At dømme efter populariteten af anmodningen "Fermats teorem - et kort bevis", er dette matematiske problem virkelig interessant for mange. Denne teorem blev første gang fremsat af Pierre de Fermat i 1637 på kanten af en kopi af Arithmetic, hvor han hævdede, at han havde en løsning, der var for stor til at passe på kanten.
Det første vellykkede bevis blev offentliggjort i 1995 - det var det komplette bevis på Fermats sætning af Andrew Wiles. Det er blevet beskrevet som "svimlende fremskridt" og fik Wiles til at modtage Abelprisen i 2016. Selvom det er beskrevet relativt kort, beviste beviset for Fermats teorem også meget af modularitetssætningen og åbnede op for nye tilgange til adskillige andre problemer og effektive metoder til at løfte modularitet. Disse præstationer har avanceret matematik 100 år ud i fremtiden. Beviset for Fermats lille teorem i dag er det ikkeer noget ud over det sædvanlige.
Det uløste problem stimulerede udviklingen af algebraisk t alteori i det 19. århundrede og søgen efter et bevis for modularitetssætningen i det 20. århundrede. Dette er en af de mest bemærkelsesværdige teoremer i matematikkens historie, og indtil det fulde opdelingsbevis for Fermats sidste sætning, var det i Guinness Rekordbog som "det sværeste matematiske problem", hvoraf et af kendetegnene er, at den har det største antal mislykkede beviser.
Historisk baggrund
Pythagoras ligning x2 + y2=z2 har et uendeligt antal positive heltalsløsninger for x, y og z. Disse løsninger er kendt som Pythagoras treenigheder. Omkring 1637 skrev Fermat på kanten af bogen, at den mere generelle ligning a + b =char ingen løsninger i naturlige tal, hvis n er et heltal større end 2. Selvom Fermat selv hævdede at have en løsning på sit problem, efterlod han ingen detaljer om dets bevis. Det elementære bevis på Fermats teorem, som dens skaber hævdede, var snarere hans pralende opfindelse. Den store franske matematikers bog blev opdaget 30 år efter hans død. Denne ligning, kaldet Fermats sidste sætning, forblev uløst i matematik i tre et halvt århundrede.
Sætningen blev til sidst et af de mest bemærkelsesværdige uløste problemer i matematik. Forsøg på at bevise dette forårsagede en betydelig udvikling af t alteorien, og med passagengang blev Fermats sidste sætning kendt som et uløst problem i matematik.
A Brief History of Evidence
Hvis n=4, som bevist af Fermat selv, er det tilstrækkeligt at bevise sætningen for indekser n, der er primtal. I løbet af de næste to århundreder (1637-1839) blev formodningen kun bevist for primtallene 3, 5 og 7, selvom Sophie Germain opdaterede og beviste en tilgang, der gjaldt hele klassen af primtal. I midten af det 19. århundrede udvidede Ernst Kummer dette og beviste teoremet for alle regulære primtal, hvorved uregelmæssige primtal blev analyseret individuelt. Baseret på Kummers arbejde og ved hjælp af sofistikeret computerforskning var andre matematikere i stand til at udvide løsningen af sætningen med det mål at dække alle hovedeksponenterne op til fire millioner, men beviset for alle eksponenter var stadig ikke tilgængeligt (hvilket betyder, at matematikere sædvanligvis anses løsningen af sætningen for umulig, ekstremt vanskelig eller uopnåelig med nuværende viden).
Shimura og Taniyamas arbejde
I 1955 havde de japanske matematikere Goro Shimura og Yutaka Taniyama mistanke om, at der var en sammenhæng mellem elliptiske kurver og modulære former, to meget forskellige grene af matematikken. Kendt på det tidspunkt som Taniyama-Shimura-Weyl-formodningen og (i sidste ende) som modularitetssætningen, eksisterede den alene uden nogen tilsyneladende forbindelse til Fermats sidste teorem. Det i sig selv blev bredt betragtet som et vigtigt matematisk sætning, men det blev anset (ligesom Fermats sætning) umuligt at bevise. På detSamtidig blev beviset for Fermats sidste sætning (ved at dividere og anvende komplekse matematiske formler) kun udført et halvt århundrede senere.
