I artiklen, du er blevet opmærksom på, giver vi eksempler på matematiske modeller. Derudover vil vi være opmærksomme på stadierne i at skabe modeller og analysere nogle af de opgaver, der er forbundet med matematisk modellering.
Et mere af vores spørgsmål handler om matematiske modeller i økonomien, eksempler, hvis definition vi vil overveje lidt senere. Vi foreslår at starte vores samtale med selve begrebet "model", kort overveje deres klassificering og gå videre til vores hovedspørgsmål.
Begrebet "model"
Vi hører ofte ordet "model". Hvad er det? Dette udtryk har mange definitioner, her er kun tre af dem:
- et specifikt objekt, der er skabt til at modtage og gemme information, der afspejler nogle egenskaber eller karakteristika osv. af originalen af dette objekt (dette specifikke objekt kan udtrykkes i forskellige former: ment alt, beskrivelse ved hjælp af tegn, og så videre);
- model betyder også visning af enhver specifik situation, liv ellerledelsesmæssig;
- modellen kan tjene som en reduceret kopi af ethvert objekt (de er skabt til mere detaljeret undersøgelse og analyse, da modellen afspejler strukturen og relationerne).
Baseret på alt, hvad der blev sagt tidligere, kan vi drage en lille konklusion: modellen giver dig mulighed for at studere et komplekst system eller objekt i detaljer.
Alle modeller kan klassificeres efter en række kriterier:
- efter anvendelsesområde (uddannelse, eksperimentel, videnskabelig og teknisk, spil, simulering);
- efter dynamik (statisk og dynamisk);
- efter gren af viden (fysisk, kemisk, geografisk, historisk, sociologisk, økonomisk, matematisk);
- til præsentation (materiale og information).
Informationsmodeller er til gengæld opdelt i tegn og verbal. Og ikonisk - på computer og ikke-computer. Lad os nu gå videre til en detaljeret gennemgang af eksempler på en matematisk model.
Matematisk model
Som du måske kan gætte, afspejler en matematisk model nogle træk ved et objekt eller et fænomen ved hjælp af specielle matematiske symboler. Matematik er nødvendig for at modellere omverdenens mønstre på dens eget specifikke sprog.
Metoden til matematisk modellering opstod for ganske lang tid siden, tusinder af år siden, sammen med fremkomsten af denne videnskab. Fremdriften til udviklingen af denne modelleringsmetode blev imidlertid givet af computere (elektroniske computere).
Lad os nu gå videre til klassificeringen. Det kan også udføres efter nogle tegn. De erer vist i tabellen nedenfor.
| Klassificering efter videnskabsgren | Anvendelse af matematiske modeller i fysik, sociologi, kemi og så videre |
| Ifølge det matematiske apparat, der blev brugt i modelleringsprocessen | Modeller baseret på differentialligninger, diskrete algebraiske transformationer og lignende |
| Ved at modellere mål | I henhold til dette princip er der beskrivende, optimerings-, multikriterie-, spil- og simuleringsmodeller |
Vi foreslår at stoppe op og se nærmere på den sidste klassifikation, da den afspejler de generelle modelleringsmønstre og målene for de modeller, der skabes.
Beskrivende modeller
I dette kapitel foreslår vi at dvæle mere detaljeret ved beskrivende matematiske modeller. For at gøre alt meget klart, vil der blive givet et eksempel.
Til at begynde med kan denne opfattelse kaldes beskrivende. Det skyldes, at vi kun laver beregninger og prognoser, men vi kan ikke påvirke udfaldet af begivenheden på nogen måde.
Et slående eksempel på en beskrivende matematisk model er beregningen af flyvevejen, hastigheden, afstanden fra Jorden for en komet, der invaderede vores solsystems vidder. Denne model er beskrivende, da alle de opnåede resultater kun kan advare os om en form for fare. Påvirke resultatet af begivenheden, desværre gør vi ikkeKan. Men baseret på de opnåede beregninger er det muligt at træffe alle foranst altninger for at redde liv på Jorden.
