Omvendte trigonometriske funktioner forårsager traditionelt vanskeligheder for skolebørn. Evnen til at beregne buetangensen af et tal kan være påkrævet i USE-opgaver i planimetri og stereometri. For at kunne løse en ligning og et problem med en parameter, skal du have en forståelse af egenskaberne for buetangensfunktionen.
Definition
Buetangensen af et tal x er et tal y, hvis tangens er x. Dette er den matematiske definition.
Arctangent-funktionen skrives som y=arctg x.
Mere generelt: y=Carctg (kx + a).
Beregning
For at forstå, hvordan den omvendte trigonometriske funktion af arctangens fungerer, skal du først huske, hvordan værdien af tangenten til et tal bestemmes. Lad os se nærmere.
Tangensen af x er forholdet mellem sinus af x og cosinus af x. Hvis mindst en af disse to størrelser er kendt, så kan modulet af den anden fås fra den grundlæggende trigonometriske identitet:
sin2 x + cos2 x=1.
Ganske vist vil der kræves en vurdering for at låse modulet op.
Hvistallet i sig selv er kendt, og ikke dets trigonometriske karakteristika, så er det i de fleste tilfælde nødvendigt at tilnærmelsesvis estimere tangensen af tallet ved at henvise til Bradis-tabellen.
Undtagelser er de såkaldte standardværdier.
De er præsenteret i følgende tabel:
Ud over ovenstående kan alle værdier opnået fra data ved at tilføje et tal på formen ½πк (к - ethvert heltal, π=3, 14) betragtes som standard.
Nøjagtigt det samme gælder for buetangens: oftest kan den omtrentlige værdi ses fra tabellen, men kun nogle få værdier kendes med sikkerhed:
I praksis, når man løser problemer i skolematematik, er det sædvanligt at give et svar i form af et udtryk, der indeholder buetangensen, og ikke dets omtrentlige skøn. For eksempel, arctg 6, arctg (-¼).
Plotning af en graf
Da tangenten kan have en hvilken som helst værdi, er domænet for arctangensfunktionen hele tallinjen. Lad os forklare mere detaljeret.
Den samme tangent svarer til et uendeligt antal argumenter. For eksempel er ikke kun tangens af nul lig med nul, men også tangens af ethvert tal på formen π k, hvor k er et heltal. Derfor blev matematikere enige om at vælge værdier for buetangensen fra intervallet fra -½ π til ½ π. Det skal forstås på denne måde. Området for arctangensfunktionen er intervallet (-½ π; ½ π). Enderne af mellemrummet er ikke inkluderet, da tangenten -½p og ½p ikke eksisterer.
På det angivne interval er tangenten kontinuerligtstiger. Det betyder, at den omvendte funktion af buetangensen også er konstant stigende på hele tallinjen, men afgrænset oppefra og nedefra. Som et resultat har den to vandrette asymptoter: y=-½ π og y=½ π.
I dette tilfælde, tg 0=0, andre skæringspunkter med abscisse-aksen, bortset fra (0;0), kan grafen ikke have en stigning.
Som det følger af pariteten af tangentfunktionen, har arctangens en lignende egenskab.
For at bygge en graf skal du tage flere punkter blandt standardværdierne:
Den afledte af funktionen y=arctg x på et hvilket som helst tidspunkt beregnes ved hjælp af formlen:
Bemærk, at dens afledte er positiv over alt. Dette er i overensstemmelse med den tidligere konklusion om den kontinuerlige forøgelse af funktionen.
Den anden afledede af arctangens forsvinder ved punkt 0, er negativ for positive værdier af argumentet og omvendt.
Dette betyder, at grafen for buetangensfunktionen har et bøjningspunkt ved nul og er nedadkonveks i intervallet (-∞; 0] og opadkonveks i intervallet [0; +∞).
