Kvadriske ligninger optræder ofte i en række problemer i matematik og fysik, så enhver elev burde være i stand til at løse dem. Denne artikel beskriver de vigtigste metoder til løsning af andengradsligninger og giver også eksempler på deres brug.
Hvilken ligning kaldes kvadratisk
Først og fremmest vil vi besvare spørgsmålet i dette afsnit for bedre at forstå, hvad artiklen vil handle om. Så den andengradsligning har følgende generelle form: c + bx+ax2=0, hvor a, b, c er nogle tal, som kaldes koefficienter. Her er a≠0 en obligatorisk betingelse, ellers degenererer den angivne ligning til en lineær. De resterende koefficienter (b, c) kan tage absolut alle værdier, inklusive nul. Således udtryk som ax2=0, hvor b=0 og c=0, eller c+ax2=0, hvor b=0, eller bx+ax2=0, hvor c=0 også er andengradsligninger, som kaldes ufuldstændige, da enten den lineære koefficient b i dem er nul eller nuler et frit udtryk c, eller de forsvinder begge.
En ligning, hvor a=1 kaldes reduceret, dvs. den har formen: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Løsningen af en andengradsligning er at finde sådanne x-værdier, der opfylder dens lighed. Disse værdier kaldes rødder. Da den betragtede ligning er et udtryk for anden grad, betyder det, at det maksimale antal af dens rødder ikke må overstige to.
Hvilke metoder til løsning af kvadratligninger findes
Generelt er der 4 løsningsmetoder. Deres navne er anført nedenfor:
- Factoring.
- Tilføjelse til pladsen.
- Ved brug af en kendt formel (via diskriminanten).
- Løsningsmetoden er geometrisk.
Som du kan se fra ovenstående liste, er de første tre metoder algebraiske, så de bruges oftere end den sidste, hvilket indebærer at plotte en funktion.
Der er en anden måde at løse kvadratligninger ved hjælp af Vieta-sætningen. Det kunne medtages 5. i listen ovenfor, men dette gøres ikke, da Vietas sætning er en simpel konsekvens af 3. metode.
Senere i artiklen vil vi se nærmere på de nævnte løsningsmetoder og også give eksempler på deres anvendelse til at finde rødderne til specifikke ligninger.
Metode 1. Factoring
For denne metode i matematikken for andengradsligninger er der en smuknavn: faktorisering. Essensen af denne metode er som følger: det er nødvendigt at præsentere andengradsligningen som et produkt af to udtryk (udtryk), som skal være lig med nul. Efter en sådan repræsentation kan du bruge produktegenskaben, som kun vil være lig nul, når et eller flere (alle) dets medlemmer er nul.
Overvej nu rækkefølgen af specifikke handlinger, der skal udføres for at finde rødderne til ligningen:
- Flyt alle medlemmer til én del af udtrykket (f.eks. til venstre), så der kun er 0 tilbage i dets anden del (højre).
- Repræsenter summen af led i den ene del af ligningen som et produkt af to lineære ligninger.
- Sæt hvert af de lineære udtryk til nul, og løs dem.
Som du kan se, er faktoriseringsalgoritmen ret simpel, men de fleste elever har problemer under implementeringen af 2. punkt, så vi vil forklare det mere detaljeret.
For at gætte hvilke 2 lineære udtryk, når de ganges med hinanden, der vil give den ønskede andengradsligning, skal du huske to simple regler:
- Lineære koefficienter for to lineære udtryk, når de ganges med hinanden, skulle give den første koefficient af andengradsligningen, det vil sige tallet a.
- De frie led i lineære udtryk skal, når de ganges, give tallet c for den ønskede ligning.
Når alle antallet af faktorer er valgt, skal de ganges, og hvis de giver den ønskede ligning, så gå til trin 3 iovenstående algoritme, ellers bør du ændre multiplikatorerne, men du skal gøre dette, så ovenstående regler altid følges.
Eksempel på løsning ved faktoriseringsmetode
Lad os tydeligt vise, hvordan algoritmen til at løse en andengradsligning er at komponere og finde ukendte rødder. Lad et vilkårligt udtryk gives, f.eks. 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Lad os gå videre til løsningen og observere rækkefølgen af punkter fra 1 til 3, som er angivet i det foregående afsnit i artiklen.
