Georg Kantor (billedet er givet senere i artiklen) er en tysk matematiker, der skabte mængdelære og introducerede begrebet transfinite tal, uendeligt store, men forskellige fra hinanden. Han definerede også ordenstal og kardin altal og lavede deres aritmetik.
Georg Kantor: kort biografi
Født i St. Petersborg den 1845-03-03. Hans far var en dansker af protestantisk tro, Georg-Valdemar Kantor, der var beskæftiget med handel, blandt andet på børsen. Hans mor Maria Bem var katolik og kom fra en familie af fremtrædende musikere. Da Georgs far blev syg i 1856, flyttede familien først til Wiesbaden og derefter til Frankfurt på jagt efter et mildere klima. Drengens matematiske talenter viste sig allerede før hans 15-års fødselsdag, mens han studerede på private skoler og gymnastiksale i Darmstadt og Wiesbaden. Til sidst overbeviste Georg Cantor sin far om hans faste hensigt om at blive matematiker, ikke ingeniør.
Efter et kort studie ved universitetet i Zürich, flyttede Kantor i 1863 til universitetet i Berlin for at studere fysik, filosofi og matematik. Der hamundervist:
- Karl Theodor Weierstrass, hvis specialisering i analyse nok havde størst indflydelse på Georg;
- Ernst Eduard Kummer, der underviste i højere aritmetik;
- Leopold Kronecker, t alteoretiker, der senere modsatte Cantor.
Efter at have tilbragt et semester ved universitetet i Göttingen i 1866 skrev Georg året efter sin doktorafhandling med titlen "I matematik er kunsten at stille spørgsmål mere værdifuld end at løse problemer", om et problem, som Carl Friedrich Gauss havde. efterladt uløst i hans Disquisitiones Arithmeticae (1801). Efter kortvarigt at have undervist på Berliner Pigeskolen begyndte Kantor at arbejde ved universitetet i Halle, hvor han blev til slutningen af sit liv, først som lærer, fra 1872 som adjunkt og fra 1879 som professor.
Forskning
I begyndelsen af en serie på 10 artikler fra 1869 til 1873 overvejede Georg Cantor t alteori. Værket afspejlede hans passion for emnet, hans studier af Gauss og Kroneckers indflydelse. Efter forslag fra Heinrich Eduard Heine, Cantors kollega i Halle, som anerkendte hans matematiske talent, vendte han sig til teorien om trigonometriske rækker, hvori han udvidede begrebet reelle tal.
Baseret på arbejdet med en kompleks variabels funktion af den tyske matematiker Bernhard Riemann i 1854, viste Kantor i 1870, at en sådan funktion kun kan repræsenteres på én måde - ved trigonometriske rækker. Betragtning af et sæt tal (point), derikke ville modsige en sådan opfattelse, førte ham for det første i 1872 til definitionen af irrationelle tal i form af konvergerende rækkefølger af rationelle tal (brøkdele af heltal) og videre til begyndelsen af arbejdet med hans livsværk, mængdelære og begrebet af transfinite tal.
sætteori
Georg Cantor, hvis mængdeteori opstod i korrespondance med matematikeren fra Braunschweigs tekniske institut Richard Dedekind, var en ven af ham siden barndommen. De konkluderede, at mængder, hvad enten de er endelige eller uendelige, er samlinger af elementer (f.eks. tal, {0, ±1, ±2…}), som har en bestemt egenskab, mens de bevarer deres individualitet. Men da Georg Cantor brugte en en-til-en korrespondance (f.eks. {A, B, C} til {1, 2, 3}) til at studere deres karakteristika, indså han hurtigt, at de adskiller sig i deres grad af medlemskab, selv hvis de var uendelige mængder., dvs. mængder, hvoraf en del eller delmængde omfatter lige så mange objekter som den selv. Hans metode gav snart fantastiske resultater.
I 1873 viste Georg Cantor (matematiker), at rationelle tal, selvom de er uendelige, kan tælles, fordi de kan sættes i en-til-en-korrespondance med naturlige tal (dvs. 1, 2, 3 osv.). d.). Han viste, at sættet af reelle tal, bestående af irrationelle og rationelle, er uendeligt og utalligt. Mere paradoks alt nok beviste Cantor, at mængden af alle algebraiske tal indeholder lige så mange elementer somhvor mange er mængden af alle heltal, og at transcendentale tal, som ikke er algebraiske, som er en delmængde af irrationelle tal, er utellelige, og derfor er deres antal større end heltal og bør betragtes som uendelige.
Modstandere og tilhængere
Men Kantors papir, hvori han først fremlagde disse resultater, blev ikke offentliggjort i Krell, da en af anmelderne, Kronecker, var stærkt imod. Men efter Dedekinds indgriben blev den udgivet i 1874 under titlen "Om alle reelle algebraiske tals karakteristiske egenskaber."
