Et vigtigt geometrisk objekt, der studeres i fladt rum, er en lige linje. I det tredimensionelle rum er der udover den lige linje også et plan. Begge objekter er bekvemt defineret ved hjælp af retningsvektorer. Hvad er det, hvordan bruges disse vektorer til at bestemme ligningerne for en ret linje og en plan? Disse og andre spørgsmål er dækket i artiklen.
Direkte linje og hvordan den defineres
Hver elev har en god idé om, hvilket geometrisk objekt de taler om. Fra et matematiksynspunkt er en ret linje et sæt punkter, som i tilfælde af deres vilkårlige parvise forbindelse fører til et sæt parallelle vektorer. Denne definition af en linje bruges til at skrive en ligning for den i både to og tre dimensioner.
For at beskrive det betragtede endimensionelle objekt, bruges forskellige typer ligninger, som er opført på listen nedenfor:
- generel visning;
- parametrisk;
- vektor;
- kanonisk eller symmetrisk;
- i segmenter.
Hver af disse arter har nogle fordele frem for de andre. For eksempel er en ligning i segmenter praktisk at bruge, når man studerer adfærden af en ret linje i forhold til koordinatakserne, en generel ligning er praktisk, når man finder en retning vinkelret på en given ret linje, såvel som når man beregner vinklen af dens skæring med x-aksen (for en flad sag).
Da emnet for denne artikel er relateret til retningsvektoren for en ret linje, vil vi yderligere kun overveje ligningen, hvor denne vektor er fundamental og er indeholdt eksplicit, det vil sige et vektorudtryk.
Specificering af en lige linje gennem en vektor
Antag, at vi har en vektor v¯ med kendte koordinater (a; b; c). Da der er tre koordinater, er vektoren givet i rummet. Hvordan afbildes det i et rektangulært koordinatsystem? Dette gøres meget enkelt: På hver af de tre akser er der plottet et segment, hvis længde er lig med den tilsvarende koordinat af vektoren. Skæringspunktet for de tre perpendikulærer gendannet til xy-, yz- og xz-planerne vil være enden af vektoren. Dens begyndelse er punktet (0; 0; 0).
Ikke desto mindre er vektorens givne position ikke den eneste. På samme måde kan man tegne v¯ ved at placere dens oprindelse i et vilkårligt punkt i rummet. Disse argumenter siger, at det er umuligt at sætte en specifik linje ved hjælp af en vektor. Den definerer en familie med et uendeligt antal parallelle linjer.
Nurette et punkt P(x0; y0; z0) af mellemrummet. Og vi sætter betingelsen: en lige linje skal passere gennem P. I dette tilfælde skal vektoren v¯ også indeholde dette punkt. Det sidste faktum betyder, at en enkelt linje kan defineres ved hjælp af P og v¯. Det vil blive skrevet som følgende ligning:
Q=P + λ × v¯
Her er Q ethvert punkt, der hører til linjen. Dette punkt kan opnås ved at vælge den passende parameter λ. Den skrevne ligning kaldes vektorligningen, og v¯ kaldes retningsvektoren for den rette linje. Ved at arrangere det, så det passerer gennem P og ændre dets længde med parameteren λ, får vi hvert punkt i Q som en ret linje.
På koordinatform vil ligningen blive skrevet som følger:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Og i eksplicit (parametrisk) form kan du skrive:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Hvis vi udelukker den tredje koordinat i ovenstående udtryk, får vi vektorligningerne for den rette linje på planet.
Til hvilke opgaver er det nyttigt at kende retningsvektoren ?
Som regel er disse opgaver til at bestemme linjers parallelitet og vinkelrethed. Den direkte vektor, der bestemmer retningen, bruges også, når man beregner afstanden mellem rette linjer og et punkt og en ret linje, til at beskrive adfærden af en ret linje i forhold til en plan.
Tolinjer vil være parallelle, hvis deres retningsvektorer er. Følgelig bevises vinkelretheden af linjer ved hjælp af vinkelretheden af deres vektorer. I disse typer problemer er det nok at beregne skalarproduktet af de betragtede vektorer for at få svaret.