Punkt 1. Flyt alle led til venstre side og arrangere dem i den klassiske rækkefølge for en andengradsligning. Vi har følgende lighed: 2x+(-8)+x2=0.
Punkt 2. Vi opdeler det i et produkt af lineære ligninger. Da a=1, og c=-8, så vil vi for eksempel vælge sådan et produkt (x-2)(x+4). Det opfylder reglerne for at finde de forventede faktorer, der er beskrevet i ovenstående afsnit. Hvis vi åbner parenteserne, får vi: -8+2x+x2, det vil sige, vi får præcis det samme udtryk som i venstre side af ligningen. Det betyder, at vi har gættet multiplikatorerne korrekt, og vi kan fortsætte til algoritmens 3. trin.
Punkt 3. Sæt lighedstegn mellem hver faktor med nul, vi får: x=-4 og x=2.
Hvis der er tvivl om resultatet, anbefales det at kontrollere ved at erstatte de fundne rødder i den oprindelige ligning. I dette tilfælde har vi: 22+22-8=0 og 2(-4)+(-4)2 -8=0. Rødder fundet korrekt.
Ved at bruge faktoriseringsmetoden fandt vi således ud af, at den givne ligning har to rødder af forskelligehar: 2 og -4.
Metode 2. Komplement til hele firkanten
I algebraen af kvadratiske ligninger kan multiplikatormetoden ikke altid bruges, da der i tilfælde af brøkværdier af andengradsligningens koefficienter opstår vanskeligheder ved implementeringen af paragraf 2 i algoritmen.
Fuldkvadratmetoden er til gengæld universel og kan anvendes på andengradsligninger af enhver type. Dens essens er at udføre følgende handlinger:
- Betingelserne i ligningen, der indeholder koefficienterne a og b, skal overføres til den ene del af ligningen, og det frie led c til den anden.
- Dernæst skal delene af ligheden (højre og venstre) divideres med koefficienten a, dvs. præsentere ligningen i reduceret form (a=1).
- Summer led med koefficienterne a og b for at repræsentere som et kvadrat af en lineær ligning. Siden en \u003d 1, så vil den lineære koefficient være lig med 1, som for den lineære lignings frie led, så skal den være lig med halvdelen af den lineære koefficient af den reducerede kvadratiske ligning. Efter at kvadratet af det lineære udtryk er tegnet op, er det nødvendigt at tilføje det tilsvarende tal til højre side af ligheden, hvor det frie led er placeret, hvilket fås ved at udvide kvadratet.
- Tag kvadratroden med "+" og "-"-tegn, og løs den allerede opnåede lineære ligning.
Den beskrevne algoritme kan ved første øjekast opfattes som ret kompliceret, men i praksis er den nemmere at implementere end faktoriseringsmetoden.
Et eksempel på en løsning, der bruger det fulde kvadratiske komplement
Lad os give et eksempel på en andengradsligning til træning af dens løsning ved hjælp af metoden beskrevet i det foregående afsnit. Lad andengradsligningen -10 - 6x+5x2=0. Vi begynder at løse den ved at følge algoritmen beskrevet ovenfor.
Punkt 1. Vi bruger overførselsmetoden, når vi løser kvadratligninger, vi får: - 6x+5x2=10.
Punkt 2. Den reducerede form af denne ligning opnås ved at dividere med tallet 5 for hver af dens medlemmer (hvis begge dele divideres eller ganges med det samme tal, så vil ligheden blive bevaret). Som et resultat af transformationerne får vi: x2 - 6/5x=2.
Punkt 3. Halvdelen af koefficienten - 6/5 er -6/10=-3/5, brug dette tal til at fuldføre kvadratet, vi får: (-3/5+x) 2 . Vi udvider det, og det resulterende frie led skal trækkes fra venstre side af ligheden for at opfylde den oprindelige form af andengradsligningen, hvilket svarer til at lægge den til højre side. Som et resultat får vi: (-3/5+x)2=59/25.
Punkt 4. Beregn kvadratroden med positive og negative fortegn og find rødderne: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. De to fundne rødder har følgende værdier: x1=(√59+3)/5 og x1=(3-√59)/5.