Optimeringsmodeller
Nu vil vi tale lidt om økonomiske og matematiske modeller, eksempler på hvilke kan være forskellige situationer. I dette tilfælde taler vi om modeller, der hjælper med at finde det rigtige svar under visse forhold. De skal have nogle parametre. For at gøre det meget klart, overvej et eksempel fra landbrugsdelen.
Vi har et kornmagasin, men kornet fordærves meget hurtigt. I dette tilfælde skal vi vælge det rigtige temperaturregime og optimere opbevaringsprocessen.
Således kan vi definere begrebet "optimeringsmodel". I matematisk forstand er dette et system af ligninger (både lineære og ikke), hvis løsning hjælper med at finde den optimale løsning i en bestemt økonomisk situation. Vi har overvejet et eksempel på en matematisk model (optimering), men jeg vil gerne tilføje: denne type hører til klassen af ekstreme problemer, de hjælper med at beskrive det økonomiske systems funktion.
Bemærk endnu en nuance: modeller kan være af forskellig karakter (se tabellen nedenfor).
| deterministisk | I dette tilfælde afhænger resultatet af inputdata |
| stokastisk | Beskrivelse af tilfældige processer. I dette tilfælde forbliver resultatet udefineret |
Multicriteria-modeller
Nu inviterer vi dig til at tale lidt ommatematisk model for multiobjektiv optimering. Før det gav vi et eksempel på en matematisk model til optimering af en proces i henhold til et hvilket som helst kriterium, men hvad hvis der er mange af dem?
Et slående eksempel på en multikriterieopgave er organiseringen af ordentlig, sund og samtidig økonomisk ernæring for store grupper af mennesker. Sådanne opgaver findes ofte i hæren, skolekantiner, sommerlejre, hospitaler og så videre.
Hvilke kriterier får vi i dette problem?
- Mad skal være sund.
- Udgifter til mad bør holdes på et minimum.
Som du kan se, falder disse mål slet ikke sammen. Det betyder, at når man løser et problem, er det nødvendigt at lede efter den optimale løsning, en balance mellem to kriterier.
Spilmodeller
Når vi taler om spilmodeller, er det nødvendigt at forstå begrebet "spilteori". Kort sagt afspejler disse modeller matematiske modeller for virkelige konflikter. Bare vær opmærksom på, at i modsætning til en reel konflikt har den matematiske spilmodel sine egne specifikke regler.
Nu vil der være et minimum af information fra spilteori, som vil hjælpe dig med at forstå, hvad en spilmodel er. Og derfor er der i modellen nødvendigvis parter (to eller flere), som norm alt kaldes spillere.
Alle modeller har nogle egenskaber.
| Emner | Antal spillere |
| Strategi | Muligheder for mulige handlinger |
| betaling | Konfliktens udfald (vinde eller tabe). |
Spillemodellen kan parres eller være flere. Hvis vi har to emner, så er konflikten parret, hvis flere - flere. Der kan også skelnes mellem et antagonistisk spil, det kaldes også et nulsumsspil. Dette er en model, hvor gevinsten for en af deltagerne er lig med tabet for den anden.
Simuleringsmodeller
I dette afsnit vil vi være opmærksomme på matematiske simuleringsmodeller. Eksempler på opgaver er:
- model af dynamikken i antallet af mikroorganismer;
- model af molekylers bevægelse og så videre.
I dette tilfælde taler vi om modeller, der er så tæt som muligt på virkelige processer. I det store og hele efterligner de enhver manifestation i naturen. I det første tilfælde kan vi for eksempel modellere dynamikken i antallet af myrer i en koloni. I dette tilfælde kan du observere hver enkelts skæbne. I dette tilfælde bruges den matematiske beskrivelse sjældent, oftere er der skriftlige betingelser:
- efter fem dage lægger hunnen æg;
- 20 dage senere dør myren, og så videre.
Simuleringsmodeller bruges således til at beskrive et stort system. Matematisk konklusion er behandlingen af de modtagne statistiske data.
