Hvad er aritmetik? Hvornår begyndte menneskeheden at bruge tal og arbejde med dem? Hvor går rødderne af sådanne hverdagsbegreber som tal, brøker, subtraktion, addition og multiplikation, som en person har gjort til en uadskillelig del af sit liv og sin verdensopfattelse? Oldtidens græske sind beundrede videnskaber som matematik, aritmetik og geometri som de smukkeste symfonier i menneskelig logik.
Måske er aritmetik ikke så dybt som andre videnskaber, men hvad ville der ske med dem, hvis en person glemmer den elementære multiplikationstabel? Den logiske tænkning, der var sædvanlig for os, ved at bruge tal, brøker og andre værktøjer, var ikke let for mennesker og var i lang tid utilgængelig for vores forfædre. Faktisk, før udviklingen af aritmetik var intet område af menneskelig viden virkelig videnskabeligt.
Aritmetik er matematikkens ABC
Aritmetik er videnskaben om tal, som enhver person begynder at stifte bekendtskab med i matematikkens fascinerende verden. Som M. V. Lomonosov sagde, er aritmetik læringsporten, der åbner vejen til verdensviden for os. Men han har retEr viden om verden kan adskilles fra viden om tal og bogstaver, matematik og tale? Måske i gamle dage, men ikke i den moderne verden, hvor den hurtige udvikling af videnskab og teknologi dikterer sine egne love.
Ordet "aritmetik" (græsk "arithmos") af græsk oprindelse betyder "tal". Hun studerer tal og alt, hvad der kan hænge sammen med dem. Dette er tallenes verden: forskellige operationer på tal, numeriske regler, løsning af problemer, der er relateret til multiplikation, subtraktion osv.
Det er almindeligt accepteret, at aritmetik er det indledende trin i matematikken og et solidt grundlag for dets mere komplekse sektioner, såsom algebra, matematisk analyse, højere matematik osv.
Aritmetiske hovedobjekt
Grundlaget for aritmetik er et heltal, hvis egenskaber og mønstre betragtes i højere aritmetik eller t alteori. Faktisk afhænger styrken af hele bygningen - matematik - af, hvor korrekt tilgangen tages ved at betragte en så lille blok som et naturligt tal.
Derfor kan spørgsmålet om, hvad aritmetik er, besvares enkelt: det er videnskaben om tal. Ja, om de sædvanlige syv, ni og alt dette mangfoldige samfund. Og ligesom man ikke kan skrive god eller endda den mest middelmådige poesi uden et elementært alfabet, kan man heller ikke løse et elementært problem uden aritmetik. Det er grunden til, at alle videnskaber først udviklede sig efter udviklingen af aritmetik og matematik, før det kun var et sæt antagelser.
Aritmetik er en fantomvidenskab
Hvad er aritmetik - naturvidenskab eller fantom? Faktisk, som de gamle græske filosoffer hævdede, eksisterer hverken tal eller tal i virkeligheden. Dette er blot et fantom, der skabes i menneskelig tænkning, når man betragter miljøet med dets processer. Faktisk, hvad er et tal? Ingen steder rundt omkring ser vi noget lignende, der kunne kaldes et tal, snarere er et tal en måde for det menneskelige sind at studere verden på. Eller måske er det studiet af os selv indefra? Filosoffer har diskuteret dette i mange århundreder i træk, så vi påtager os ikke at give et udtømmende svar. På den ene eller anden måde har aritmetik formået at indtage sin plads så solidt, at ingen i den moderne verden kan betragtes som soci alt tilpasset uden at kende dets grundlæggende.
Hvordan så det naturlige tal ud
Naturligvis er hovedobjektet, som aritmetik opererer på, et naturligt tal, såsom 1, 2, 3, 4, …, 152… osv. Regnestykket af naturlige tal er resultatet af at tælle almindelige genstande, såsom køer på en eng. Alligevel holdt definitionen af "meget" eller "lidt" engang op med at passe til folk, og de måtte opfinde mere avancerede tælleteknikker.
Men det virkelige gennembrud skete, da menneskelig tankegang nåede det punkt, at det er muligt at udpege 2 kg og 2 klodser og 2 dele med det samme tal "to". Faktum er, at du skal abstrahere fra objekters former, egenskaber og betydning, så kan du udføre nogle handlinger med disse objekter i form af naturlige tal. Således fødtes aritmetikken af tal, somvidereudviklet og udvidet og indtager stadig større positioner i samfundslivet.
Sådanne dybdegående talbegreber som nul og negativt tal, brøker, betegnelser af tal efter tal og på andre måder har en rig og interessant udviklingshistorie.
