I algebra er der et begreb om to typer ligheder - identiteter og ligninger. Identiteter er sådanne ligheder, der er mulige for alle værdier af bogstaverne inkluderet i dem. Ligninger er også ligheder, men de er kun mulige for visse værdier af bogstaverne, der er inkluderet i dem.
Breve er norm alt ulige med hensyn til opgaven. Det betyder, at nogle af dem kan antage alle tilladte værdier, kaldet koefficienter (eller parametre), mens andre - de kaldes ukendte - antager værdier, der skal findes i løsningsprocessen. Som regel angives ukendte mængder i ligninger med bogstaver, de sidste i det latinske alfabet (x.y.z osv.), eller med de samme bogstaver, men med et indeks (x1, x 2 osv.), og de kendte koefficienter er givet ved de første bogstaver i det samme alfabet.
Baseret på antallet af ukendte, skelnes der ligninger med en, to og flere ukendte. Således kaldes alle værdier af de ukendte, som ligningen, der løses, til en identitet for løsninger af ligningerne. En ligning kan betragtes som løst, hvis alle dens løsninger er fundet, eller det er bevist, at den ikke har nogen. Opgaven "løs ligningen" er i praksis almindelig og betyder, at du skal finde roden til ligningen.
Definition: rødderne af en ligning er de værdier af de ukendte fra rækken af tilladte værdier, hvorved ligningen, der løses, bliver en identitet.
Algorithmen til at løse absolut alle ligninger er den samme, og dens betydning er at reducere dette udtryk til en enklere form ved hjælp af matematiske transformationer. Ligninger, der har de samme rødder, kaldes ækvivalente i algebra.
Det enkleste eksempel: 7x-49=0, roden af ligningen x=7;x-7=0, ligesom roden x=7, derfor er ligningerne ækvivalente. (I særlige tilfælde har ækvivalente ligninger muligvis slet ikke rødder.)
Hvis roden af en ligning også er roden til en anden, enklere ligning opnået fra den oprindelige ved transformationer, så kaldes sidstnævnte en konsekvens af den foregående ligning.
Hvis en af de to ligninger er en konsekvens af den anden, betragtes de som ækvivalente. De kaldes også ækvivalente. Eksemplet ovenfor illustrerer dette.
Det er ofte svært at løse selv de simpleste ligninger i praksis. Som et resultat af løsningen kan du få en rod af ligningen, to eller flere, endda et uendeligt tal - det afhænger af typen af ligninger. Der er også dem, der ikke har nogen rødder, de kaldes uafgørelige.
Eksempler:
1) 15x -20=10; x=2. Dette er den eneste rod af ligningen.
2) 7x - y=0. Ligningen har et uendeligt antal rødder, da hver variabel kan have utalligeantal værdier.
3) x2=- 16. Et tal hævet til anden potens giver altid et positivt resultat, så det er umuligt at finde roden af ligningen. Dette er en af de uløselige ligninger nævnt ovenfor.
Løsningens rigtighed kontrolleres ved at erstatte de fundne rødder i stedet for bogstaver og løse det resulterende eksempel. Hvis identiteten holder, er løsningen korrekt.
