Talsystemer - hvad er det? Selv uden at kende svaret på dette spørgsmål, bruger hver af os ufrivilligt talsystemer i vores liv og har ikke mistanke om det. Det er rigtigt, flertal! Altså ikke én, men flere. Før vi giver eksempler på ikke-positionelle talsystemer, lad os forstå dette problem, lad os også tale om positionelle systemer.
Faktura nødvendig
Siden oldtiden havde folk et behov for at tælle, det vil sige, at de intuitivt indså, at de på en eller anden måde skulle udtrykke en kvantitativ vision af ting og begivenheder. Hjernen foreslog, at det var nødvendigt at bruge genstande til at tælle. Fingre har altid været det mest bekvemme, og det er forståeligt, fordi de altid er tilgængelige (med sjældne undtagelser).
Så de gamle repræsentanter for den menneskelige race måtte bøje fingrene i bogstavelig forstand - for eksempel for at angive antallet af dræbte mammutter. Sådanne elementer i beretningen havde endnu ikke navne, men kun et visuelt billede, en sammenligning.
Moderne positionsnummersystemer
Talsystemet er en metode (måde) til at repræsentere kvantitative værdier og mængder ved hjælp af bestemte tegn (symboler eller bogstaver).
Det er nødvendigt at forstå, hvad der er positionelt og ikke-positionelt ved optælling, før du giver eksempler på ikke-positionelle talsystemer. Der er mange positionsnummersystemer. Nu bruges følgende inden for forskellige vidensområder: binær (inkluderer kun to væsentlige elementer: 0 og 1), hexadecimal (antal tegn - 6), oktal (tegn - 8), duodecimal (tolv tegn), hexadecimal (inkluderer seksten tegn). Desuden starter hver række af tegn i systemerne fra nul. Moderne computerteknologier er baseret på brugen af binære koder - det binære positionstalssystem.
Decim altalsystem
Positionalitet er tilstedeværelsen af signifikante positioner i varierende grad, hvorpå tallets tegn er placeret. Dette kan bedst demonstreres ved at bruge eksemplet med decim altalsystemet. Vi er jo vant til at bruge det fra barnsben. Der er ti tegn i dette system: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tag tallet 327. Det har tre tegn: 3, 2, 7. Hvert af dem er placeret i sin egen position (sted). De syv indtager den position, der er reserveret til enkelte værdier (enheder), de to - tiere og de tre - hundrede. Da tallet er trecifret, er der derfor kun tre positioner i det.
Baseret på ovenstående, detteet trecifret decim altal kan beskrives som følger: tre hundrede, to tiere og syv enheder. Desuden tælles betydningen (vigtigheden) af positioner fra venstre mod højre, fra en svag position (én) til en stærkere (hundredevis).
Vi føler os meget godt tilpas i decimalpositionsnummersystemet. Vi har ti fingre på hænderne, og det samme på fødderne. Fem plus fem - så takket være fingrene forestiller vi os let et dusin fra barndommen. Derfor er det nemt for børn at lære multiplikationstabellerne for fem og ti. Og det er også så nemt at lære at tælle sedler, som oftest er multipla (det vil sige divideret uden en rest) med fem og ti.
Andre positionsnummersystemer
Til manges overraskelse skal det siges, at ikke kun i decim altællesystemet er vores hjerne vant til at lave nogle beregninger. Indtil nu har menneskeheden brugt seks og duodecimale talsystemer. Det vil sige, i et sådant system er der kun seks tegn (i hexadecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. I duodecimal er der tolv af dem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, hvor A - angiver tallet 10, B - tallet 11 (da tegnet skal være et).
Døm selv. Vi tæller tiden i seksere, gør vi ikke? En time er tres minutter (seks tiere), en dag er fireogtyve timer (to gange tolv), et år er tolv måneder, og så videre… Alle tidsintervaller passer nemt ind i seks- og duodecimalserier. Men vi er så vant til det, at vi ikke engang tænker over det, når vi tæller tid.
Ikke-positionelle talsystemer. Unær
Det er nødvendigt at definere, hvad det er - et ikke-positionelt talsystem. Dette er sådan et tegnsystem, hvor der ikke er positioner for tegn på et tal, eller princippet om at "læse" et tal ikke afhænger af positionen. Det har også sine egne regler for skrivning eller beregning.
Lad os give eksempler på ikke-positionelle talsystemer. Lad os gå tilbage til antikken. Folk havde brug for en konto og fandt på den enkleste opfindelse - knuder. Det ikke-positionelle talsystem er nodulært. En genstand (en pose ris, en tyr, en høstak osv.) blev t alt med, for eksempel ved køb eller salg, og bundet en knude på en snor.
Som et resultat blev der lavet lige så mange knob på rebet som mange poser med ris (som et eksempel). Men det kunne også være hak på en træpind, på en stenplade mv. Sådan et talsystem blev kendt som nodulært. Hun har et andet navn - unært eller enkelt ("uno" på latin betyder "én").