Requirements
Meget vigtigtvær opmærksom på, at der er nogle krav til denne type model, blandt andet dem, der er angivet i nedenstående tabel.
| Alsidighed | Denne egenskab giver dig mulighed for at bruge den samme model, når du beskriver grupper af objekter af samme type. Det er vigtigt at bemærke, at universelle matematiske modeller er fuldstændig uafhængige af den fysiske karakter af det objekt, der undersøges |
| Adequacy | Det er vigtigt at forstå her, at denne egenskab giver dig mulighed for at gengive virkelige processer så nøjagtigt som muligt. I driftsproblemer er denne egenskab ved matematisk modellering meget vigtig. Et eksempel på en model er processen med at optimere brugen af et gassystem. I dette tilfælde sammenlignes beregnede og faktiske indikatorer, som følge heraf kontrolleres rigtigheden af den kompilerede model |
| Nøjagtighed | Dette krav indebærer sammenfaldet af de værdier, vi får, når vi beregner den matematiske model og inputparametrene for vores virkelige objekt |
| Økonomi | Omkostningseffektivitetskravet for enhver matematisk model er kendetegnet ved implementeringsomkostninger. Hvis arbejdet med modellen udføres manuelt, så er det nødvendigt at beregne, hvor lang tid det vil tage at løse et problem ved hjælp af denne matematiske model. Hvis vi taler om computerstøttet design, beregnes indikatorerne for tidsomkostninger og computerhukommelse |
Stagesmodellering
I alt er det sædvanligt at skelne mellem fire stadier i matematisk modellering.
- Formuler de love, der forbinder modellens dele.
- Forskning af matematiske problemer.
- Afklaring af sammenfaldet mellem praktiske og teoretiske resultater.
- Analyse og modernisering af modellen.
Økonomisk og matematisk model
I dette afsnit vil vi kort fremhæve spørgsmålet om økonomiske og matematiske modeller. Eksempler på opgaver er:
- dannelse af et produktionsprogram til produktion af kødprodukter, der sikrer den maksimale fortjeneste ved produktionen;
- maksimer fortjenesten i organisationen ved at beregne det optimale antal borde og stole, der skal produceres på en møbelfabrik, og så videre.
Den økonomisk-matematiske model viser en økonomisk abstraktion, som udtrykkes ved hjælp af matematiske udtryk og tegn.
Matematisk computermodel
Eksempler på en matematisk computermodel er:
- problemer med hydraulik ved hjælp af rutediagrammer, diagrammer, tabeller og så videre;
- problemer med solid mekanik og så videre.
Computermodel er et billede af et objekt eller system præsenteret som:
- borde;
- flowcharts;
- diagrammer;
- grafik og så videre.
Samtidig afspejler denne model systemets struktur og sammenkoblinger.
Opbygning af en økonomisk-matematisk model
Vi har allerede t alt om, hvad økonomiskmatematisk model. Et eksempel på løsning af problemet vil blive overvejet lige nu. Vi er nødt til at analysere produktionsprogrammet for at identificere reserven til at øge fortjenesten med et skift i sortimentet.
Vi vil ikke fuldt ud overveje problemet, men kun bygge en økonomisk og matematisk model. Kriteriet for vores opgave er profitmaksimering. Så har funktionen formen: Л=р1х1+р2х2… tenderer til maksimum. I denne model er p fortjenesten pr. enhed, x er antallet af producerede enheder. Ud fra den konstruerede model er det yderligere nødvendigt at lave beregninger og opsummere.
Et eksempel på at bygge en simpel matematisk model
Opgave. Fiskeren vendte tilbage med følgende fangst:
- 8 fisk - indbyggere i de nordlige have;
- 20 % af fangsten - indbyggerne i de sydlige have;
- ikke en eneste fisk blev fundet fra den lokale flod.
Hvor mange fisk købte han i butikken?
Så et eksempel på at konstruere en matematisk model af dette problem er som følger. Vi betegner det samlede antal fisk som x. Efter tilstanden er 0,2x antallet af fisk, der lever på sydlige breddegrader. Nu kombinerer vi al tilgængelig information og får den matematiske model af problemet: x=0, 2x+8. Vi løser ligningen og får svaret på hovedspørgsmålet: han købte 10 fisk i butikken.
