2. ordens overflader: eksempler

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Den studerende støder oftest på overflader af 2. orden på det første år. I første omgang kan opgaver om dette emne virke enkle, men efterhånden som du studerer højere matematik og dykker ind i den videnskabelige side, kan du endelig stoppe med at orientere dig i, hvad der sker. For at forhindre dette i at ske, er det nødvendigt ikke kun at huske, men at forstå, hvordan den eller den overflade opnås, hvordan ændring af koefficienterne påvirker den og dens placering i forhold til det oprindelige koordinatsystem, og hvordan man finder et nyt system (en hvor dens centrum falder sammen med oprindelseskoordinaterne, og symmetriaksen er parallel med en af koordinatakserne). Lad os starte fra begyndelsen.

Definition

GMT kaldes en 2. ordens overflade, hvis koordinater opfylder den generelle ligning med følgende form:

F(x, y, z)=0.

Det er klart, at hvert punkt, der hører til overfladen, skal have tre koordinater på et bestemt grundlag. Selvom punkters locus i nogle tilfælde kan degenerere, for eksempel til et plan. Det betyder kun, at en af koordinaterne er konstant og lig med nul i hele området af acceptable værdier.

Den fulde malede form af ligheden nævnt ovenfor ser sådan ud:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – nogle konstanter, x, y, z – variabler svarende til affine koordinater for et punkt. I dette tilfælde må mindst én af konstantfaktorerne ikke være lig med nul, det vil sige, at intet punkt svarer til ligningen.}

I langt de fleste eksempler er mange numeriske faktorer stadig identisk lig med nul, og ligningen er meget forenklet. I praksis er det ikke svært at bestemme, om et punkt hører til en overflade (det er nok at erstatte dets koordinater i ligningen og kontrollere, om identiteten er observeret). Nøglepunktet i et sådant arbejde er at bringe sidstnævnte til en kanonisk form.

Ligningen skrevet ovenfor definerer enhver (alle anført nedenfor) overflader af 2. orden. Vi vil overveje eksempler nedenfor.

Typer af overflader af 2. orden

Ligninger af overflader af 2. orden adskiller sig kun i værdierne af koefficienterne A_{nm. Fra den generelle opfattelse, for visse værdier af konstanterne, kan forskellige overflader opnås, klassificeret som følger:}

1. Cylindere.
2. Ellipseformet.
3. Hyperbolisk type.
4. Konisk type.
5. Parabolisk type.
6. Planes.

Hver af de anførte typer har en naturlig og imaginær form: I den imaginære form degenererer stedet for reelle punkter enten til en enklere figur eller er helt fraværende.

Cylinder

Dette er den enkleste type, da en relativt kompleks kurve kun ligger ved bunden og fungerer som en guide. Generatorerne er lige linjer vinkelret på det plan, som basen ligger i.

Graffen viser en cirkulær cylinder, et speci altilfælde af en elliptisk cylinder. I XY-planet vil dets projektion være en ellipse (i vores tilfælde en cirkel) - en guide, og i XZ - et rektangel - da generatorerne er parallelle med Z-aksen. For at få det fra den generelle ligning skal du bruge for at give koefficienterne følgende værdier:

I stedet for de sædvanlige symboler bruges x, y, z, x med et serienummer - det betyder ikke noget.

Faktisk er 1/a2og de andre konstanter, der er angivet her, de samme koefficienter, der er angivet i den generelle ligning, men det er sædvanligt at skrive dem på denne form - det er den kanoniske fremstilling. Derudover vil kun en sådan notation blive brugt.

Det er sådan en hyperbolsk cylinder defineres. Ordningen er den samme - hyperbolen vil være guiden.

y2=2px

En parabolcylinder er defineret noget anderledes: dens kanoniske form inkluderer en koefficient p, kaldet en parameter. Faktisk er koefficienten lig med q=2p, men det er sædvanligt at opdele den i de to præsenterede faktorer.

