Et vigtigt begreb i matematik er en funktion. Med dens hjælp kan du visualisere mange processer, der forekommer i naturen, afspejle forholdet mellem bestemte mængder ved hjælp af formler, tabeller og billeder på en graf. Et eksempel er afhængigheden af trykket af et væskelag på et legeme på dybden af nedsænkning, acceleration - på virkningen af en vis kraft på et objekt, temperaturstigning - på den transmitterede energi og mange andre processer. Studiet af en funktion involverer konstruktion af en graf, afklaring af dens egenskaber, omfang og værdier, intervaller for stigning og fald. Et vigtigt punkt i denne proces er at finde ekstremumpunkterne. Om, hvordan man gør det rigtigt, og samtalen fortsætter.
Om selve konceptet i et specifikt eksempel
Inden for medicin kan plot af en funktionsgraf fortælle om udviklingen af en sygdom i en patients krop, visuelt afspejle hans tilstand. Lad os antage, at tiden i dage er plottet langs OX-aksen, og temperaturen af den menneskelige krop er plottet langs OY-aksen. Figuren viser tydeligt, hvordan denne indikator stiger kraftigt, også falder den. Det er også let at lægge mærke til enkeltstående punkter, der afspejler de øjeblikke, hvor funktionen, der tidligere er blevet øget, begynder at falde, og omvendt. Det er de ekstreme punkter, det vil sige de kritiske værdier (maksimum og minimum) i dette tilfælde af patientens temperatur, hvorefter der sker ændringer i hans tilstand.
hældningsvinkel
Det er let at bestemme ud fra figuren, hvordan den afledede af en funktion ændres. Hvis de lige linjer i grafen går op over tid, så er det positivt. Og jo stejlere de er, jo større er værdien af den afledte, når hældningsvinklen øges. I perioder med fald antager denne værdi negative værdier, og vender til nul ved ekstreme punkter, og grafen for den afledte i sidstnævnte tilfælde tegnes parallelt med OX-aksen.
Enhver anden proces bør behandles på samme måde. Men det bedste ved dette koncept kan fortælle bevægelsen af forskellige kroppe, tydeligt vist på graferne.
Bevægelse
Antag, at nogle objekter bevæger sig i en lige linje og får jævn hastighed. I denne periode repræsenterer ændringen i kroppens koordinater grafisk en bestemt kurve, som en matematiker ville kalde en gren af en parabel. Samtidig øges funktionen konstant, da koordinatindikatorerne skifter hurtigere og hurtigere for hvert sekund. Hastighedsgrafen viser adfærden af den afledte, hvis værdi også stiger. Det betyder, at bevægelsen ikke har nogen kritiske punkter.
Det ville have fortsat på ubestemt tid. Men hvis kroppen pludselig beslutter sig for at sætte farten ned, så stop og begynd at bevæge dig i en andenretning? I dette tilfælde vil koordinatindikatorerne begynde at falde. Og funktionen vil videregive den kritiske værdi og skifte fra stigende til faldende.
I dette eksempel kan du igen forstå, at yderpunkterne på funktionsgrafen vises i de øjeblikke, hvor den holder op med at være ensformig.
Den afledtes fysiske betydning
Beskrevet tidligere viste tydeligt, at den afledede i det væsentlige er funktionens ændringshastighed. Denne forfining indeholder dens fysiske betydning. Ekstreme punkter er kritiske områder på diagrammet. Det er muligt at finde ud og detektere dem ved at beregne værdien af den afledte, som viser sig at være lig nul.
Der er et andet tegn, som er en tilstrækkelig betingelse for et ekstremum. Den afledte i sådanne bøjningssteder ændrer sit fortegn: fra "+" til "-" i området for maksimum og fra "-" til "+" i området for minimum.
Bevægelse under påvirkning af tyngdekraften
Lad os forestille os en anden situation. Børnene, der spillede bold, kastede den på en sådan måde, at den begyndte at bevæge sig i en vinkel mod horisonten. I det indledende øjeblik var dette objekts hastighed den største, men under påvirkning af tyngdekraften begyndte den at falde, og for hvert sekund med samme værdi, svarende til cirka 9,8 m/s2. Dette er værdien af den acceleration, der sker under indflydelse af jordens tyngdekraft under frit fald. På Månen ville den være omkring seks gange mindre.
Graffen, der beskriver kroppens bevægelser, er en parabel med grene,nedad. Hvordan finder man ekstremumpunkter? I dette tilfælde er dette toppunktet for funktionen, hvor kroppens (boldens) hastighed får en nulværdi. Den afledede af funktionen bliver nul. I dette tilfælde ændres retningen, og dermed værdien af hastigheden, til det modsatte. Kroppen flyver ned for hvert sekund hurtigere og hurtigere og accelererer med samme mængde - 9,8 m/s2.