I 1984 bemærkede Gerhard Frey en åbenlys forbindelse mellem disse to tidligere urelaterede og uløste problemer. En fuldstændig bekræftelse af, at de to teoremer var nært beslægtede, blev offentliggjort i 1986 af Ken Ribet, som baseret på et delvist bevis af Jean-Pierre Serra, som beviste alle dele undtagen én, kendt som "epsilon-hypotesen". Kort sagt viste disse værker af Frey, Serra og Ribe, at hvis modularitetssætningen kunne bevises, i det mindste for en semistabil klasse af elliptiske kurver, så ville beviset for Fermats sidste sætning før eller siden også blive opdaget. Enhver løsning, der kan modsige Fermats sidste teorem, kan også bruges til at modsige modularitetssætningen. Derfor, hvis modularitetssætningen viste sig at være sand, så kan der per definition ikke være en løsning, der modsiger Fermats sidste sætning, hvilket betyder, at den snart burde være blevet bevist.
Selvom begge sætninger var svære problemer i matematik, der blev betragtet som uløselige, var de to japaneres arbejde det første forslag til, hvordan Fermats sidste sætning kunne udvides og bevises for alle tal, ikke kun nogle. Vigtigt for de forskere, der valgte studieemnet, var det faktum, at i modsætning til Fermats sidste sætning var modularitetssætningen det vigtigste aktive forskningsområde, for hvilketevidens blev udviklet, og ikke kun historisk mærkværdighed, så den tid, der blev brugt på hendes arbejde, kunne retfærdiggøres fra et professionelt synspunkt. Men den generelle konsensus var, at løsningen af Taniyama-Shimura-formodningen viste sig at være upassende.
Farm's Last Theorem: Wiles' bevis
Efter at have erfaret, at Ribet havde bevist Freys teori korrekt, besluttede den engelske matematiker Andrew Wiles, som har været interesseret i Fermats sidste sætning siden barndommen og har erfaring med at arbejde med elliptiske kurver og tilstødende domæner, at prøve at bevise Taniyama-Shimura. Formodninger som en måde at bevise Fermats sidste sætning. I 1993, seks år efter at have annonceret sit mål, mens han i hemmelighed arbejdede på problemet med at løse sætningen, lykkedes det Wiles at bevise en beslægtet formodning, som igen ville hjælpe ham med at bevise Fermats sidste sætning. Wiles' dokument var enormt i størrelse og omfang.
En fejl blev opdaget i en del af hans originale papir under peer review og krævede endnu et års samarbejde med Richard Taylor for i fællesskab at løse teoremet. Som et resultat lod Wiles' endelige bevis på Fermats sidste sætning ikke vente på sig. I 1995 blev den udgivet i meget mindre målestok end Wiles' tidligere matematiske arbejde, hvilket illustrerer, at han ikke tog fejl i sine tidligere konklusioner om muligheden for at bevise sætningen. Wiles' præstation blev bredt omt alt i den populære presse og populariseret i bøger og tv-programmer. De resterende dele af Taniyama-Shimura-Weil-formodningen, som nu er blevet bevist ogkendt som modularitetssætningen, blev efterfølgende bevist af andre matematikere, der byggede på Wiles' arbejde mellem 1996 og 2001. For sin præstation er Wiles blevet hædret og modtaget adskillige priser, herunder Abelprisen 2016.
Wiles' bevis for Fermats sidste sætning er et særligt tilfælde af løsning af modularitetssætningen for elliptiske kurver. Dette er dog det mest berømte tilfælde af en så storstilet matematisk operation. Sammen med løsningen af Ribes sætning fik den britiske matematiker også et bevis for Fermats sidste sætning. Fermats sidste sætning og modularitetssætning blev næsten universelt betragtet som ubeviselige af moderne matematikere, men Andrew Wiles var i stand til at bevise over for den videnskabelige verden, at selv eksperter kan tage fejl.
Wyles annoncerede først sin opdagelse onsdag den 23. juni 1993 ved et Cambridge-foredrag med titlen "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". I september 1993 blev det imidlertid konstateret, at hans beregninger indeholdt en fejl. Et år senere, den 19. september 1994, i det, han ville kalde "det vigtigste øjeblik i sit arbejdsliv", faldt Wiles over en åbenbaring, der gjorde det muligt for ham at rette løsningen på problemet til det punkt, hvor den kunne tilfredsstille den matematiske fællesskab.