Der er en anden type cylinder: imaginær. Intet reelt punkt hører til sådan en cylinder. Det er beskrevet af ligningenelliptisk cylinder, men i stedet for enhed er -1.

Ellipseformet

En ellipsoide kan strækkes langs en af akserne (langs hvilken den afhænger af værdierne af konstanterne a, b, c, angivet ovenfor; det er indlysende, at en større koefficient vil svare til den større akse).

Der er også en imaginær ellipsoide - forudsat at summen af koordinaterne ganget med koefficienterne er -1:

Hyperboloider

Når der vises et minus i en af konstanterne, bliver ellipsoideligningen til ligningen for en enkeltarks hyperboloid. Det skal forstås, at dette minus ikke behøver at være placeret før x₃-koordinaten! Det bestemmer kun, hvilken af akserne der vil være rotationsaksen for hyperboloiden (eller parallel med den, da der optræder yderligere led i kvadratet (f.eks. (x-2)^{2) midten af figuren forskydes, som følge heraf bevæger overfladen sig parallelt med koordinatakserne). Dette gælder for alle 2. ordens overflader.}

Desuden skal du forstå, at ligningerne præsenteres i kanonisk form, og at de kan ændres ved at variere konstanterne (med tegnet bevaret!); mens deres form (hyperboloid, kegle og så videre) forbliver den samme.

Denne ligning er allerede givet af en to-arks hyperboloid.

Konisk overflade

Der er ingen enhed i kegleligningen - lighed til nul.

Kun en afgrænset konisk overflade kaldes en kegle. Billedet nedenfor viser, at der faktisk vil være to såkaldte kegler på kortet.

Vigtig bemærkning: I alle betragtede kanoniske ligninger tages konstanterne som standard positive. Ellers kan tegnet påvirke det endelige diagram.

Koordinatplanerne bliver keglens symmetriplaner, symmetricentret er placeret ved origo.

Der er kun plusser i den imaginære kegleligning; den ejer et enkelt rigtigt point.

Paraboloids

Overflader af 2. orden i rummet kan have forskellige former selv med lignende ligninger. For eksempel er der to typer paraboloider.

x²/a²+y²/b^2=2z

En elliptisk paraboloid, når Z-aksen er vinkelret på tegningen, vil blive projiceret ind i en ellipse.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hyperbolsk paraboloid: sektioner med planer parallelt med ZY vil producere parabler, og sektioner med planer parallelt med XY vil producere hyperbler.

Krydsende fly

Der er tilfælde, hvor overflader af 2. orden degenererer til et plan. Disse fly kan arrangeres på forskellige måder.

Tænk først på de krydsende planer:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Denne modifikation af den kanoniske ligning resulterer i kun to skærende planer (imaginære!); alle reelle punkter er på aksen for den koordinat, der mangler i ligningen (i den kanoniske - Z-aksen).

Parallelle fly

y²=a²

Når der kun er én koordinat, degenererer overfladerne af 2. orden til et par parallelle planer. Husk, at enhver anden variabel kan træde i stedet for Y; så vil fly parallelt med andre akser blive opnået.

y²=−a²

I dette tilfælde bliver de imaginære.

sammenfaldende fly

y2=0

Med sådan en simpel ligning degenererer et par fly til ét - de falder sammen.

Glem ikke, at i tilfælde af en tredimensionel basis, definerer ovenstående ligning ikke den rette linje y=0! Den mangler de to andre variable, men det betyder bare, at deres værdi er konstant og lig med nul.

Bygning

En af de sværeste opgaver for en elev er konstruktionen af overflader af 2. orden. Det er endnu sværere at flytte fra et koordinatsystem til et andet, givet vinklerne på kurven i forhold til akserne og forskydningen af midten. Lad os gentage, hvordan man konsekvent bestemmer den fremtidige visning af tegningen med en analytiskmåde.

For at bygge en 2. ordens overflade skal du bruge:

• bring ligningen til kanonisk form;
• bestem typen af overflade, der undersøges;
• konstruktion baseret på koefficientværdier.