Anden afledt
I det foregående tilfælde er grafen for hastighedsmodulet tegnet som en ret linje. Denne linje er først rettet nedad, da værdien af denne mængde konstant falder. Efter at have nået nul på et af tidspunkterne, begynder indikatorerne for denne værdi at stige, og retningen af den grafiske repræsentation af hastighedsmodulet ændrer sig dramatisk. Linjen peger nu opad.
Hastighed, der er den tidsafledede af koordinaten, har også et kritisk punkt. I denne region begynder funktionen, i begyndelsen aftagende, at stige. Dette er stedet for ekstremumpunktet for funktionens afledte. I dette tilfælde bliver tangentens hældning nul. Og acceleration, som er den anden afledede af koordinaten med hensyn til tid, skifter fortegn fra "-" til "+". Og bevægelsen fra ensartet langsom bliver ensartet accelereret.
Accelerationsdiagram
Overvej nu fire billeder. Hver af dem viser en graf over ændringen over tid af en sådan fysisk størrelse som acceleration. I tilfælde af "A" forbliver dens værdi positiv og konstant. Det betyder, at kroppens hastighed, ligesom dens koordinat, konstant stiger. Hvis enforestille sig, at objektet vil bevæge sig på denne måde i uendelig lang tid, vil funktionen, der afspejler koordinatens afhængighed af tid, vise sig at være konstant stigende. Det følger af dette, at det ikke har nogen kritiske regioner. Der er heller ingen ekstremumpunkter på grafen for den afledte, dvs. lineært skiftende hastighed.
Det samme gælder for tilfælde "B" med en positiv og konstant stigende acceleration. Sandt nok vil plottene for koordinater og hastighed være noget mere komplicerede her.
Når acceleration har en tendens til nul
Når du ser billedet "B", kan du se et helt andet billede, der kendetegner kroppens bevægelse. Dens hastighed vil blive vist grafisk som en parabel med grene pegende nedad. Hvis vi fortsætter linjen, der beskriver ændringen i acceleration, indtil den skærer OX-aksen, og videre, så kan vi forestille os, at op til denne kritiske værdi, hvor accelerationen viser sig at være lig nul, vil objektets hastighed stige mere og langsommere. Yderpunktspunktet for den afledte af koordinatfunktionen vil være lige i toppen af parablen, hvorefter kroppen radik alt vil ændre karakteren af bevægelsen og begynde at bevæge sig i den anden retning.
I sidstnævnte tilfælde, "G", kan arten af bevægelsen ikke bestemmes præcist. Her ved vi kun, at der ikke er nogen acceleration i en periode under overvejelse. Det betyder, at objektet kan forblive på plads, eller bevægelsen sker med konstant hastighed.
Coordinate addition task
Lad os gå videre til opgaver, der ofte findes i studiet af algebra i skolen og tilbydes tilforberedelse til eksamen. Figuren nedenfor viser grafen for funktionen. Det er nødvendigt at beregne summen af ekstremumpunkter.
Lad os gøre dette for y-aksen ved at bestemme koordinaterne for kritiske områder, hvor der observeres en ændring i funktionens karakteristika. Kort sagt finder vi værdierne langs x-aksen for bøjningspunkterne, og fortsætter derefter med at tilføje de resulterende led. Ifølge grafen er det tydeligt, at de tager følgende værdier: -8; -7; -5; -3; -2; en; 3. Dette lægger op til -21, hvilket er svaret.
Optimal løsning
Det er ikke nødvendigt at forklare, hvor vigtigt valget af den optimale løsning kan være i udførelsen af praktiske opgaver. Der er trods alt mange måder at nå målet på, og den bedste vej ud er som regel kun én. Dette er ekstremt nødvendigt, for eksempel når man designer skibe, rumfartøjer og fly, arkitektoniske strukturer for at finde den optimale form af disse menneskeskabte objekter.
Køretøjers hastighed afhænger i høj grad af den kompetente minimering af den modstand, de oplever, når de bevæger sig gennem vand og luft, fra overbelastninger, der opstår under påvirkning af gravitationskræfter og mange andre indikatorer. Et skib til søs har brug for kvaliteter som stabilitet under en storm; for et flodskib er et minimum dybgang vigtigt. Ved beregning af det optimale design kan ekstremumpunkterne på grafen visuelt give en ide om den bedste løsning på et komplekst problem. Opgaver af denne art er ofteløses i økonomien, i økonomiske områder, i mange andre livssituationer.
Fra oldtidens historie
Ekstreme problemer optog selv de gamle vismænd. Græske videnskabsmænd afslørede med succes mysteriet om områder og volumener gennem matematiske beregninger. De var de første til at forstå, at på et plan af forskellige figurer med samme omkreds, har cirklen altid det største areal. På samme måde er en bold udstyret med det maksimale volumen blandt andre objekter i rummet med samme overfladeareal. Sådanne berømte personligheder som Arkimedes, Euklid, Aristoteles, Apollonius viede sig til at løse sådanne problemer. Heron lykkedes meget godt med at finde ekstreme punkter, som efter at have tyet til beregninger byggede geniale enheder. Disse omfattede automatiske maskiner, der bevæger sig ved hjælp af damp, pumper og turbiner, der arbejder efter samme princip.
