Hvad er irrationelle tal? Hvorfor hedder de det? Hvor bruges de og hvad er de? Få kan besvare disse spørgsmål uden tøven. Men faktisk er svarene på dem ret enkle, selvom ikke alle har brug for dem og i meget sjældne situationer
essens og betegnelse
Irrationelle tal er uendelige ikke-periodiske decimalbrøker. Behovet for at introducere dette koncept skyldes det faktum, at de tidligere eksisterende begreber reelle eller reelle, heltal, naturlige og rationelle tal ikke længere var nok til at løse nye nye problemer. For at beregne, hvad kvadratet af 2 er, skal du f.eks. bruge ikke-tilbagevendende uendelige decimaler. Derudover har mange af de simpleste ligninger heller ingen løsning uden at introducere begrebet et irrationelt tal.
Dette sæt er betegnet som I. Og, som det allerede er klart, kan disse værdier ikke repræsenteres som en simpel brøk, i hvis tæller der vil være et heltal, og i nævneren - et naturligt tal.
For første gang nogensindeellers stødte indiske matematikere på dette fænomen i det 7. århundrede f. Kr., da det blev opdaget, at kvadratrødderne af nogle mængder ikke kunne angives eksplicit. Og det første bevis på eksistensen af sådanne tal tilskrives Pythagoras Hippasus, som gjorde dette i færd med at studere en ligebenet retvinklet trekant. Et seriøst bidrag til undersøgelsen af dette sæt blev lavet af nogle andre videnskabsmænd, der levede før vores æra. Indførelsen af begrebet irrationelle tal indebar en revision af det eksisterende matematiske system, hvorfor de er så vigtige.
Oprindelse af navnet
Hvis forhold på latin betyder "brøk", "forhold", så giver præfikset "ir"
dette ord den modsatte betydning. Således indikerer navnet på sættet af disse tal, at de ikke kan korreleres med et heltal eller brøk, de har et separat sted. Dette følger af deres essens.
Placering i den samlede klassifikation
Irrationelle tal hører sammen med rationelle tal til gruppen af reelle eller reelle tal, som igen hører til komplekse tal. Der er ingen undermængder, men der er algebraiske og transcendentale varianter, som vil blive diskuteret nedenfor.
Properties
Da irrationelle tal er en del af mængden af reelle tal, gælder alle deres egenskaber, der studeres i aritmetik (de kaldes også grundlæggende algebraiske love).
a + b=b + a (kommutativitet);
(a + b) + c=a + (b + c)(associativitet);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (eksistensen af det modsatte tal);
ab=ba (forskydningslov);
(ab)c=a(bc) (distributivitet);
a(b+c)=ab + ac (distributiv lov);
a x 1=a
a x 1/a=1 (eksistensen af et omvendt tal);
Sammenligning udføres også i overensstemmelse med generelle love og principper:
Hvis a > b og b > c, så a > c (transitivitet af forholdet) og. osv.
Selvfølgelig kan alle irrationelle tal konverteres ved hjælp af grundlæggende aritmetik. Der er ingen særlige regler for dette.
Desuden gælder Arkimedes' aksiom for irrationelle tal. Den siger, at for alle to størrelser a og b er udsagnet sandt, at ved at tage a som et udtryk nok gange, kan du overgå b.
Brug
På trods af det faktum, at du i det almindelige liv ikke så ofte behøver at håndtere dem, kan irrationelle tal ikke tælles. Der er mange af dem, men de er næsten usynlige. Vi er omgivet af irrationelle tal over alt. Eksempler, som alle kender, er tallet pi, lig med 3, 1415926 …, eller e, som i det væsentlige er basis for den naturlige logaritme, 2, 718281828 … I algebra, trigonometri og geometri skal de bruges konstant. Forresten er den berømte værdi af det "gyldne snit", det vil sige forholdet mellem både den største del og den mindre, og omvendt, også
tilhører dette sæt. Mindre kendt "sølv" - også.
De er placeret meget tæt på tallinjen, så mellem to vilkårlige værdier, der er relateret til sættet af rationelle værdier, vil der helt sikkert forekomme en irrationel.
Der er stadig en masse uløste problemer relateret til dette sæt. Der er sådanne kriterier som mål for irrationalitet og normaliteten af et tal. Matematikere fortsætter med at undersøge de mest betydningsfulde eksempler på deres tilhørsforhold til en eller anden gruppe. For eksempel menes det, at e er et norm alt tal, det vil sige, at sandsynligheden for, at forskellige cifre optræder i dens post, er den samme. Hvad angår pi, er der stadig forskning i gang vedrørende det. Et mål for irrationalitet kaldes også en værdi, der viser, hvor godt dette eller hint tal kan tilnærmes med rationelle tal.
Algebraisk og transcendental
Som allerede nævnt er irrationelle tal betinget opdelt i algebraiske og transcendentale. Betinget, da denne klassifikation strengt taget bruges til at opdele mængden C.
Denne betegnelse skjuler komplekse tal, som inkluderer reelle eller reelle tal.
Så, en algebraisk værdi er en værdi, der er en rod af et polynomium, der ikke er identisk lig med nul. For eksempel ville kvadratroden af 2 være i denne kategori, fordi det er løsningen på ligningen x2 - 2=0.
Alle andre reelle tal, der ikke opfylder denne betingelse, kaldes transcendentale. Til denne sortmedtag de mest berømte og allerede nævnte eksempler - tallet pi og bunden af den naturlige logaritme e.
Interessant nok blev hverken det ene eller det andet oprindeligt udledt af matematikere i denne egenskab, deres irrationalitet og transcendens blev bevist mange år efter deres opdagelse. For pi blev beviset givet i 1882 og forenklet i 1894, hvilket satte en stopper for den 2.500-årige strid om problemet med at kvadrere cirklen. Det er stadig ikke helt forstået, så moderne matematikere har noget at arbejde på. Forresten blev den første tilstrækkelig nøjagtige beregning af denne værdi udført af Archimedes. Før ham var alle beregninger for omtrentlige.
For e (Euler- eller Napier-tallene) blev beviset for dets transcendens fundet i 1873. Det bruges til at løse logaritmiske ligninger.
Andre eksempler omfatter sinus-, cosinus- og tangensværdier for alle algebraiske værdier, der ikke er nul.