Arbejdsbeskrivelse
Proof of Fermat's Theorem af Andrew Wiles bruger mange metoder fra algebraisk geometri og t alteori og har mange forgreninger i dissematematikkens områder. Han bruger også standardkonstruktionerne for moderne algebraisk geometri, såsom kategorien af skemaer og Iwasawa-teorien, samt andre metoder fra det 20. århundrede, som ikke var tilgængelige for Pierre de Fermat.
De to artikler, der indeholder beviserne, er på 129 sider og er skrevet i løbet af syv år. John Coates beskrev denne opdagelse som en af t alteoriens største bedrifter, og John Conway kaldte den den største matematiske bedrift i det 20. århundrede. Wiles, for at bevise Fermats sidste sætning ved at bevise modularitetssætningen for det specielle tilfælde af semistable elliptiske kurver, udviklede kraftfulde metoder til at løfte modularitet og åbnede op for nye tilgange til adskillige andre problemer. For at løse Fermats sidste teorem blev han slået til ridder og modtog andre priser. Da det blev kendt, at Wiles havde vundet Abelprisen, beskrev Det Norske Videnskabsakademi hans præstation som "et dejligt og elementært bevis på Fermats sidste teorem."
Sådan var det
En af de personer, der gennemgik Wiles' originale manuskript med løsningen på teoremet, var Nick Katz. I løbet af sin anmeldelse stillede han briten en række opklarende spørgsmål, der fik Wiles til at indrømme, at hans arbejde klart indeholder et hul. I en kritisk del af beviset blev der lavet en fejl, der gav et skøn for rækkefølgen af en bestemt gruppe: Euler-systemet, der blev brugt til at udvide Kolyvagin og Flach-metoden, var ufuldstændigt. Fejlen gjorde dog ikke hans arbejde ubrugeligt - hvert stykke af Wiles' værk var meget betydningsfuldt og nyskabende i sig selv, ligesom mangeudviklinger og metoder, som han skabte i løbet af sit arbejde, og som kun påvirkede én del af manuskriptet. Dette originale værk, udgivet i 1993, havde dog ikke rigtig et bevis for Fermats sidste sætning.
Wyles brugte næsten et år på at genfinde en løsning på teoremet, først alene og derefter i samarbejde med sin tidligere elev Richard Taylor, men alt så ud til at være forgæves. Ved udgangen af 1993 havde rygter cirkuleret om, at Wiles' bevis havde fejlet i testen, men hvor alvorlig den fejl var, vidste man ikke. Matematikere begyndte at lægge pres på Wiles for at afsløre detaljerne i hans arbejde, uanset om det blev gjort eller ej, så det bredere samfund af matematikere kunne udforske og bruge, hvad han var i stand til at opnå. I stedet for hurtigt at rette op på sin fejl opdagede Wiles kun yderligere vanskelige aspekter i beviset for Fermats sidste sætning og indså til sidst, hvor svært det var.
Wyles oplyser, at han om morgenen den 19. september 1994 var på nippet til at give op og give op, og var næsten resigneret over at fejle. Han var klar til at udgive sit ufærdige værk, så andre kunne bygge videre på det og finde ud af, hvor han tog fejl. Den engelske matematiker besluttede at give sig selv en sidste chance og analyserede sætningen for sidste gang for at forsøge at forstå hovedårsagerne til, at hans tilgang ikke virkede, da han pludselig indså, at Kolyvagin-Flac-tilgangen ikke ville fungere, før hanvil også inkludere Iwasawas teori i bevisprocessen, så den virker.
Den 6. oktober bad Wiles tre kolleger (inklusive F altins) om at gennemgå hans nye værk, og den 24. oktober 1994 indsendte han to manuskripter - "Modulære elliptiske kurver og Fermats sidste teorem" og "Teoretiske egenskaber for ring of some Hecke algebras", hvoraf Wiles skrev den anden sammen med Taylor og beviste, at visse betingelser var opfyldt for at retfærdiggøre det korrigerede trin i hovedartiklen.