Bygning af Kartago
Der er en legende, hvis plot er baseret på at løse et af de ekstreme problemer. Resultatet af den forretningstilgang, som blev demonstreret af den fønikiske prinsesse, som henvendte sig til vismændene for at få hjælp, var opførelsen af Kartago. Landet for denne gamle og berømte by blev præsenteret for Dido (det var navnet på herskeren) af lederen af en af de afrikanske stammer. Arealet af tildelingen forekom ham i begyndelsen ikke særlig stort, da det ifølge kontrakten skulle dækkes med et oksehud. Men prinsessen beordrede sine soldater til at skære den i tynde strimler og lave et bælte af dem. Den viste sig at være så lang, at den dækkede stedet,hvor hele byen passer ind.
Oprindelsen af kalkulus
Og lad os nu gå fra oldtiden til en senere æra. Interessant nok blev Kepler i det 17. århundrede tilskyndet til at forstå grundlaget for matematisk analyse ved et møde med en vinsælger. Købmanden var så velbevandret i sit fag, at han nemt kunne bestemme mængden af drikkevaren i tønden ved blot at sænke en jern-turniquet ned i den. Ved at reflektere over en sådan nysgerrighed formåede den berømte videnskabsmand at løse dette dilemma for sig selv. Det viser sig, at datidens dygtige bødkere fik styr på at lave fartøjer på en sådan måde, at de i en vis højde og radius af omkredsen af fastgørelsesringene ville have en maksimal kapacitet.
Dette var af Keplers grund til yderligere refleksion. Bochars kom til den optimale løsning ved en lang søgning, fejltagelser og nye forsøg, og videregav deres erfaring fra generation til generation. Men Kepler ønskede at fremskynde processen og lære at gøre det samme på kort tid gennem matematiske beregninger. Alle hans udviklinger, samlet op af kolleger, blev til Fermats og Newtons nu kendte teoremer - Leibniz.
Maksim alt arealproblem
Lad os forestille os, at vi har en ledning med en længde på 50 cm. Hvordan laver man et rektangel ud af den med det største areal?
Når man starter en beslutning, bør man gå ud fra simple og kendte sandheder. Det er klart, at omkredsen af vores figur vil være 50 cm. Den består også af to gange længden af begge sider. Det betyder, at efter at have udpeget en af dem som "X", kan den anden udtrykkes som (25 - X).
Herfra får viet areal lig med X (25 - X). Dette udtryk kan repræsenteres som en funktion, der antager mange værdier. Løsningen af problemet kræver, at du finder det maksimale af dem, hvilket betyder, at du skal finde ud af ekstremumpunkterne.
For at gøre dette finder vi den første afledede og sætter lighedstegn mellem den til nul. Resultatet er en simpel ligning: 25 - 2X=0.
Deraf lærer vi, at en af siderne X=12, 5.
Derfor en anden: 25 – 12, 5=12, 5.
Det viser sig, at løsningen på problemet bliver en firkant med en side på 12,5 cm.
Sådan finder du den maksimale hastighed
Lad os overveje endnu et eksempel. Forestil dig, at der er et legeme, hvis retlinede bevægelse er beskrevet af ligningen S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, hvor afstanden tilbagelagt er udtrykt i meter, og tiden er i sekunder. Det er nødvendigt at finde den maksimale hastighed. Hvordan gør man det? Downloadet find hastigheden, det vil sige den første afledte.
Vi får ligningen: V=- 3t2 + 18t – 24. Nu, for at løse problemet, skal vi igen finde ekstremumpunkterne. Dette skal gøres på samme måde som i forrige opgave. Find den første afledede af hastigheden, og lig den med nul.
Vi får: - 6t + 18=0. Derfor er t=3 s. Dette er tidspunktet, hvor kroppens hastighed får en kritisk værdi. Vi erstatter de opnåede data i hastighedsligningen og får: V=3 m/s.
Men hvordan skal man forstå, at dette præcis er den maksimale hastighed, fordi de kritiske punkter for en funktion kan være dens maksimum- eller minimumværdier? For at tjekke, skal du finde et sekundafledt af hastighed. Det udtrykkes som tallet 6 med et minustegn. Det betyder, at det fundne punkt er maksimum. Og i tilfælde af en positiv værdi af den anden afledte, ville der være et minimum. Så den fundne løsning viste sig at være korrekt.
Opgaverne givet som eksempel er kun en del af dem, der kan løses ved at kunne finde yderpunkterne for en funktion. Faktisk er der mange flere. Og sådan viden åbner ubegrænsede muligheder for den menneskelige civilisation.
