Et af geometriens aksiomer siger, at gennem to vilkårlige punkter er det muligt at tegne en enkelt ret linje. Dette aksiom vidner om, at der er et unikt numerisk udtryk, der unikt beskriver det specificerede endimensionelle geometriske objekt. Overvej i artiklen spørgsmålet om, hvordan man skriver ligningen for en ret linje, der går gennem to punkter.
Hvad er et punkt og en linje?
Før man overvejer spørgsmålet om at konstruere i rummet og i planet en ret linje af en ligning, der går gennem et par forskellige punkter, bør man definere de specificerede geometriske objekter.
Et punkt er entydigt bestemt af et sæt koordinater i et givet system af koordinatakser. Ud over dem er der ikke flere karakteristika for punktet. Hun er et nuldimensionelt objekt.
Når man taler om en lige linje, forestiller hver person sig en linje afbildet på et hvidt ark papir. Samtidig er det muligt at give en nøjagtig geometrisk definitiondenne genstand. En ret linje er en sådan samling af punkter, for hvilken forbindelsen af hver af dem med alle de andre vil give et sæt parallelle vektorer.
Denne definition bruges ved indstilling af vektorligningen for en ret linje, som vil blive diskuteret nedenfor.
Da enhver linje kan markeres med et segment af vilkårlig længde, siges det at være et endimensionelt geometrisk objekt.
Nummervektorfunktion
En ligning gennem to punkter på en lige linje, der passerer, kan skrives på forskellige måder. I tredimensionelle og todimensionelle rum er det vigtigste og intuitivt forståelige numeriske udtryk en vektor.
Antag, at der er et eller andet rettet segment u¯(a; b; c). I 3D-rum kan vektoren u¯ starte på et hvilket som helst punkt, så dens koordinater definerer et uendeligt sæt parallelle vektorer. Men hvis vi vælger et bestemt punkt P(x0; y0; z0) og sætter det som begyndelsen af vektoren u¯, så kan man ved at gange denne vektor med et vilkårligt reelt tal λ få alle punkter på én ret linje i rummet. Det vil sige, at vektorligningen vil blive skrevet som:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
For sagen på flyet har den numeriske funktion naturligvis formen:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Fordelen ved denne type ligninger sammenlignet med de andre (i segmenter, kanoniske,generel form) ligger i, at den eksplicit indeholder retningsvektorens koordinater. Sidstnævnte bruges ofte til at bestemme, om linjer er parallelle eller vinkelrette.
Generelt i segmenter og kanonisk funktion for en lige linje i todimensionelt rum
Når du løser problemer, skal du nogle gange skrive ligningen for en ret linje, der går gennem to punkter i en bestemt, specifik form. Derfor bør der gives andre måder at specificere dette geometriske objekt på i todimensionelt rum (for nemheds skyld betragter vi sagen på planet).
Lad os starte med en generel ligning. Den har formen:
Ax + By + C=0
Som regel skrives ligningen for en ret linje på planet på denne form, kun y er eksplicit defineret gennem x.
Omdan nu udtrykket ovenfor som følger:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Dette udtryk kaldes en ligning i segmenter, da nævneren for hver variabel viser, hvor længe linjestykket afskærer på den tilsvarende koordinatakse i forhold til startpunktet (0; 0).
Det er tilbage at give et eksempel på den kanoniske ligning. For at gøre dette skriver vi eksplicit vektorligheden:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Lad os udtrykke parameteren λ herfra og sidestille de resulterende ligheder:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Den sidste lighed kaldes ligningen i kanonisk eller symmetrisk form.
Hver af dem kan konverteres til vektor og omvendt.
Ligningen for en ret linje, der går gennem to punkter: en kompileringsteknik
Tilbage til spørgsmålet om artiklen. Antag, at der er to punkter i rummet:
M(x1; y1; z1) og N(x 2; y2; z2)
Den eneste lige linje går gennem dem, hvis ligning er meget let at komponere i vektorform. For at gøre dette beregner vi koordinaterne for det rettede segment MN¯, vi har:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Det er ikke svært at gætte, at denne vektor vil være guiden for den rette linje, hvis ligning skal opnås. Når du ved, at den også passerer gennem M og N, kan du bruge koordinaterne for enhver af dem til et vektorudtryk. Så har den ønskede ligning formen:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
For tilfældet i todimensionelt rum opnår vi en lignende lighed uden deltagelse af variablen z.
Så snart vektorligheden for linjen er skrevet, kan den oversættes til enhver anden form, som spørgsmålet om problemet kræver.
Opgave:skriv en generel ligning
Det er kendt, at en ret linje går gennem punkterne med koordinaterne (-1; 4) og (3; 2). Det er nødvendigt at sammensætte ligningen for en ret linje, der går gennem dem, i en generel form, der udtrykker y som x.
For at løse problemet skriver vi først ligningen i vektorform. Vektor-(guide)koordinaterne er:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Så er vektorformen for ligningen for den rette linje følgende:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Det er tilbage at skrive det i generel form i formen y(x). Vi omskriver denne lighed eksplicit, udtrykker parameteren λ og ekskluderer den fra ligningen:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Fra den resulterende kanoniske ligning udtrykker vi y og kommer til svaret på spørgsmålet om problemet:
y=-0,5x + 3,5
Gyldigheden af denne lighed kan kontrolleres ved at erstatte koordinaterne for de punkter, der er angivet i problemformuleringen.
Problem: en lige linje, der går gennem midten af segmentet
Lad os nu løse et interessant problem. Antag, at der er givet to punkter M(2; 1) og N(5; 0). Det er kendt, at en lige linje går gennem midtpunktet af det segment, der forbinder punkterne og er vinkelret på det. Skriv ligningen for en ret linje, der går gennem midten af segmentet i vektorform.
Det ønskede numeriske udtryk kan dannes ved at beregne koordinaten for dette center og bestemme retningsvektoren, somsegment laver en vinkel på 90o.
Midtpunktet af segmentet er:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Lad os nu beregne koordinaterne for vektoren MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Da retningsvektoren for den ønskede linje er vinkelret på MN¯, er deres skalarprodukt lig med nul. Dette giver dig mulighed for at beregne de ukendte koordinater (a; b) for styrevektoren:
a3 - b=0=>
b=3a
Skriv nu vektorligningen:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Her har vi erstattet produktet aλ med en ny parameter β.
Sådan har vi lavet ligningen for en lige linje, der går gennem midten af segmentet.