Aritmetiske og praktiske egyptere
De to ældste menneskelige ledsagere til at udforske verden omkring os og løse hverdagsproblemer er aritmetik og geometri.
Det menes, at aritmetikkens historie stammer fra det antikke østen: i Indien, Egypten, Babylon og Kina. Således Rinda-papyrus af egyptisk oprindelse (såkaldt, fordi den tilhørte ejeren af samme navn), der går tilbage til det 20. århundrede. BC indeholder udover andre værdifulde data udvidelsen af en brøk til summen af brøker med forskellige nævnere og en tæller lig med én.
For eksempel: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Men hvad er meningen med sådan en kompleks nedbrydning? Faktum er, at den egyptiske tilgang ikke tolererede abstrakte tanker om tal, tværtimod blev beregninger kun lavet til praktiske formål. Det vil sige, at egypteren vil beskæftige sig med sådan noget som beregninger, udelukkende for at bygge en grav, for eksempel. Det var nødvendigt at beregne længden af kanten af strukturen, og dette tvang en person til at sætte sig ned bag papyrusen. Som du kan se, var de egyptiske fremskridt i beregninger snarere forårsaget af massekonstruktion end af kærlighed til videnskab.
Af denne grund kan beregningerne fundet på papyrus ikke kaldes refleksioner om emnet brøker. Mest sandsynligt er dette en praktisk forberedelse, der hjalp i fremtiden.løse problemer med brøker. De gamle egyptere, som ikke kendte multiplikationstabellerne, lavede ret lange beregninger, dekomponerede i mange underopgaver. Måske er dette en af de underopgaver. Det er let at se, at beregninger med sådanne emner er meget besværlige og ikke lovende. Måske af denne grund ser vi ikke det gamle Egyptens store bidrag til udviklingen af matematik.
Det antikke Grækenland og filosofisk aritmetik
Mange viden om det antikke østen blev med succes mestret af de gamle grækere, berømte elskere af abstrakte, abstrakte og filosofiske refleksioner. De var ikke mindre interesserede i praksis, men det er svært at finde de bedste teoretikere og tænkere. Dette har gavnet videnskaben, da det er umuligt at fordybe sig i aritmetikken uden at bryde den fra virkeligheden. Selvfølgelig kan du formere 10 køer og 100 liter mælk, men du kommer ikke ret langt.
De dybtænkende grækere satte et betydeligt præg på historien, og deres skrifter er kommet ned til os:
- Euklid og elementerne.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Og selvfølgelig var grækerne, der forvandlede alt til filosofi, og især efterfølgerne af Pythagoras' værk, så fascinerede af tal, at de betragtede dem som mysteriet om verdens harmoni. Tal er blevet undersøgt og undersøgt i en sådan grad, at nogle af dem og deres par er blevet tildelt særlige egenskaber. For eksempel:
- Perfekte tal er dem, der er lig med summen af alle deres divisorer, undtagen selve tallet (6=1+2+3).
- Venlige numre er disse numre, hvoraf eter lig med summen af alle divisorer af anden og omvendt (pythagoræerne kendte kun et sådant par: 220 og 284).
Grækerne, der mente, at videnskaben skulle elskes og ikke være med den for profittens skyld, opnåede stor succes ved at udforske, spille og tilføje tal. Det skal bemærkes, at ikke al deres forskning blev brugt meget, nogle af dem forblev kun "for skønhed".
østlige tænkere fra middelalderen
På samme måde skylder aritmetikken i middelalderen sin udvikling til østlige samtidige. Indianerne gav os de tal, som vi aktivt bruger, såsom et begreb som "nul", og den positionelle version af kalkulationen, kendt for moderne opfattelse. Fra Al-Kashi, som arbejdede i Samarkand i det 15. århundrede, arvede vi decimalbrøker, uden hvilke det er svært at forestille sig moderne regnestykker.
På mange måder blev Europas bekendtskab med Østens præstationer muligt takket være arbejdet fra den italienske videnskabsmand Leonardo Fibonacci, som skrev værket "The Book of the Abacus", der introducerede østlige innovationer. Det blev hjørnestenen i udviklingen af algebra og aritmetik, forskning og videnskabelige aktiviteter i Europa.
russisk aritmetik
Og endelig begyndte aritmetikken, som fandt sin plads og slog rod i Europa, at brede sig til russiske lande. Den første russiske aritmetik blev udgivet i 1703 - det var en bog om aritmetik af Leonty Magnitsky. I lang tid forblev det den eneste lærebog i matematik. Den indeholder de indledende momenter af algebra og geometri. De tal, der blev brugt i eksemplerne i den første aritmetiske lærebog i Rusland, er arabiske. Selvom arabiske tal er set før, på indgraveringer, der går tilbage til det 17. århundrede.
