For at bestemme paralleliteten og vinkelretheden af planer, samt beregne afstandene mellem disse geometriske objekter, er det praktisk at bruge en eller anden type numeriske funktioner. Til hvilke problemer er det praktisk at bruge ligningen for en plan i segmenter? I denne artikel vil vi se på, hvad det er, og hvordan man bruger det i praktiske opgaver.
Hvad er en ligning i linjestykker?
Et plan kan defineres i 3D-rum på flere måder. I denne artikel vil nogle af dem blive givet, mens de løser problemer af forskellige typer. Her giver vi en detaljeret beskrivelse af ligningen i segmenter af planet. Det har generelt følgende form:
x/p + y/q + z/r=1.
Hvor symbolerne p, q, r angiver nogle specifikke tal. Denne ligning kan let oversættes til et generelt udtryk og til andre former for numeriske funktioner for planet.
Bekvemmeligheden ved at skrive ligningen i segmenter ligger i, at den indeholder de eksplicitte koordinater for skæringen af planet med vinkelrette koordinatakser. På x-akseni forhold til origo afskærer planet et segment af længden p, på y-aksen - lig med q, på z - af længden r.
Hvis en af de tre variable ikke er indeholdt i ligningen, betyder det, at planet ikke passerer gennem den tilsvarende akse (matematikere siger, at det krydser i det uendelige).
Næste, her er nogle problemer, hvor vi vil vise, hvordan man arbejder med denne ligning.
Kommunikation af det generelle og i segmenter af ligninger
Det er kendt, at flyet er givet ved følgende lighed:
2x - 3y + z - 6=0.
Det er nødvendigt at nedskrive denne generelle ligning af planet i segmenter.
Når et lignende problem opstår, skal du følge denne teknik: vi overfører den frie term til den rigtige side af ligestillingen. Derefter deler vi hele ligningen med dette udtryk og prøver at udtrykke det i formen givet i det foregående afsnit. Vi har:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Vi har i segmenterne opnået ligningen for planet, givet indledningsvis i generel form. Det er bemærkelsesværdigt, at planet afskærer segmenter med længder på 3, 2 og 6 for henholdsvis x-, y- og z-akserne. Y-aksen skærer planet i det negative koordinatområde.
Når du tegner en ligning i segmenter, er det vigtigt, at alle variabler indledes med et "+"-tegn. Kun i dette tilfælde vil tallet, som denne variabel er divideret med, vise koordinaten afskåret på aksen.
Normal vektor og punkt på flyet
Det er kendt, at et eller andet plan har retningsvektor (3; 0; -1). Det er også kendt, at det passerer gennem punktet (1; 1; 1). For denne plan skal du skrive en ligning i segmenter.
For at løse dette problem skal du først bruge den generelle form for dette todimensionelle geometriske objekt. Den generelle formular er skrevet som:
Ax + By + Cz + D=0.
De første tre koefficienter her er koordinaterne for guidevektoren, som er angivet i problemformuleringen, dvs.:
A=3;
B=0;
C=-1.
Det er tilbage at finde det frie udtryk D. Det kan bestemmes ved følgende formel:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Hvor koordinatværdierne med indeks 1 svarer til koordinaterne for et punkt, der hører til planet. Vi erstatter deres værdier med problemets tilstand, vi får:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nu kan du skrive hele ligningen:
3x - z - 2=0.
Teknikken til at konvertere dette udtryk til en ligning i segmenter af planet er allerede blevet demonstreret ovenfor. Anvend det:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Svaret på problemet er modtaget. Bemærk, at dette plan kun skærer x- og z-akserne. For y er den parallel.
To lige linjer, der definerer et plan
Fra forløbet af rumlig geometri ved enhver elev, at to vilkårlige linjer entydigt definerer et plan itredimensionelt rum. Lad os løse et lignende problem.
To linjers ligninger er kendt:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Det er nødvendigt at nedskrive planens ligning i segmenter, der passerer gennem disse linjer.
Da begge linjer skal ligge i planet, betyder det, at deres vektorer (guides) skal være vinkelrette på vektoren (guide) for planet. Samtidig er det kendt, at vektorproduktet af vilkårlige to rettede segmenter giver resultatet i form af koordinater af den tredje, vinkelret på de to oprindelige. Givet denne egenskab får vi koordinaterne for en vektor normal på det ønskede plan:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Da det kan multipliceres med et vilkårligt tal, danner dette et nyt rettet segment parallelt med det oprindelige, kan vi erstatte fortegnet for de opnåede koordinater med det modsatte (multiplicer med -1), får vi:
(1; 2; 1).
Vi kender retningsvektoren. Det er tilbage at tage et vilkårligt punkt på en af de rette linjer og tegne den generelle ligning for planet:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Når vi oversætter denne lighed til et udtryk i segmenter, får vi:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Således skærer planet alle tre akser i det positive område af koordinatsystemet.
Tre point og et fly
Ligesom to lige linjer definerer tre punkter et plan unikt i tredimensionelt rum. Vi skriver den tilsvarende ligning i segmenter, hvis følgende koordinater for punkter, der ligger i planet, er kendt:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Lad os gøre følgende: Beregn koordinaterne for to vilkårlige vektorer, der forbinder disse punkter, og find derefter vektoren n¯ normal på planet ved at beregne produktet af de fundne rettede segmenter. Vi får:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Tag punktet P som eksempel, komponer ligningen for planet:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 eller z=0.
Vi fik et simpelt udtryk, der svarer til xy-planet i det givne rektangulære koordinatsystem. Det kan ikke skrives i segmenter, da x- og y-akserne hører til planet, og længden af segmentet afskåret på z-aksen er nul (punktet (0; 0; 0) hører til planet).
