen analysere løsningen af den ovenfor præsenterede opgave.
Hvis vi med bogstavet A angiver en gevinst på fem hundrede rubler, så vil sandsynligheden for at få A være 0,001. Hvordan fik vi det? Du skal bare dividere antallet af "heldige" billetter med deres samlede antal (i dette tilfælde: 1/1000).
B er en gevinst på hundrede rubler, sandsynligheden vil være 0,01. Nu handlede vi efter samme princip som i den forrige handling (10/1000)
C - gevinsten er lig med tyve rubler. Find sandsynligheden, den er lig med 0,05.
Resten af billetterne har ingen interesse for os, da deres præmiefond er mindre end den, der er angivet i betingelsen. Lad os anvende det fjerde aksiom: Sandsynligheden for at vinde mindst tyve rubler er P(A)+P(B)+P(C). Bogstavet P angiver sandsynligheden for forekomsten af denne begivenhed, vi har allerede fundet dem i de foregående trin. Det er kun tilbage at tilføje de nødvendige data, i svaret får vi 0, 061. Dette nummer vil være svaret på spørgsmålet om opgaven.
Kortdæk
Problemer med sandsynlighedsteori kan være mere komplekse, tag for eksempel følgende opgave. Før du er et spil med seksogtredive kort. Din opgave er at trække to kort i træk uden at blande bunken, det første og det andet kort skal være esser, farven er ligegyldig.
Først, lad os finde sandsynligheden for, at det første kort vil være et es, for dette dividerer vi fire med seksogtredive. De lagde det til side. Vi tager det andet kort ud, det vil være et es med en sandsynlighed på tre femogtredivedele. Sandsynligheden for den anden begivenhed afhænger af, hvilket kort vi trak først, vi er interesserede ivar det et es eller ej. Det følger heraf, at begivenhed B afhænger af begivenhed A.
Det næste trin er at finde sandsynligheden for samtidig implementering, det vil sige, at vi multiplicerer A og B. Deres produkt findes som følger: sandsynligheden for en hændelse ganges med den betingede sandsynlighed for en anden, som vi beregner, forudsat at den første begivenhed fandt sted, dvs. med det første kort trak vi et es.
For at gøre alt klart, lad os give en betegnelse til et sådant element som den betingede sandsynlighed for en begivenhed. Det beregnes under forudsætning af, at hændelse A er indtruffet. Beregnet som følger: P(B/A).
Fortsæt med at løse vores problem: P(AB)=P(A)P(B/A) eller P (AB)=P(B)P(A/B). Sandsynligheden er (4/36)((3/35)/(4/36). Beregn ved at afrunde til hundrededele. Vi har: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Sandsynligheden for at vi trækker to esser i træk er ni hundrededele Værdien er meget lille, det følger, at sandsynligheden for, at hændelsen indtræffer, er ekstremt lille.
Glemt nummer
Vi foreslår at analysere nogle flere muligheder for opgaver, der studeres af sandsynlighedsteori. Du har allerede set eksempler på at løse nogle af dem i denne artikel, lad os prøve at løse følgende problem: drengen glemte det sidste ciffer i sin vens telefonnummer, men da opkaldet var meget vigtigt, begyndte han at ringe til alt efter tur. Vi skal beregne sandsynligheden for, at han ikke ringer mere end tre gange. Løsningen på problemet er den enkleste, hvis reglerne, lovene og aksiomer for sandsynlighedsteori er kendt.
Før du serløsning, prøv at løse det selv. Vi ved, at det sidste ciffer kan være fra nul til ni, det vil sige, at der er ti værdier i alt. Sandsynligheden for at få den rigtige er 1/10.
Dernæst skal vi overveje mulighederne for begivenhedens oprindelse, antag at drengen gættede rigtigt og straks scorede det rigtige, sandsynligheden for en sådan begivenhed er 1/10. Den anden mulighed: det første opkald er en miss, og det andet er i mål. Vi beregner sandsynligheden for en sådan hændelse: gange 9/10 med 1/9, som et resultat får vi også 1/10. Den tredje mulighed: det første og andet opkald viste sig at være på den forkerte adresse, først fra det tredje nåede drengen, hvor han ville. Vi beregner sandsynligheden for en sådan begivenhed: vi multiplicerer 9/10 med 8/9 og med 1/8 får vi 1/10 som et resultat. I henhold til problemets tilstand er vi ikke interesserede i andre muligheder, så det er tilbage for os at lægge resultaterne sammen, som følge heraf har vi 3/10. Svar: Sandsynligheden for, at drengen ikke ringer mere end tre gange, er 0,3.
Kort med numre
Der er ni kort foran dig, på hvert af hvilke der er skrevet et tal fra et til ni, tallene gentages ikke. De blev lagt i en kasse og blandet grundigt. Du skal beregne sandsynligheden for, at
- et lige tal kommer op;
- tocifret.
Før vi går videre til løsningen, lad os bestemme, at m er antallet af vellykkede sager, og n er det samlede antal muligheder. Find sandsynligheden for, at tallet er lige. Det vil ikke være svært at beregne, at der er fire lige tal, dette vil være vores m, der er ni muligheder i alt, det vil sige m=9. Så sandsynlighedener lig med 0, 44 eller 4/9.
Overvej det andet tilfælde: antallet af muligheder er ni, og der kan slet ikke være nogen succesfulde resultater, dvs. m er lig med nul. Sandsynligheden for, at det trukne kort indeholder et tocifret tal, er også nul.
