Ofte i fysik skal man løse problemer for at beregne ligevægt i komplekse systemer, der har mange virkende kræfter, løftestænger og rotationsakser. I dette tilfælde er det nemmest at bruge begrebet kraftmoment. Denne artikel indeholder alle de nødvendige formler med detaljerede forklaringer, der bør bruges til at løse problemer af den navngivne type.
Hvad skal vi tale om?
Mange har sikkert lagt mærke til, at hvis du handler med en hvilken som helst kraft på en genstand, der er fastgjort på et bestemt tidspunkt, begynder den at rotere. Et slående eksempel er døren til huset eller til værelset. Hvis du tager den i håndtaget og skubber (anvend kraft), så begynder den at åbne sig (drej på hængslerne). Denne proces er en manifestation i hverdagen af virkningen af en fysisk størrelse, som kaldes kraftmomentet.
Af det beskrevne eksempel med døren følger, at den pågældende værdi angiver kraftens evne til at rotere, hvilket er dens fysiske betydning. Også denne værdikaldes vridningsmomentet.
Beslutning af kraftmomentet
Lad os tage et simpelt billede, før vi definerer den mængde, der overvejes.
Så figuren viser en håndtag (blå), som er fastgjort på aksen (grøn). Dette håndtag har længden d, og der påføres en kraft F på dens ende. Hvad vil der ske med systemet i dette tilfælde? Det er rigtigt, håndtaget vil begynde at rotere mod uret, når det ses ovenfra (bemærk, at hvis du strækker din fantasi lidt og forestiller dig, at udsigten er rettet nedefra til håndtaget, så vil den rotere med uret).
Lad aksens fastgørelsespunkt hedde O, og kraftpåføringspunktet - P. Derefter kan vi skrive følgende matematiske udtryk:
OP¯ F¯=M¯FO.
Hvor OP¯ er vektoren, der er rettet fra aksen til enden af håndtaget, kaldes det også krafthåndtaget, F¯er vektoren påført kraft til punktet P, og M¯FO er kraftmomentet omkring punktet O (akse). Denne formel er den matematiske definition af den pågældende fysiske størrelse.
Retning af øjeblik og højrehåndsregel
Udtrykket ovenfor er et krydsprodukt. Som du ved, er resultatet også en vektor, der er vinkelret på det plan, der passerer gennem de tilsvarende multiplikatorvektorer. Denne betingelse er opfyldt af to retninger af værdien M¯FO (ned og op).
Til uniktfor at bestemme, bør man bruge den såkaldte højrehåndsregel. Det kan formuleres på denne måde: hvis du bøjer din højre hånds fire fingre ind i en halvbue og dirigerer denne halvbue, så den går langs den første vektor (den første faktor i formlen) og går til slutningen af den anden, så viser tommelfingeren, der rager opad, retningen af vridningsmomentet. Bemærk også, at før du bruger denne regel, skal du indstille de multiplicerede vektorer, så de kommer ud fra samme punkt (deres oprindelse skal matche).
I tilfældet med figuren i det foregående afsnit, kan vi ved at anvende højrehåndsreglen sige, at kraftmomentet i forhold til aksen vil være rettet opad, det vil sige mod os.
Udover den markerede metode til at bestemme retningen af vektoren M¯FO, er der to mere. Her er dem:
- Vridningsmomentet vil blive rettet på en sådan måde, at hvis du ser på det roterende håndtag fra enden af dets vektor, vil sidstnævnte bevæge sig mod uret. Det er generelt accepteret at betragte denne retning af øjeblikket som positiv, når man løser forskellige slags problemer.
- Hvis du drejer gimlet'en med uret, vil drejningsmomentet blive rettet mod bevægelsen (uddybning) af gimlet'en.
Alle ovenstående definitioner er ækvivalente, så alle kan vælge den, der passer ham.
Så det blev konstateret, at retningen af kraftmomentet er parallel med den akse, som det tilsvarende håndtag drejer rundt om.
Vinklet kraft
Overvej billedet nedenfor.
Her ser vi også et håndtag med længde L fastgjort til et punkt (angivet med en pil). En kraft F virker på den, men den er rettet i en vis vinkel Φ (phi) til den vandrette løftestang. Øjeblikkets retning M¯FO vil i dette tilfælde være den samme som i den foregående figur (på os). For at beregne den absolutte værdi eller modul af denne mængde skal du bruge egenskaben på tværs af produkt. Ifølge ham kan du for det pågældende eksempel skrive udtrykket: MFO=LFsin(180 o -Φ) eller ved at bruge sinusegenskaben omskriver vi:
MFO=LFsin(Φ).