Ved opgaver til beregning af afstande mellem linjer og punkter er retningsvektoren eksplicit inkluderet i den tilsvarende formel. Lad os skrive det ned:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Here P1P2¯ - bygget på punkterne P1 og P 2 dirigeret segment. Punktet P2 er vilkårligt og ligger på linjen med vektoren v¯, mens punktet P1 er det, hvortil afstanden skal Vær beslutsom. Det kan enten være uafhængigt eller tilhøre en anden linje eller et andet fly.
Bemærk, at det er fornuftigt kun at beregne afstanden mellem linjer, når de er parallelle eller skærer hinanden. Hvis de skærer hinanden, så er d nul.
Ovenstående formel for d er også gyldig til at beregne afstanden mellem et plan og en lige linje parallelt med den, kun i dette tilfælde bør P1 tilhøre planet.
Lad os løse flere problemer for bedre at vise, hvordan man bruger den overvejede vektor.
Vektorligningsproblem
Det er kendt, at en ret linje beskrives med følgende ligning:
y=3 × x - 4
Du skal skrive det passende udtryk indvektorform.
Dette er en typisk ligning af en lige linje, kendt af ethvert skolebarn, skrevet i generel form. Lad os vise, hvordan man omskriver det i vektorform.
Udtrykket kan repræsenteres som:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Det kan ses, at hvis du åbner det, får du den oprindelige lighed. Nu deler vi dens højre side i to vektorer, så kun en af dem indeholder x, vi har:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Det er tilbage at tage x ud af parentes, angive det med et græsk symbol og bytte vektorerne på højre side:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Vi fik vektorformen for det oprindelige udtryk. Retningsvektorkoordinater for den rette linje er (1; 3).
Opgaven med at bestemme den relative position af linjer
To linjer er angivet i mellemrum:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Er de parallelle, krydsende eller krydsende?
Vektorer uden nul (-1; 3; 1) og (1; 2; 0) vil være guider for disse linjer. Lad os udtrykke disse ligninger i parametrisk form og erstatte koordinaterne for den første med den anden. Vi får:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ- 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Erstat den fundne parameter λ i de to ovenstående ligninger, så får vi:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ kan ikke tage to forskellige værdier på samme tid. Det betyder, at linjerne ikke har et enkelt fælles punkt, det vil sige, at de skærer hinanden. De er ikke parallelle, da vektorer, der ikke er nul, ikke er parallelle med hinanden (af hensyn til deres parallelitet skal der være et tal, der ved at gange med én vektor ville føre til koordinaterne for den anden).
Matematisk beskrivelse af flyet
For at sætte et plan i rummet giver vi en generel ligning:
A × x + B × y + C × z + D=0
Her repræsenterer latinske store bogstaver specifikke tal. De første tre af dem definerer koordinaterne for planets normalvektor. Hvis det er angivet med n¯, så:
n¯=(A; B; C)
Denne vektor er vinkelret på planet, så den kaldes en guide. Dets viden, såvel som de kendte koordinater for ethvert punkt, der hører til flyet, bestemmer entydigt sidstnævnte.
Hvis punktet P(x1; y1; z1) tilhører flyet, så beregnes skæringspunktet D som følger:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Lad os løse et par problemer ved at bruge den generelle ligning for flyet.
Opgave tilfinde den normale vektor for planet
Flyet er defineret som følger:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Hvordan finder man en retningsvektor til hende?
Af ovenstående teori følger det, at koordinaterne for normalvektoren n¯ er koefficienterne foran variablerne. I denne henseende, for at finde n¯, skal ligningen skrives i generel form. Vi har:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Så er normalvektoren for flyet:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problemet med at tegne flyets ligning
Koordinaterne for tre punkter er angivet:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Hvordan vil ligningen for det fly, der indeholder alle disse punkter se ud.
Gennem tre punkter, der ikke hører til den samme linje, kan der kun tegnes et plan. For at finde dens ligning beregner vi først retningsvektoren for planet n¯. For at gøre dette går vi frem som følger: vi finder vilkårlige to vektorer, der hører til planet, og beregner deres vektorprodukt. Det vil give en vektor, der vil være vinkelret på dette plan, det vil sige n¯. Vi har:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Tag punktet M1for at tegneplane udtryk. Vi får:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Vi har opnået et generelt typeudtryk for et plan i rummet ved først at definere en retningsvektor for det.
Tværproduktegenskaben skal huskes, når du løser problemer med fly, da den giver dig mulighed for at bestemme koordinaterne for en normal vektor på en enkel måde.