Selve bogen er dekoreret med billeder af Arkimedes og Pythagoras, og på det første ark - billedet af aritmetik i form af en kvinde. Hun sidder på en trone, under hende er der skrevet på hebraisk et ord, der betegner Guds navn, og på trappetrinene, der fører til tronen, er ordene "deling", "multiplikation", "addition" osv. indskrevet. sandheder som nu betragtes som almindelige.
En 600-siders lærebog dækker både det grundlæggende som additions- og multiplikationstabeller og applikationer til navigationsvidenskab.
Det er ikke overraskende, at forfatteren valgte billeder af græske tænkere til sin bog, fordi han selv blev betaget af regnens skønhed, idet han sagde: "Aritmetik er tælleren, der er kunst, ærlig, misundelsesværdig …". Denne tilgang til aritmetik er ganske berettiget, fordi det er dens udbredte introduktion, der kan betragtes som begyndelsen på den hurtige udvikling af videnskabelig tænkning i Rusland og almen uddannelse.
Unprime-primtal
Et primtal er et naturligt tal, der kun har 2 positive divisorer: 1 og sig selv. Alle andre tal, bortset fra 1, kaldes sammensatte. Eksempler på primtal: 2, 3, 5, 7, 11 og alle andre, der ikke har andre divisorer end 1 og sig selv.
Hvad angår tallet 1, er det på en særlig konto - der er enighed om, at det hverken skal betragtes som simpelt eller sammensat. Enkelt ved første øjekast, et simpelt tal skjuler mange uløste mysterier i sig selv.
Euklids sætning siger, at der er et uendeligt antal primtal, og Eratosthenes opfandt en speciel aritmetisk "sigte", der eliminerer ikke-primtal, og efterlader kun simple tal.
Dets essens er at understrege det første tal, der ikke er overstreget, og efterfølgende at strege dem ud, der er multipla af det. Vi gentager denne procedure mange gange - og vi får en tabel med primtal.
The Fundamental Theorem of Arithmetic
Blandt observationerne om primtal bør aritmetikkens grundsætning nævnes på en særlig måde.
Aritmetikkens grundsætning siger, at ethvert heltal større end 1 enten er primtal, eller det kan dekomponeres til et produkt af primtal op til rækkefølgen af faktorerne, og det på en unik måde.
Aritmetikkens hovedsætning har vist sig at være ret besværlig, og forståelsen af den ligner ikke længere den enkleste grundsætning.
Ved første øjekast er primtal et elementært begreb, men det er de ikke. Fysik anså også engang atomet for at være elementært, indtil det fandt hele universet inde i det. En vidunderlig historie af matematikeren Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" er dedikeret til primtal.
Fra "tre æbler" til deduktive love
Det, der virkelig kan kaldes det forstærkede grundlag for al videnskab, er aritmetikkens love. Selv i barndommen står alle over for aritmetik, studerer antallet af ben og arme på dukker,antallet af terninger, æbler osv. Sådan studerer vi regning, som så går ind i mere komplekse regler.
Hele vort liv gør os bekendt med regnereglerne, som for den almindelige mand er blevet den mest nyttige af alt, hvad videnskaben giver. Studiet af tal er "arithmetic-baby", som introducerer en person til tallenes verden i form af tal i den tidlige barndom.
Højere aritmetik er en deduktiv videnskab, der studerer aritmetikkens love. Vi kender de fleste af dem, selvom vi måske ikke kender deres nøjagtige ordlyd.
Loven om addition og multiplikation
To alle naturlige tal a og b kan udtrykkes som en sum a+b, som også vil være et naturligt tal. Følgende love gælder for tilføjelse:
- Kommutativ, som siger, at summen ikke ændres fra omarrangeringen af led, eller a+b=b+a.
- Associative, som siger, at summen ikke afhænger af den måde, termerne er grupperet på plads, eller a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Regnereglerne, såsom addition, er blandt de mest elementære, men de bruges af alle videnskaber, for ikke at nævne hverdagen.
To alle naturlige tal a og b kan udtrykkes som et produkt ab eller ab, som også er et naturligt tal. De samme kommutative og associative love gælder for produktet som for tilføjelse:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Jeg spekulerer påat der er en lov, der forener addition og multiplikation, også kaldet en distributiv eller distributiv lov:
a(b+c)=ab+ac
Denne lov lærer os faktisk at arbejde med parenteser ved at udvide dem, så vi kan arbejde med mere komplekse formler. Det er de love, der vil guide os gennem algebraens bizarre og komplekse verden.