Videnskab og privatliv
Samme år, mens han var på sin bryllupsrejse med sin kone Wally Gutman i Interlaken, Schweiz, mødte Kantor Dedekind, som t alte positivt om sin nye teori. Georges løn var lille, men med pengene fra sin far, der døde i 1863, byggede han et hus til sin kone og fem børn. Mange af hans artikler blev offentliggjort i Sverige i det nye tidsskrift Acta Mathematica, redigeret og grundlagt af Gesta Mittag-Leffler, som var blandt de første til at anerkende den tyske matematikers talent.
Forbindelse med metafysik
Cantors teori blev et helt nyt studieemne vedrørende det uendeliges matematik (f.eks. serier 1, 2, 3 osv. og mere komplekse mængder), som i høj grad afhang af en-til-en korrespondance. Kantors udvikling af nye iscenesættelsesmetoderspørgsmål om kontinuitet og uendelighed gav hans forskning en tvetydig karakter.
Da han argumenterede for, at der virkelig eksisterer et uendeligt antal, vendte han sig mod antikkens og middelalderens filosofi vedrørende faktisk og potentiel uendelighed, såvel som til den tidlige religiøse undervisning, som hans forældre gav ham. I 1883 kombinerede Kantor i sin bog Foundations of General Set Theory sit koncept med Platons metafysik.
Kronecker, der hævdede, at kun heltal "eksisterer" ("Gud skabte de heltal, resten er menneskets værk"), afviste i mange år på det kraftigste hans ræsonnement og forhindrede hans udnævnelse ved universitetet i Berlin.
Transfinite tal
I 1895-97. Georg Cantor dannede fuldt ud sin forestilling om kontinuitet og uendelighed, inklusive uendelige ordenstal og kardin altal, i sit mest berømte værk, udgivet som Bidrag til etableringen af teorien om transfinite tal (1915). Dette essay indeholder hans koncept, som han blev ledt til ved at demonstrere, at en uendelig mængde kan sættes i en en-til-en korrespondance med en af dens undermængder.
Under det mindst transfinite kardin altal mente han kardinaliteten af ethvert sæt, der kan sættes i en-til-en korrespondance med naturlige tal. Cantor kaldte det aleph-null. Store transfinite mængder betegnes alef-en, alef-to osv. Han videreudviklede aritmetikken for transfinite tal, som var analog med finit aritmetik. så hanberigede begrebet uendelighed.
Den modstand, han mødte, og den tid, det tog for hans ideer at blive fuldt accepteret, skyldes vanskeligheden ved at revurdere det gamle spørgsmål om, hvad et tal er. Cantor viste, at sættet af punkter på en linje har en højere kardinalitet end alef-nul. Dette førte til det velkendte problem med kontinuumshypotesen - der er ingen kardin altal mellem alef-nul og styrken af punkter på linjen. Dette problem i første og anden halvdel af det 20. århundrede vakte stor interesse og blev studeret af mange matematikere, herunder Kurt Gödel og Paul Cohen.
Depression
Biografien om Georg Kantor siden 1884 blev overskygget af hans psykiske sygdom, men han fortsatte med at arbejde aktivt. I 1897 var han med til at holde den første internationale matematiske kongres i Zürich. Til dels fordi han blev imod af Kronecker, sympatiserede han ofte med unge håbefulde matematikere og søgte at finde en måde at redde dem fra chikane af lærere, der følte sig truet af nye ideer.
Anerkendelse
Ved århundredeskiftet blev hans arbejde fuldt ud anerkendt som grundlaget for funktionsteori, analyse og topologi. Derudover tjente kantor Georgs bøger som en drivkraft for den videre udvikling af de intuitionistiske og formalistiske skoler for matematikkens logiske grundlag. Dette ændrede undervisningssystemet markant og forbindes ofte med den "nye matematik".
I 1911 var Kantor blandt de inviterede tilfejring af 500-året for University of St. Andrews i Skotland. Han tog dertil i håb om at møde Bertrand Russell, som i sit nyligt udgivne værk Principia Mathematica gentagne gange henviste til den tyske matematiker, men det skete ikke. Universitetet tildelte Kantor en æresgrad, men på grund af sygdom var han ikke i stand til at modtage prisen personligt.
Kantor gik på pension i 1913, levede i fattigdom og sultede under Første Verdenskrig. Fejringer til ære for hans 70 års fødselsdag i 1915 blev aflyst på grund af krigen, men en lille ceremoni fandt sted i hans hjem. Han døde den 1918-06-01 i Halle på et psykiatrisk hospital, hvor han tilbragte de sidste år af sit liv.
Georg Kantor: biografi. Familie
Den 9. august 1874 giftede en tysk matematiker sig med Wally Gutmann. Parret havde 4 sønner og 2 døtre. Det sidste barn blev født i 1886 i et nyt hus købt af Kantor. Hans fars arv hjalp ham med at forsørge sin familie. Kantors helbred blev stærkt påvirket af hans yngste søns død i 1899, og depression har ikke forladt ham siden.
