Nogle matematikopgaver kræver evnen til at beregne kvadratroden. Disse problemer omfatter løsning af andenordens ligninger. I denne artikel præsenterer vi en effektiv metode til at beregne kvadratrødder og bruge den, når vi arbejder med formler for rødderne af en andengradsligning.
Hvad er en kvadratrod?
I matematik svarer dette begreb til symbolet √. Historiske data siger, at det begyndte at blive brugt for første gang omkring første halvdel af det 16. århundrede i Tyskland (det første tyske værk om algebra af Christoph Rudolf). Forskere mener, at dette symbol er et forvandlet latinsk bogstav r (radix betyder "rod" på latin).
Roden af ethvert tal er lig med en sådan værdi, hvis kvadrat svarer til rodudtrykket. På matematiksproget vil denne definition se således ud: √x=y hvis y2=x.
Roden af et positivt tal (x > 0) er ogsået positivt tal (y > 0), men hvis roden er taget fra et negativt tal (x < 0), vil resultatet allerede være et komplekst tal, inklusive den imaginære enhed i.
Her er to enkle eksempler:
√9=3 fordi 32 =9; √(-9)=3i fordi i2=-1.
Herons iterative formel til at finde kvadratrødder
Ovenstående eksempler er meget enkle, og det er ikke svært at beregne rødderne i dem. Vanskeligheder begynder at dukke op allerede, når man finder rodværdierne for enhver værdi, der ikke kan repræsenteres som en kvadrat af et naturligt tal, for eksempel √10, √11, √12, √13, for ikke at nævne det faktum, at det i praksis er nødvendigt for at finde rødder for ikke-heltallige tal: for eksempel √(12, 15), √(8, 5) og så videre.
I alle ovenstående tilfælde skal der anvendes en særlig metode til at beregne kvadratroden. I øjeblikket er flere sådanne metoder kendt: for eksempel udvidelse i en Taylor-serie, division med en kolonne og nogle andre. Af alle kendte metoder er den måske enkleste og mest effektive brugen af Herons iterative formel, som også er kendt som den babylonske metode til bestemmelse af kvadratrødder (der er bevis for, at de gamle babyloniere brugte den i deres praktiske beregninger).
Lad det være nødvendigt at bestemme værdien af √x. Formlen til at finde kvadratroden er som følger:
an+1=1/2(a+x/a), hvor limn->∞(a)=> x.
Dechifrer denne matematiske notation. For at beregne √x skal du tage et tal a0 (det kan være vilkårligt, men for et hurtigt resultat bør du vælge det sådan, at (a0) 2 var så tæt som muligt på x, indsæt det derefter i den angivne kvadratrodsformel og få et nyt tal a1, som allerede vil være tættere på den ønskede værdi. det er nødvendigt at erstatte a1 i udtrykket og få et2 Denne procedure skal gentages, indtil den nødvendige nøjagtighed er opnået.
Et eksempel på anvendelse af Herons iterative formel
Algorithmen beskrevet ovenfor til at opnå kvadratroden af et givet tal kan lyde ret kompliceret og forvirrende for mange, men i virkeligheden viser alt sig at være meget enklere, da denne formel konvergerer meget hurtigt (især hvis et lykketal er valgt en0).
Lad os tage et simpelt eksempel: vi skal beregne √11. Vi vælger en0=3, da 32=9, hvilket er tættere på 11 end 42=16. Ved at indsætte i formlen får vi:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Det nytter ikke at fortsætte beregningerne, da vi har opnået, at a2 og a3 kun begynder at afvige i 5. decimal placere. Således var det nok kun at anvende 2 gange formlen tiludregn √11 til inden for 0,0001.
I øjeblikket er lommeregnere og computere meget brugt til at beregne rødder, men det er nyttigt at huske den markerede formel for manuelt at kunne beregne deres nøjagtige værdi.
Anden ordens ligninger
Forståelse af, hvad en kvadratrod er, og evnen til at beregne den, bruges ved løsning af andengradsligninger. Disse ligninger er ligheder med én ukendt, hvis generelle form er vist i figuren nedenfor.
Her er c, b og a nogle tal, og a må ikke være lig med nul, og værdierne af c og b kan være fuldstændig vilkårlige, inklusive nul.
Enhver værdi af x, der opfylder ligheden angivet i figuren, kaldes dens rødder (dette begreb må ikke forveksles med kvadratroden √). Da den betragtede ligning har 2. orden (x2), så kan der ikke være mere end to tal for dens rødder. Lad os se på, hvordan man finder disse rødder senere i artiklen.
Find rødderne til en andengradsligning (formel)
Denne metode til at løse den betragtede type ligheder kaldes også universel, eller metoden gennem diskriminanten. Det kan anvendes på alle andengradsligninger. Formlen for andengradsligningens diskriminant og rødder er som følger:
Det viser, at rødderne afhænger af værdien af hver af de tre koefficienter i ligningen. Desuden regnestykketx1 adskiller sig fra beregningen x2 kun ved tegnet før kvadratroden. Det radikale udtryk, som er lig med b2 - 4ac, er intet andet end diskriminanten af den betragtede lighed. Diskriminanten i formlen for rødderne af en andengradsligning spiller en vigtig rolle, fordi den bestemmer antallet og typen af løsninger. Så hvis den er nul, så vil der kun være én løsning, hvis den er positiv, så har ligningen to reelle rødder, endelig fører den negative diskriminant til to komplekse rødder x1 og x 2.
Vietas sætning eller nogle egenskaber ved rødderne af andenordens ligninger
I slutningen af det 16. århundrede var en af grundlæggerne af moderne algebra, franskmanden Francois Viet, der studerede andenordens ligninger, i stand til at opnå egenskaberne ved sine rødder. Matematisk kan de skrives sådan:
x1 + x2=-b / a og x1 x 2=c / a.
Begge ligheder kan nemt opnås af enhver, for dette er det kun nødvendigt at udføre de passende matematiske operationer med rødderne opnået gennem formlen med diskriminanten.
Kombinationen af disse to udtryk kan med rette kaldes den anden formel for rødderne af en andengradsligning, som gør det muligt at gætte dens løsninger uden at bruge diskriminanten. Det skal her bemærkes, at selvom begge udtryk altid er gyldige, er det praktisk kun at bruge dem til at løse en ligning, hvis den kan faktoriseres.
Opgaven med at konsolidere den erhvervede viden
Lad os løse et matematisk problem, hvor vi vil demonstrere alle de teknikker, der er diskuteret i artiklen. Betingelserne for problemet er som følger: du skal finde to tal, for hvilke produktet er -13, og summen er 4.
Denne betingelse minder umiddelbart om Vietas sætning, idet vi anvender formlerne for summen af kvadratrødder og deres produkt, skriver vi:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Forudsat at a=1, så er b=-4 og c=-13. Disse koefficienter giver os mulighed for at skrive en andenordens ligning:
x2 - 4x - 13=0.
Brug formlen med diskriminanten, vi får følgende rødder:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Det vil sige, opgaven blev reduceret til at finde tallet √68. Bemærk, at 68=417, og ved at bruge kvadratrodsegenskaben får vi: √68=2√17.
Lad os nu bruge den betragtede kvadratrodsformel: a0=4, derefter:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Der er ingen grund til at beregne a3, fordi de fundne værdier kun adskiller sig med 0,02. Således er √68=8,246. Substitution af det i formlen for x 1, 2, vi får:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 og x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Som du kan se, er summen af de fundne tal faktisk 4, men hvis du finder deres produkt, vil det være lig med -12,999, som opfylder problemets tilstand med en nøjagtighed på 0,001.