Loven om aritmetisk rækkefølge
Ordensloven bruges af menneskelig logik hver dag, hvor man sammenligner ure og tæller pengesedler. Og ikke desto mindre skal det formaliseres i form af specifikke formuleringer.
Hvis vi har to naturlige tal a og b, er følgende muligheder mulige:
- a er lig med b, eller a=b;
- a er mindre end b, eller a < b;
- a er større end b, eller a > b.
Ud af tre muligheder kan kun én være retfærdig. Grundloven, der styrer rækkefølgen, siger: hvis a < b og b < c, så a< c.
Der er også love, der vedrører rækkefølge til multiplikation og addition: hvis a< er b, så er a + c < b+c og ac< bc.
Aritmetikkens love lærer os at arbejde med tal, tegn og parenteser og forvandler alt til en harmonisk symfoni af tal.
Positionel og ikke-positionel beregning
Man kan sige, at tal er et matematisk sprog, som meget afhænger af bekvemmeligheden. Der er mange talsystemer, der ligesom alfabeterne i forskellige sprog adskiller sig fra hinanden.
Lad os betragte talsystemerne ud fra synspunktet om positionens indflydelse på den kvantitative værdital i denne position. Så for eksempel er det romerske system ikke-positionelt, hvor hvert tal er kodet af et bestemt sæt speci altegn: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. De er henholdsvis lig med tallene 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. I et sådant system ændrer tallet ikke sin kvantitative definition afhængigt af hvilken position det er i: første, andet osv. For at få andre tal skal du tilføje grundtallene. For eksempel:
- DCC=700.
- CCM=800.
Talsystemet, der er mere kendt for os ved at bruge arabiske tal, er positionelt. I et sådant system bestemmer et tals ciffer antallet af cifre, for eksempel trecifrede tal: 333, 567 osv. Vægten af ethvert ciffer afhænger af den position, hvori dette eller hint ciffer er placeret, for eksempel har tallet 8 i den anden position en værdi på 80. Dette er typisk for decimalsystemet, der er andre positionssystemer, f.eks., binær.
Binær aritmetik
Vi er bekendt med decimalsystemet, der består af enkeltcifrede tal og flercifrede. Tallet til venstre for et flercifret tal er ti gange mere signifikant end det til højre. Så vi er vant til at læse 2, 17, 467 osv. Afsnittet kaldet "binær aritmetik" har en helt anden logik og tilgang. Dette er ikke overraskende, for binær aritmetik blev ikke skabt til menneskelig logik, men til computerlogik. Hvis aritmetikken af tal stammer fra optællingen af objekter, som blev yderligere abstraheret fra objektets egenskaber til "bare" aritmetik, så vil dette ikke fungere med en computer. At kunne delemed sin viden om en computer, var en person nødt til at opfinde en sådan model for beregning.
Binær aritmetik arbejder med det binære alfabet, som kun består af 0 og 1. Og brugen af dette alfabet kaldes det binære system.
Forskellen mellem binær aritmetik og decimalregning er, at betydningen af positionen til venstre ikke længere er 10, men 2 gange. Binære tal har formen 111, 1001 osv. Hvordan forstår man sådanne tal? Så overvej tallet 1100:
- Det første ciffer til venstre er 18=8, og husk at det fjerde ciffer, hvilket betyder at det skal ganges med 2, får vi position 8.
- Andet ciffer 14=4 (position 4).
- Tredje ciffer 02=0 (position 2).
- Fjerde ciffer 01=0 (position 1).
- Så vores nummer er 1100=8+4+0+0=12.
Det vil sige, når man flytter til et nyt ciffer til venstre, ganges dets betydning i det binære system med 2 og i decimal - med 10. Et sådant system har et minus: det er en for stor stigning i cifre, der er nødvendige for at skrive tal. Eksempler på at repræsentere decim altal som binære tal kan findes i følgende tabel.
Decim altal i binær form er vist nedenfor.
Både oktale og hexadecimale systemer bruges også.
Denne mystiske aritmetik
Hvad er aritmetik, "to gange to" eller uudforskede mysterier med tal? Som du kan se, kan aritmetik virke simpelt ved første øjekast, men dens uindlysende lethed er vildledende. Det kan også studeres af børn sammen med tante ugle frategnefilm "Aritmetik-baby", og du kan fordybe dig i dybt videnskabelig forskning af nærmest filosofisk orden. I historien er hun gået fra at tælle genstande til at tilbede skønheden ved tal. Kun én ting vides med sikkerhed: Med etableringen af aritmetikkens grundlæggende postulater kan al videnskab stole på sin stærke skulder.