Nedenfor er alle de typer, der tages i betragtning:

For at konsolidere, lad os i detaljer beskrive et eksempel på denne type opgave.

Eksempler

Antag, at der er en ligning:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Lad os bringe det til den kanoniske form. Lad os udskille de fulde kvadrater, det vil sige, vi arrangerer de tilgængelige udtryk på en sådan måde, at de er udvidelsen af kvadratet af summen eller forskellen. For eksempel: hvis (a+1)²=a²+2a+1, så a²+2a +1=(a+1)^{2. Vi vil udføre den anden operation. I dette tilfælde er det ikke nødvendigt at åbne parenteserne, da dette kun vil komplicere beregningerne, men det er nødvendigt at tage den fælles faktor 6 ud (i parentes med det fulde kvadrat af Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Variablen z forekommer i dette tilfælde kun én gang - du kan lade den være i fred indtil videre.

Vi analyserer ligningen på dette trin: alle ukendte er forudgået af et plustegn; når de divideres med seks, er der én tilbage. Derfor har vi en ligning, der definerer en ellipsoide.

Bemærk, at 144 blev indregnet i 150-6, hvorefter -6 blev flyttet til højre. Hvorfor skulle det gøres på denne måde? Det er klart, at den største divisor i dette eksempel er -6, så efter at have divideret med denen er venstre til højre, er det nødvendigt at "udsætte" præcis 6 fra 144 (det faktum, at man skal være til højre, er angivet ved tilstedeværelsen af et frit led - en konstant ikke ganget med en ukendt).

Del alt med seks og få den kanoniske ligning for ellipsoiden:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

I den tidligere anvendte klassifikation af overflader af 2. orden, betragtes et særligt tilfælde, når midten af figuren er ved koordinaternes begyndelse. I dette eksempel er den forskudt.

Vi antager, at hver parentes med ukendte er en ny variabel. Det vil sige: a=x-1, b=y+5, c=z. I de nye koordinater falder ellipsoidens centrum sammen med punktet (0, 0, 0), derfor a=b=c=0, hvorfra: x=1, y=-5, z=0. I de indledende koordinater ligger midten af figuren i punktet (1, -5, 0).

Ellipsoid vil blive opnået fra to ellipser: den første i XY-planet og den anden i XZ-planet (eller YZ - det betyder ikke noget). Koefficienterne, som variablerne divideres med, kvadreres i den kanoniske ligning. Derfor ville det i ovenstående eksempel være mere korrekt at dividere med roden af to, en og roden af tre.

Den første ellipses lille akse, parallel med Y-aksen, er to. Hovedaksen parallel med x-aksen er to rødder af to. Den lille akse af den anden ellipse, parallel med Y-aksen, forbliver den samme - den er lig med to. Og hovedaksen, parallel med Z-aksen, er lig med to rødder af tre.

Ved hjælp af data opnået fra den oprindelige ligning ved at konvertere til den kanoniske form, kan vi tegne en ellipsoide.

Opsummering

Dækket i denne artikelemnet er ret omfattende, men faktisk, som du nu kan se, ikke særlig kompliceret. Dens udvikling slutter faktisk i det øjeblik, hvor du husker overfladernes navne og ligninger (og selvfølgelig hvordan de ser ud). I eksemplet ovenfor har vi diskuteret hvert trin i detaljer, men at bringe ligningen til den kanoniske form kræver minim alt kendskab til højere matematik og burde ikke forårsage nogen vanskeligheder for eleven.

Analyse af den fremtidige tidsplan for den eksisterende ligestilling er allerede en vanskeligere opgave. Men for dens succesfulde løsning er det nok at forstå, hvordan de tilsvarende andenordenskurver er bygget - ellipser, parabler og andre.

Degenerationssager - et endnu enklere afsnit. På grund af fraværet af nogle variabler forenkles ikke kun beregningerne, som tidligere nævnt, men også selve konstruktionen.

Så snart du trygt kan navngive alle typer overflader, skal du variere konstanterne og forvandle grafen til en eller anden form - emnet vil blive mestret.

Succes med dine studier!