Vektor er et vigtigt geometrisk objekt, ved hjælp af dets egenskaber er det praktisk at løse mange problemer i flyet og i rummet. I denne artikel vil vi definere det, overveje dets hovedkarakteristika og også vise, hvordan en vektor i rummet kan bruges til at definere planer.
Hvad er en vektor: todimensional kasus
Først og fremmest er det nødvendigt klart at forstå, hvilket objekt vi taler om. I geometri kaldes et rettet segment en vektor. Som ethvert segment er det kendetegnet ved to hovedelementer: start- og slutpunkter. Koordinaterne for disse punkter bestemmer entydigt alle vektorens karakteristika.
Lad os overveje et eksempel på en vektor på et plan. For at gøre dette tegner vi to indbyrdes vinkelrette akser x og y. Lad os markere et vilkårligt punkt P(x, y). Hvis vi forbinder dette punkt med oprindelsen (punkt O), og derefter angiver retningen til P, så får vi vektoren OP¯ (senere i artiklen indikerer bjælken over symbolet, at vi overvejer en vektor). Vektortegningen på planet er vist nedenfor.
Her er en anden vektor AB¯ også vist, og du kan se, at dens karakteristika er nøjagtig de samme som OP¯, men den er i en anden del af koordinatsystemet. Ved paralleloversættelse OP¯ kan du få et uendeligt antal vektorer med de samme egenskaber.
Vektor i rummet
Alle rigtige objekter, der omgiver os, er i tredimensionelt rum. Studiet af tredimensionelle figurers geometriske egenskaber beskæftiger sig med stereometri, som opererer med begrebet tredimensionelle vektorer. De adskiller sig kun fra todimensionelle ved, at deres beskrivelse kræver en ekstra koordinat, som måles langs den tredje vinkelrette x- og y-akse z.
Figuren nedenfor viser en vektor i rummet. Koordinaterne for dens ende langs hver akse er angivet med farvede segmenter. Begyndelsen af vektoren er placeret ved skæringspunktet for alle tre koordinatakser, det vil sige, at den har koordinater (0; 0; 0).
Da en vektor på et plan er et speci altilfælde af et rumligt rettet segment, vil vi kun overveje en tredimensionel vektor i artiklen.
Vektorkoordinater baseret på kendte koordinater for dets start og slut
Antag, at der er to punkter P(x1; y1; z1) og Q(x2; y2; z2). Sådan bestemmes koordinaterne for vektoren PQ¯. Først er det nødvendigt at blive enige om, hvilket af punkterne der vil være begyndelsen og hvilken slutningen af vektoren. I matematik er det sædvanligt at skrive det pågældende objekt langs dets retning, det vil sige P er begyndelsen, Q- slutningen. For det andet beregnes koordinaterne for vektoren PQ¯ som forskellen mellem de tilsvarende koordinater for slutningen og begyndelsen, det vil sige:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Bemærk, at ved at ændre vektorens retning, vil dens koordinater skifte fortegn, som følger:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Dette betyder PQ¯=-QP¯.
Det er vigtigt at forstå en ting mere. Det blev sagt ovenfor, at der i planet er et uendeligt antal vektorer lig med den givne. Denne kendsgerning gælder også for den rumlige sag. Faktisk, da vi beregnede koordinaterne for PQ¯ i eksemplet ovenfor, udførte vi operationen med parallel translation af denne vektor på en sådan måde, at dens oprindelse faldt sammen med oprindelsen. Vektor PQ¯ kan tegnes som et rettet segment fra origo til punkt M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektoregenskaber
Som ethvert geometriobjekt har en vektor nogle iboende egenskaber, der kan bruges til at løse problemer. Lad os kort liste dem op.
Vektormodul er længden af det rettede segment. Når man kender koordinaterne, er det nemt at beregne det. For vektoren PQ¯ i eksemplet ovenfor er modulet:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektormodul tændtplan beregnes med en lignende formel, kun uden deltagelse af den tredje koordinat.
Summen og forskellen af vektorer udføres i henhold til trekantsreglen. Figuren nedenfor viser, hvordan man tilføjer og trækker disse objekter fra.
For at få sumvektoren skal du tilføje begyndelsen af den anden til slutningen af den første vektor. Den ønskede vektor starter i begyndelsen af den første og slutter i slutningen af den anden vektor.
Forskellen udføres under hensyntagen til, at den subtraherede vektor erstattes af den modsatte, og derefter udføres additionsoperationen beskrevet ovenfor.
Udover addition og subtraktion er det vigtigt at kunne gange en vektor med et tal. Hvis tallet er lig med k, opnås en vektor, hvis modul er k gange forskellig fra den oprindelige, og retningen er enten den samme (k>0) eller modsat den oprindelige (k<0).
Operationen af multiplikation af vektorer indbyrdes er også defineret. Vi vil fremhæve et separat afsnit for det i artiklen.
Skalær og vektormultiplikation
Antag, at der er to vektorer u¯(x1; y1; z1) og v¯(x2; y2; z2). Vektor for vektor kan multipliceres på to forskellige måder:
- Scalar. I dette tilfælde er resultatet et tal.