Figuren viser også en afsluttet retvinklet trekant, hvis sider er selve håndtaget (hypotenusen), kraftens (bens) virkelinje og siden af længden d (det andet ben). Givet at sin(Φ)=d/L, vil denne formel have formen: MFO=dF. Det kan ses, at afstanden d er afstanden fra armens fastgørelsespunkt til kraftens virkelinje, dvs. d er kraftarmen.
Begge formlerne i dette afsnit, som følger direkte af definitionen af vridningsmomentet, er nyttige til at løse praktiske problemer.
Momentenheder
Ved brug af definitionen kan det fastslås, at værdien MFOskal måles i newton pr. meter (Nm). Faktisk, i form af disse enheder bruges det i SI.
Bemærk, at Nm er en arbejdsenhed, som er udtrykt i joule, ligesom energi. Ikke desto mindre bruges joule ikke til begrebet kraftmoment, da denne værdi netop afspejler muligheden for at implementere sidstnævnte. Der er dog en sammenhæng med arbejdsenheden: hvis håndtaget som følge af kraften F drejes helt rundt om sit omdrejningspunkt O, så vil det udførte arbejde være lig med A=MF O 2pi (2pi er den vinkel i radianer, der svarer til 360o). I dette tilfælde kan enheden for drejningsmoment MFO udtrykkes i joule pr. radian (J/rad.). Sidstnævnte bruges sammen med Hm også i SI-systemet.
Varignons sætning
I slutningen af det 17. århundrede formulerede den franske matematiker Pierre Varignon, der studerede ligevægten mellem systemer med håndtag, først sætningen, som nu bærer hans efternavn. Det er formuleret som følger: Det samlede moment af flere kræfter er lig med momentet af den resulterende ene kraft, som påføres til et bestemt punkt i forhold til den samme rotationsakse. Matematisk kan det skrives som følger:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Denne sætning er praktisk at bruge til at beregne vridningsmomenterne i systemer med flere virkende kræfter.
Dernæst giver vi et eksempel på brug af ovenstående formler til at løse problemer i fysik.
nøgleproblem
En afEt slående eksempel på at demonstrere vigtigheden af at tage højde for kraftmomentet er processen med at skrue møtrikkerne af med en skruenøgle. For at skrue møtrikken af skal du påføre noget moment. Det er nødvendigt at beregne, hvor meget kraft der skal påføres ved punkt A for at begynde at skrue møtrikken af, hvis denne kraft i punkt B er 300 N (se figuren nedenfor).
Fra ovenstående figur følger to vigtige ting: For det første er afstanden OB det dobbelte af OA; for det andet er kræfterne FA og FBrettet vinkelret på det tilsvarende håndtag med rotationsaksen sammenfaldende med midten af møtrikken (punkt O).
Momentmomentet for denne sag kan skrives i skalarform som følger: M=OBFB=OAFA. Da OB/OA=2, gælder denne lighed kun, hvis FA er 2 gange større end FB. Ud fra problemets tilstand får vi, at FA=2300=600 N. Det vil sige, jo længere nøglen er, jo lettere er det at skrue møtrikken af.
Problem med to kugler med forskellig masse
Figuren nedenfor viser et system, der er i ligevægt. Det er nødvendigt at finde omdrejningspunktets position, hvis brættets længde er 3 meter.
Da systemet er i ligevægt, er summen af momenterne af alle kræfter lig med nul. Der er tre kræfter, der virker på brættet (vægtene af de to bolde og støttens reaktionskraft). Da støttekraften ikke skaber et moment (håndtagets længde er nul), er der kun to momenter skabt af kuglernes vægt.
Lad ligevægtspunktet være i en afstand x frakant indeholdende en 100 kg kugle. Så kan vi skrive ligheden: M1-M2=0. Da kroppens vægt er bestemt af formlen mg, så har vi: m 1gx - m2g(3-x)=0. Vi reducerer g og erstatter dataene, vi får: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m eller 14,3 cm.
For at systemet skal være i ligevægt, er det således nødvendigt at etablere et referencepunkt i en afstand af 14,3 cm fra kanten, hvor en kugle med en masse på 100 kg vil ligge.