Disse to artikler blev gennemgået og endelig udgivet som en fuldtekstudgave i maj 1995 Annals of Mathematics. Andrews nye beregninger blev bredt analyseret og til sidst accepteret af det videnskabelige samfund. I disse artikler blev modularitetssætningen for semistabile elliptiske kurver etableret - det sidste skridt i retning af at bevise Fermats sidste sætning, 358 år efter det blev oprettet.
Det store problems historie
Løsning af denne sætning er blevet betragtet som det største problem i matematik i mange århundreder. I 1816 og i 1850 tilbød det franske videnskabsakademi en pris for et generelt bevis på Fermats sidste sætning. I 1857 tildelte Akademiet 3.000 francs og en guldmedalje til Kummer for hans forskning i ideelle tal, selvom han ikke søgte prisen. En anden pris blev tilbudt ham i 1883 af Bruxelles Akademi.
Wolfskell Prize
I 1908 testamenterede den tyske industrimand og amatørmatematiker Paul Wolfskel 100.000 guldmark (et stort beløb for den tid)Videnskabsakademiet i Göttingen, så disse penge bliver en præmie for det fuldstændige bevis på Fermats sidste teorem. Den 27. juni 1908 udgav Akademiet ni præmieregler. Disse regler krævede blandt andet, at beviset skulle offentliggøres i et peer-reviewed tidsskrift. Prisen skulle kun uddeles to år efter offentliggørelsen. Konkurrencen skulle udløbe den 13. september 2007 - omkring et århundrede efter den startede. Den 27. juni 1997 modtog Wiles Wolfschels præmiepenge og derefter yderligere $50.000. I marts 2016 modtog han 600.000 € fra den norske regering som en del af Abelprisen for "et fantastisk bevis på Fermats sidste teorem ved hjælp af modularitetsformodningen for semistable elliptiske kurver, hvilket åbner en ny æra i t alteori." Det var den ydmyge englænders verdenstriumf.
Før Wiles' bevis blev Fermats sætning, som tidligere nævnt, betragtet som absolut uløselig i århundreder. Tusindvis af ukorrekte beviser på forskellige tidspunkter blev præsenteret for Wolfskell-udvalget, svarende til cirka 10 fod (3 meter) korrespondance. Kun i det første år af prisens eksistens (1907-1908) blev der indsendt 621 ansøgninger, der hævdede at løse teoremet, selvom deres antal i 1970'erne var faldet til omkring 3-4 ansøgninger om måneden. Ifølge F. Schlichting, Wolfschels anmelder, var det meste af beviserne baseret på elementære metoder, der blev undervist i skoler og blev ofte præsenteret som "mennesker med teknisk baggrund, men mislykkede karrierer". Ifølge matematikhistorikeren Howard Aves, den sidsteFermats sætning har sat en slags rekord - dette er sætningen med det største antal ukorrekte beviser.
Farmens laurbær gik til japanerne
Som tidligere nævnt, omkring 1955, opdagede de japanske matematikere Goro Shimura og Yutaka Taniyama en mulig forbindelse mellem to tilsyneladende helt forskellige grene af matematikken - elliptiske kurver og modulære former. Den resulterende modularitetssætning (dengang kendt som Taniyama-Shimura-formodningen) siger, at hver elliptisk kurve er modulær, hvilket betyder, at den kan associeres med en unik modulær form.
Teorien blev oprindeligt afvist som usandsynlig eller meget spekulativ, men blev taget mere alvorligt, da t alteoretikeren André Weil fandt beviser til støtte for de japanske konklusioner. Som et resultat er hypotesen ofte blevet omt alt som Taniyama-Shimura-Weil-hypotesen. Hun blev en del af Langlands-programmet, som er en liste over vigtige hypoteser, der skal bevises i fremtiden.
Selv efter seriøs undersøgelse er formodningen blevet anerkendt af moderne matematikere som ekstremt vanskelig eller måske utilgængelig for bevis. Nu venter netop denne teorem på dens Andrew Wiles, som kunne overraske hele verden med sin løsning.
Fermats sætning: Perelmans bevis
På trods af den populære myte har den russiske matematiker Grigory Perelman, trods al hans genialitet, intet at gøre med Fermats sætning. Hvilket dog på ingen måde forringer det.talrige bidrag til det videnskabelige samfund.