Det bliver tydeligt, at dette talsystem er ikke-positionelt. Når alt kommer til alt, hvilken slags stillinger kan vi tale om, når den (stillingen) kun er én! Mærkeligt nok er det unære ikke-positionelle talsystem i nogle dele af Jorden stadig i brug.
Ikke-positionelle talsystemer omfatter også:
- romersk (bogstaver bruges til at skrive tal - latinske tegn);
- gamle egyptiske (svarende til romerske, symboler blev også brugt);
- alfabetisk (bogstaver i alfabetet blev brugt);
- Babylonsk (kileskrift - brugt direkte ogomvendt "kile");
- græsk (også kaldet alfabetisk).
romertalsystem
Det gamle romerske imperium, såvel som dets videnskab, var meget progressivt. Romerne gav verden mange nyttige opfindelser af videnskab og kunst, inklusive deres tællesystem. For to hundrede år siden blev romertal brugt til at angive beløb i forretningsdokumenter (således blev forfalskning undgået).
Romersk numeration er et eksempel på et ikke-positionelt talsystem, vi kender det nu. Også det romerske system bruges aktivt, men ikke til matematiske beregninger, men til snævert fokuserede handlinger. For eksempel er det ved hjælp af romerske tal sædvanligt at udpege historiske datoer, århundreder, antal bind, sektioner og kapitler i bogudgivelser. Romerske tegn bruges ofte til at dekorere urskiver. Og også romersk numeration er et eksempel på et ikke-positionelt talsystem.
Romerne betegnede tal med latinske bogstaver. Desuden skrev de tallene ned efter bestemte regler. Der er en liste over nøglesymboler i det romerske talsystem, ved hjælp af hvilke alle tal blev skrevet uden undtagelse.
| Number (decimal) | romertal (bogstav i det latinske alfabet) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Regler for sammensætning af numre
Det nødvendige tal blev opnået ved at tilføje tegn (latinske bogstaver) og beregne deres sum. Lad os overveje, hvordan tegn er symbolsk skrevet i det romerske system, og hvordan de skal "læses". Lad os liste de vigtigste love for taldannelse i det romerske ikke-positionelle talsystem.
- Tallet fire - IV, består af to tegn (I, V - et og fem). Det fås ved at trække det mindre tegn fra det større, hvis det er til venstre. Når det mindre skilt er placeret til højre, skal du tilføje, så får du tallet seks - VI.
- Det er nødvendigt at tilføje to identiske tegn ved siden af hinanden. For eksempel: SS er 200 (C er 100), eller XX er 20.
- Hvis det første tegn i et tal er mindre end det andet, kan det tredje tegn i denne række være et tegn, hvis værdi er endnu mindre end det første. For at undgå forvirring er her et eksempel: CDX - 410 (i decimal).
- Nogle store tal kan repræsenteres på forskellige måder, hvilket er en af ulemperne ved det romerske tællesystem. Her er nogle eksempler: MVM (romersk)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimal) eller MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Og det er ikke alt.
Aritmetiske tricks
Ikke-positionelt talsystem er nogle gange et komplekst sæt regler for dannelsen af tal, deres behandling (handlinger på dem). Aritmetiske operationer i ikke-positionelle talsystemer er ikke lettefor moderne mennesker. Vi misunder ikke de gamle romerske matematikere!
Eksempel på tilføjelse. Lad os prøve at tilføje to tal: XIX + XXVI=XXXV, denne opgave udføres i to trin:
- Først - tag og tilføj de mindre brøker af tal: IX + VI=XV (I efter V og I før X "ødelægger" hinanden).
- Second - tilføj store brøkdele af to tal: X + XX=XXX.
Subtraktion er noget mere kompliceret. Tallet, der skal reduceres, skal opdeles i dets bestanddele, og derefter skal de duplikerede tegn reduceres i antallet, der skal reduceres og trækkes fra. Træk 263 fra 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
romertalsmultiplikation. Forresten er det nødvendigt at nævne, at romerne ikke havde tegn på aritmetiske operationer, de betegnede dem blot med ord.
Multipeltallet skulle ganges med hvert enkelt symbol i multiplikatoren, hvilket resulterede i flere produkter, der skulle tilføjes. Sådan ganges polynomier.
Med hensyn til division var og forbliver denne proces i det romerske talsystem den sværeste. Den gamle romerske kulerram blev brugt her. For at arbejde sammen med ham var folk specielt uddannet (og ikke alle formåede at mestre en sådan videnskab).
Om ulemperne ved ikke-positionelle systemer
Som nævnt ovenfor har ikke-positionelle nummersystemer deres ulemper, ulemper ved brug. Unary er simpel nok til simpel optælling, men til aritmetiske og komplekse beregninger er det ikkegodt nok.
I romersk er der ingen ensartede regler for dannelsen af store tal, og der opstår forvirring, og det er også meget svært at lave beregninger i det. Det største tal, som de gamle romere kunne skrive ned med deres metode, var 100.000.
