For at gøre det lettere for læseren at forestille sig, hvad en hyperboloid er - et tredimensionelt objekt - skal du først overveje den buede hyperbel af samme navn, som passer ind i et todimensionelt rum.
En hyperbel har to akser: den rigtige, som i denne figur falder sammen med abscisse-aksen, og den imaginære med y-aksen. Hvis du ment alt begynder at dreje ligningen for en hyperbel om dens imaginære akse, så vil overfladen "set" af kurven være en enkeltarks hyperboloid.
Hvis vi derimod begynder at rotere hyperbelen omkring dens reelle akse på denne måde, så vil hver af de to "halvdele" af kurven danne sin egen separate overflade, og tilsammen vil den blive kaldt en to- arkformet hyperboloid.
Opnået ved at rotere den tilsvarende plankurve, kaldes de henholdsvis rotationshyperboloider. De har parametre i alle retninger vinkelret på rotationsaksen,tilhørende den drejede kurve. Generelt er dette ikke tilfældet.
Hyperboloidligning
Generelt kan en overflade defineres ved følgende ligninger i kartesiske koordinater(x, y, z):
I tilfælde af en omdrejningshyperboloid er dens symmetri omkring aksen, som den roterede omkring, udtrykt i ligheden af koefficienterne a=b.
Hyperboloid karakteristika
Han har et trick. Vi ved, at kurver på et plan har fokus - i tilfælde af en hyperbel, for eksempel, modulet af forskellen i afstande fra et vilkårligt punkt på en hyperbel til et fokus, og det andet er konstant per definition, faktisk af fokus point.
Når man flytter til tredimensionelt rum, ændres definitionen praktisk t alt ikke: foci er igen to punkter, og forskellen i afstande fra dem til et vilkårligt punkt, der tilhører hyperboloidoverfladen, er konstant. Som du kan se, dukkede kun den tredje koordinat op fra ændringerne for alle mulige punkter, for nu er de sat i rummet. Generelt set svarer det at definere et fokus til at identificere typen af kurve eller overflade: Ved at tale om, hvordan overfladens punkter er placeret i forhold til brændpunkterne, svarer vi faktisk på spørgsmålet om, hvad en hyperboloid er, og hvordan den ser ud.
Det er værd at huske på, at en hyperbel har asymptoter - lige linjer, hvortil dens forgreninger har en tendens til uendelig. Hvis man, når man konstruerer en revolutionshyperboloid, ment alt roterer asymptoterne sammen med hyperbelen, så vil man udover hyperboloiden også få en kegle kaldet asymptotisk. Den asymptotiske kegle erfor hyperboloider med ét og to ark.
En anden vigtig egenskab, som kun en enkelt-arks hyperboloid har, er retlinede generatorer. Som navnet antyder, er disse linjer, og de ligger helt på en given overflade. To retlinede generatorer passerer gennem hvert punkt i en hyperboloid med ét ark. De tilhører henholdsvis to linjefamilier, som er beskrevet ved følgende ligningssystemer:
Således kan en et-arks hyperboloid være fuldstændig sammensat af et uendeligt antal rette linjer af to familier, og hver linje i den ene af dem vil skære alle linjerne i den anden. Overflader svarende til sådanne egenskaber kaldes regerede; de kan konstrueres ved at rotere en ret linje. Definition gennem det indbyrdes arrangement af linjer (retlineære generatorer) i rummet kan også tjene som en utvetydig betegnelse for, hvad en hyperboloid er.
Interessante egenskaber ved en hyperboloid
Andenordenskurver og deres tilsvarende omdrejningsflader har hver især interessante optiske egenskaber forbundet med foci. I tilfælde af en hyperboloid er dette formuleret som følger: Hvis en stråle affyres fra ét fokus, vil den, efter at have reflekteret fra den nærmeste "væg", tage en sådan retning, som om den kom fra det andet fokus.
Hyperboloider i livet
Sandsynligvis begyndte de fleste læsere deres bekendtskab med analytisk geometri og andenordens overflader fra en science fiction-roman af Alexei Tolstoy"Hyperboloid ingeniør Garin". Forfatteren selv vidste dog enten ikke godt, hvad en hyperboloid var, eller ofrede nøjagtighed for kunstens skyld: den beskrevne opfindelse, hvad angår fysiske egenskaber, er snarere en paraboloid, der samler alle strålerne i ét fokus (mens optiske egenskaber af hyperboloid er forbundet med spredning af stråler).
De såkaldte hyperboloide strukturer er meget populære i arkitekturen: disse er strukturer, der har form som en enkeltarks hyperboloid eller en hyperbolsk paraboloid. Faktum er, at kun disse omdrejningsflader af anden orden har retlinede generatorer: således kan en buet struktur kun bygges af lige bjælker. Fordelene ved sådanne strukturer er evnen til at modstå tunge belastninger, for eksempel fra vinden: den hyperboloide form bruges til konstruktion af høje strukturer, for eksempel tv-tårne.
