Hvis den lineære bevægelse af legemer er beskrevet i klassisk mekanik ved hjælp af Newtons love, så beregnes karakteristikaene for bevægelsen af mekaniske systemer langs cirkulære baner ved hjælp af et særligt udtryk, som kaldes momentsligningen. Hvilke øjeblikke taler vi om, og hvad er meningen med denne ligning? Disse og andre spørgsmål afsløres i artiklen.
Kraftmoment
Alle er godt klar over den newtonske kraft, som, der virker på kroppen, fører til, at den giver en acceleration. Når en sådan kraft påføres et objekt, der er fikseret på en bestemt rotationsakse, så kaldes denne karakteristik norm alt for kraftmomentet. Kraftmomentets ligning kan skrives som følger:
M¯=L¯F¯
Billedet, der forklarer dette udtryk, er vist nedenfor.
Her kan du se, at kraften F¯ er rettet mod vektoren L¯ i en vinkel Φ. Selve vektoren L¯ antages at være rettet fra rotationsaksen (angivet med pilen) til påføringspunktetF¯.
Ovenstående formel er et produkt af to vektorer, så M¯ er også retningsbestemt. Hvor vil kraftmomentet M¯ blive vendt? Dette kan bestemmes af højrehåndsreglen (fire fingre er rettet langs banen fra slutningen af vektoren L¯ til slutningen af F¯, og venstre tommelfinger angiver retningen af M¯).
I figuren ovenfor vil udtrykket for kraftmomentet i skalarform have formen:
M=LFsin(Φ)
Hvis du ser nærmere på figuren, kan du se, at Lsin(Φ)=d, så har vi formlen:
M=dF
Værdien af d er en vigtig egenskab ved beregning af kraftmomentet, da den afspejler effektiviteten af det anvendte F på systemet. Denne værdi kaldes krafthåndtaget.
Den fysiske betydning af M ligger i kraftens evne til at rotere systemet. Alle kan mærke denne evne, hvis de åbner døren ved håndtaget, skubber den i nærheden af hængslerne, eller hvis de prøver at skrue møtrikken af med en kort og lang nøgle.
Systemets ligevægt
Begrebet kraftmoment er meget nyttigt, når man overvejer ligevægten i et system, der påvirkes af flere kræfter og har en akse eller et rotationspunkt. I sådanne tilfælde skal du anvende formlen:
∑iMi¯=0
Det vil sige, at systemet vil være i ligevægt, hvis summen af alle momenter af kræfter påført det er nul. Bemærk, at i denne formel er der et vektortegn over øjeblikket, det vil sige, når man løser, skal man ikke glemme at tage hensyn til tegnet på dettemængder. Den generelt accepterede regel er, at den virkende kraft, der roterer systemet mod uret, skaber en positiv Mi¯.
Et slående eksempel på problemer af denne type er problemer med balancen mellem Archimedes' håndtag.
Moment of momentum
Dette er en anden vigtig egenskab ved cirkulær bevægelse. I fysik beskrives det som produktet af momentum og løftestang. Momentumligningen ser sådan ud:
T¯=r¯p¯
Her er p¯ momentumvektoren, r¯ er vektoren, der forbinder det roterende materialepunkt med aksen.
Figuren nedenfor illustrerer dette udtryk.
Her er ω vinkelhastigheden, som vil fremgå længere i momentligningen. Bemærk, at retningen af vektoren T¯ findes efter samme regel som M¯. I figuren ovenfor vil T¯ i retning falde sammen med vinkelhastighedsvektoren ω¯.
Den fysiske betydning af T¯ er den samme som egenskaberne for p¯ i tilfælde af lineær bevægelse, dvs. vinkelmomentum beskriver mængden af rotationsbevægelse (lagret kinetisk energi).
Inertiamoment
Den tredje vigtige egenskab, uden hvilken det er umuligt at formulere bevægelsesligningen for et roterende objekt, er inertimomentet. Det vises i fysik som et resultat af matematiske transformationer af formlen for vinkelmomentet af et materielt punkt. Lad os vise dig, hvordan det gøres.
Lad os forestille os værdienT¯ som følger:
T¯=r¯mv¯, hvor p¯=mv¯
Ved at bruge forholdet mellem vinkel- og lineære hastigheder kan vi omskrive dette udtryk som følger:
T¯=r¯mr¯ω¯, hvor v¯=r¯ω¯
Skriv det sidste udtryk som følger:
T¯=r2mω¯
Værdien r2m er inertimomentet I for et massepunkt m, der laver en cirkulær bevægelse omkring en akse i en afstand r fra det. Dette specielle tilfælde giver os mulighed for at introducere den generelle ligning for inertimomentet for en krop med vilkårlig form:
I=∫m (r2dm)
I er en additiv størrelse, hvis betydning ligger i det roterende systems inerti. Jo større I, jo sværere er det at dreje kroppen, og det kræver en betydelig indsats at stoppe det.
Øjebliksligning
Vi har overvejet tre mængder, hvis navn begynder med ordet "øjeblik". Dette blev gjort med vilje, da de alle er forbundet i ét udtryk, kaldet 3-moment-ligningen. Lad os få det ud.
Betragt udtrykket for vinkelmomentet T¯:
T¯=Iω¯
Find hvordan værdien af T¯ ændres over tid, vi har:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Forudsat at den afledede af vinkelhastigheden er lig med den af den lineære hastighed divideret med r, og udvider værdien af I, kommer vi til udtrykket:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, hvor a¯=dv¯/dt er lineær acceleration.
Bemærk, at produktet af masse og acceleration ikke er andet end den virkende ydre kraft F¯. Som et resultat får vi:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Vi kom til en interessant konklusion: Ændringen i vinkelmomentet er lig med momentet af den virkende ydre kraft. Dette udtryk er norm alt skrevet i en lidt anden form:
M¯=Iα¯, hvor α¯=dω¯/dt - vinkelacceleration.
Denne lighed kaldes momenternes ligning. Det giver dig mulighed for at beregne enhver karakteristik af et roterende legeme, ved at kende systemets parametre og størrelsen af den eksterne påvirkning på det.
Bevaringslov T¯
Konklusionen opnået i det foregående afsnit indikerer, at hvis det ydre kraftmoment er lig med nul, vil vinkelmomentet ikke ændre sig. I dette tilfælde skriver vi udtrykket:
T¯=konst. eller I1ω1¯=I2ω2 ¯
Denne formel kaldes loven om bevarelse af T¯. Det vil sige, at ændringer i systemet ikke ændrer det samlede vinkelmomentum.
Dette faktum bruges af kunstskøjteløbere og ballerinaer under deres optrædener. Den bruges også, hvis det er nødvendigt at rotere en kunstig satellit, der bevæger sig i rummet omkring dens akse.
