Fremkomsten af begrebet integral skyldtes behovet for at finde den antiafledte funktion ved dens afledte, samt at bestemme mængden af arbejde, arealet af komplekse figurer, den tilbagelagte afstand, med parametre skitseret af kurver beskrevet af ikke-lineære formler.
Fra kursus
og fysikken ved, at arbejde er lig med produktet af kraft og afstand. Hvis al bevægelse sker med konstant hastighed, eller afstanden overvindes med anvendelsen af den samme kraft, så er alt klart, du skal bare gange dem. Hvad er et integral af en konstant? Dette er en lineær funktion af formen y=kx+c.
Men kraften under arbejdet kan ændre sig, og i en form for naturlig afhængighed. Den samme situation opstår ved beregning af den tilbagelagte afstand, hvis hastigheden ikke er konstant.
Så det er klart, hvad integralet er til for. Dens definition som summen af produkterne af funktionsværdier med en uendelig stigning af argumentet beskriver fuldt ud hovedbetydningen af dette begreb som arealet af en figur, der er afgrænset ovenfra af funktionslinjen, og ved kanterne ved definitionens grænser.
Jean Gaston Darboux, fransk matematiker, i anden halvdel af XIXårhundrede meget klart forklaret, hvad et integral er. Han gjorde det så klart, at det generelt ikke ville være svært selv for en ungdomsskoleelev at forstå dette problem.
Lad os sige, at der er en funktion af en hvilken som helst kompleks form. Y-aksen, hvorpå værdierne af argumentet er plottet, er opdelt i små intervaller, ideelt set er de uendeligt små, men da uendelighedsbegrebet er ret abstrakt, er det nok kun at forestille sig små segmenter, værdien hvoraf norm alt betegnes med det græske bogstav Δ (delta).
Funktionen viste sig at være "skåret" i små klodser.
Hver argumentværdi svarer til et punkt på y-aksen, hvorpå de tilsvarende funktionsværdier er plottet. Men da det valgte område har to grænser, vil der også være to værdier af funktionen, flere og færre.
Summen af produkterne med større værdier med stigningen Δ kaldes den store Darboux-sum og betegnes som S. Følgelig er de mindre værdier i et begrænset område, ganget med Δ, alle sammen danne en lille Darboux sum s. Selve sektionen ligner en rektangulær trapezoid, da krumningen af funktionens linje med dens uendelige stigning kan negligeres. Den nemmeste måde at finde arealet af en sådan geometrisk figur på er at tilføje produkterne af den større og mindre værdi af funktionen med Δ-tilvæksten og dividere med to, det vil sige at bestemme det som det aritmetiske middelværdi.
Dette er, hvad Darboux-integralet er:
s=Σf(x) Δ er et lille beløb;
S=Σf(x+Δ)Δ er en stor sum.
Så hvad er et integral? Området afgrænset af funktionslinjen og definitionsgrænserne vil være:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Det vil sige, det aritmetiske middelværdi af store og små Darboux-summer.c er en konstant værdi, der sættes til nul under differentiering.
Baseret på det geometriske udtryk for dette koncept bliver den fysiske betydning af integralet tydelig. Arealet af figuren, skitseret af hastighedsfunktionen og begrænset af tidsintervallet langs abscisseaksen, vil være længden af den tilbagelagte sti.
L=∫f(x)dx i intervallet fra t1 til t2, Where
f(x) – hastighedsfunktion, det vil sige den formel, som den ændrer sig med over tid;
L – vejlængde;
t1 – starttidspunkt;
t2 – sluttidspunkt for rejsen.
Præcis efter samme princip bestemmes mængden af arbejde, kun afstanden vil blive plottet langs abscissen, og mængden af kraft, der påføres på hvert bestemt punkt, vil blive plottet langs ordinaten.