- Vektor. Resultatet er en ny vektor.
Skalarproduktet af vektorerne u¯ og v¯ beregnes som følger:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Hvor α er vinklen mellem de givne vektorer.
Det kan vises, at ved at kende koordinaterne u¯ og v¯, kan deres prikprodukt beregnes ved hjælp af følgende formel:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalarproduktet er praktisk at bruge, når en vektor dekomponeres i to vinkelret rettede segmenter. Det bruges også til at beregne paralleliteten eller ortogonaliteten af vektorer og til at beregne vinklen mellem dem.
Krydsproduktet af u¯ og v¯ giver en ny vektor, der er vinkelret på de oprindelige og har modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Retning ned eller op af den nye vektor bestemmes af reglen for højre hånd (fire fingre på højre hånd er rettet fra slutningen af den første vektor til slutningen af den anden, og tommelfingeren stikker opad angiver retningen af den nye vektor). Figuren nedenfor viser resultatet af krydsproduktet for vilkårlige a¯ og b¯.
Kværproduktet bruges til at beregne arealer af figurer, samt til at bestemme koordinaterne for en vektor vinkelret på en given plan.
Vektorer og deres egenskaber er praktiske at bruge, når man definerer ligningen for et plan.
Normal og generel ligning for planet
Der er flere måder at definere et fly på. En af dem er udledningen af den generelle ligning for planet, som følger direkte af viden om vektoren vinkelret på den og et kendt punkt, der hører til planet.
Antag, at der er en vektor n¯ (A; B; C) og et punkt P (x0; y0; z 0). Hvilken betingelse vil opfylde alle punkter Q(x; y; z) i planet? Denne betingelse består i vinkelretheden af enhver vektor PQ¯ på den normale n¯. For to vinkelrette vektorer bliver prikproduktet nul (cos(90o)=0), skriv dette:
(n¯PQ¯)=0 eller
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Når vi åbner beslagene, får vi:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 eller
Ax + By + Cz +D=0 hvor D=-Ax0-By0-Cz0.
Denne ligning kaldes generel for flyet. Vi ser, at koefficienterne foran x, y og z er koordinaterne for den vinkelrette vektor n¯. Det kaldes en flyguide.
Vektorparametrisk ligning for planet
Den anden måde at definere et fly på er at bruge to vektorer, der ligger i det.
Antag, at der er vektorer u¯(x1; y1; z1) og v¯(x2; y2; z2). Som det blev sagt, kan hver af dem i rummet repræsenteres af et uendeligt antal identiske rettede segmenter, derfor er der behov for et punkt mere for entydigt at bestemme planet. Lad dette punkt være P(x0;y0; z0). Ethvert punkt Q(x; y; z) vil ligge i det ønskede plan, hvis vektoren PQ¯ kan repræsenteres som en kombination af u¯ og v¯. Det vil sige, vi har:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Hvor α og β er nogle reelle tal. Fra denne lighed følger udtrykket:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Det kaldes en parametrisk vektorligning for planet med hensyn til 2 vektorer u¯ og v¯. Ved at erstatte de vilkårlige parametre α og β, kan man finde alle punkter (x; y; z), der hører til dette plan.
Fra denne ligning er det let at få det generelle udtryk for flyet. For at gøre dette er det nok at finde retningsvektoren n¯, som vil være vinkelret på både vektorerne u¯ og v¯, det vil sige, at deres vektorprodukt skal anvendes.
Problemet med at bestemme den generelle ligning for planet
Lad os vise, hvordan man bruger ovenstående formler til at løse geometriske problemer. Antag at retningsvektoren for planen er n¯(5; -3; 1). Du bør finde flyets ligning, vel vidende at punktet P(2; 0; 0) hører til den.
Den generelle ligning er skrevet som:
Ax + By + Cz +D=0.
Da vektoren vinkelret på planet er kendt, vil ligningen have formen:
5x - 3y + z +D=0.
Det er tilbage at finde det frie led D. Vi beregner det ud fra viden om koordinaterne P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Den ønskede ligning for planet har således formen:
5x - 3y + z -10=0.
Figuren nedenfor viser, hvordan det resulterende fly ser ud.
De angivne koordinater for punkterne svarer til skæringspunkterne mellem planet og x-, y- og z-akserne.
Problemet med at bestemme planet gennem to vektorer og et punkt
Antag nu, at det forrige plan er defineret anderledes. To vektorer u¯(-2; 0; 10) og v¯(-2; -10/3; 0) er kendt, såvel som punktet P(2; 0; 0). Hvordan skriver man planligningen i vektorparametrisk form? Ved at bruge den betragtede tilsvarende formel får vi:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Bemærk, at definitionerne af denne ligning af planet, vektorerne u¯ og v¯ kan tages absolut alle, men med én betingelse: de må ikke være parallelle. Ellers kan planet ikke bestemmes entydigt, men man kan finde en ligning for en stråle eller et sæt af planer.
