Elever af højere matematik bør være opmærksomme på, at summen af nogle potensrækker, der tilhører konvergensintervallet for den givne række, viser sig at være en kontinuerlig og ubegrænset antal gange differentieret funktion. Spørgsmålet opstår: er det muligt at hævde, at en given vilkårlig funktion f(x) er summen af nogle potensrækker? Det vil sige, under hvilke betingelser kan funktionen f(x) repræsenteres af en potensrække? Betydningen af dette spørgsmål ligger i, at det er muligt tilnærmelsesvis at erstatte funktionen f(x) med summen af de første par led i potensrækken, det vil sige med et polynomium. En sådan udskiftning af en funktion med et ret simpelt udtryk - et polynomium - er også praktisk, når man løser nogle problemer inden for matematisk analyse, nemlig: når man løser integraler, når man beregner differentialligninger osv.
Det er blevet bevist, at for nogle funktioner f(х), hvor afledte op til (n+1). orden, inklusive den sidste, kan beregnes i nabolaget (α - R; x0 + R) af et eller andet punkt x=α formlen er gyldig:
Denne formel er opkaldt efter den berømte videnskabsmand Brook Taylor. Serien, der er hentet fra den forrige, kaldes Maclaurin-serien:
Reglen, der gør det muligt at udvide i en Maclaurin-serie:
- Bestem derivater af den første, anden, tredje… ordre.
- Beregn, hvad de afledte ved x=0 er lig.
- Optag Maclaurin-serien for denne funktion, og bestem derefter intervallet for dens konvergens.
- Bestem intervallet (-R;R), hvor resten af Maclaurin-formlen
R (x) -> 0 for n -> uendelig. Hvis der findes en, skal funktionen f(x) i den falde sammen med summen af Maclaurin-rækken.
Overvej nu Maclaurin-serien for individuelle funktioner.
1. Så den første vil være f(x)=ex. I henhold til dens funktioner har en sådan funktion naturligvis afledte af forskellige rækkefølger, og f(k)(x)=ex, hvor k er lig med alle naturlige tal. Lad os erstatte x=0. Vi får f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… ville se sådan ud:
2. Maclaurin-serien for funktionen f(x)=sin x. Afklar straks, at funktionen for alle ukendte vil have afledte, udover f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), hvor k er lig med ethvert naturligt tal. Det vil sige, efter at have lavet simple beregninger, kan vi komme til den konklusion, at rækken for f(x)=sin x vil se sådan ud:
3. Lad os nu prøve at overveje funktionen f(x)=cos x. Hun er for alt det ukendtehar afledte af vilkårlig rækkefølge, og |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Igen, efter at have lavet nogle beregninger, får vi, at serien for f(x)=cos x vil se sådan ud:
Så vi har listet de vigtigste funktioner, der kan udvides i Maclaurin-serien, men de er suppleret med Taylor-serien for nogle funktioner. Nu vil vi liste dem. Det er også værd at bemærke, at Taylor- og Maclaurin-serier er en vigtig del af praksis med at løse serier i højere matematik. Altså Taylor-serien.
1. Den første vil være en serie for f-ii f(x)=ln(1+x). Som i de foregående eksempler, givet os f (x)=ln (1 + x), kan vi tilføje en serie ved at bruge den generelle form af Maclaurin-serien. Men til denne funktion kan Maclaurin-serien fås meget mere enkelt. Efter at have integreret en bestemt geometrisk række, får vi en række for f(x)=ln(1+x) af denne prøve:
2. Og den anden, som vil være endelig i vores artikel, vil være en serie for f (x) u003d arctg x. For x, der hører til intervallet [-1;1], er udvidelsen gyldig:
Det var det. Denne artikel undersøgte de mest almindeligt anvendte Taylor- og Maclaurin-serier i højere matematik, især på økonomiske og tekniske universiteter.