Da de udførte beregninger er relateret til rødder, er der stor sandsynlighed for at lave en fejl. Derfor anbefales det at kontrollere rigtigheden af rødderne x2 og x1. Vi får for x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Erstat nux2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0, Vi har således vist, at de fundne rødder af ligningen er sande.
Metode 3. Anvendelse af den velkendte formel
Denne metode til at løse andengradsligninger er måske den enkleste, da den består i at substituere koefficienterne i en kendt formel. For at bruge det behøver du ikke tænke på at kompilere løsningsalgoritmer, det er nok kun at huske én formel. Det er vist på billedet ovenfor.
I denne formel kaldes det radikale udtryk (b2-4ac) diskriminanten (D). Fra dens værdi afhænger af, hvilke rødder der opnås. Der er 3 tilfælde:
- D>0, så har rod to-ligningen reelle og forskellige.
- D=0, så får man roden, som kan beregnes ud fra udtrykket x=-b/(a2).
- D<0, så får du to forskellige imaginære rødder, som er repræsenteret som komplekse tal. For eksempel er tallet 3-5i komplekst, mens den imaginære enhed i opfylder egenskaben: i2=-1.
Et eksempel på en løsning ved at beregne diskriminanten
Lad os give et eksempel på en andengradsligning for at øve os ved at bruge ovenstående formel. Find rødderne for -3x2-6+3x+4x=0. Beregn først værdien af diskriminanten, vi får: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Da D<0 er opnået, betyder det, at rødderne af den betragtede ligning er komplekse tal. Lad os finde dem ved at erstatte den fundne værdi D i formlen givet i det foregående afsnit (det er også vist på billedet ovenfor). Vi får: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metode 4. Brug af funktionsgraf
Det kaldes også den grafiske metode til løsning af kvadratligninger. Det skal siges, at det som regel ikke bruges til kvantitativ, men til kvalitativ analyse af den betragtede ligning.
Essensen af metoden er at plotte en kvadratisk funktion y=f(x), som er en parabel. Derefter er det nødvendigt at bestemme på hvilke punkter parablen skærer x-aksen (X), de vil være rødderne til den tilsvarende ligning.
For at se, om en parabel vil skære X-aksen, er det nok at kende placeringen af dens minimum (maksimum) og retningen af dens grene (de kan enten øges eller falde). Der er to egenskaber ved denne kurve at huske:
- Hvis a>0 - grenens parabler er rettet opad, tværtimod, hvis a<0, så går de ned.
- Minimum (maksimum) koordinat for en parabel er altid x=-b/(2a).
Du skal for eksempel bestemme, om ligningen -4x+5x2+10=0 har rødder. Den tilsvarende parabel vil være rettet opad, da en=5>0. Dens yderpunkt har koordinater: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Siden kurvens minimum ligger over x-aksen (y=9, 2), så skærer den ikke sidstnævnte for evt.x værdier. Det vil sige, den givne ligning har ingen reelle rødder.
Vietas sætning
Som nævnt ovenfor er denne sætning en konsekvens af metode nr. 3, som er baseret på anvendelsen af en formel med en diskriminant. Essensen af Vieta-sætningen er, at den giver dig mulighed for at forbinde ligningens koefficienter og dens rødder til lighed. Lad os få de tilsvarende ligheder.
Lad os bruge formlen til at beregne rødderne gennem diskriminanten. Tilføj to rødder, vi får: x1+x2=-b/a. Lad os nu gange rødderne med hinanden: x1x2, efter en række forenklinger får vi tallet c/a.
Til at løse andengradsligningerne ved hjælp af Vieta-sætningen kan du således bruge de opnåede to ligheder. Hvis alle tre koefficienter i en ligning er kendt, så kan rødderne findes ved at løse det passende system af disse to ligninger.
Et eksempel på brug af Vietas sætning
Du skal skrive en andengradsligning, hvis du ved, at den har formen x2+c=-bx og dens rødder er 3 og -4.
Da a=1 i den betragtede ligning, vil Vieta-formlerne se sådan ud: x2+x1=-b og x2x1=s. Ved at erstatte røddernes kendte værdier får vi: b=1 og c=-12. Som et resultat vil den gendannede kvadratiske reducerede ligning se ud som: x2-12=-1x. Du kan erstatte værdien af rødderne i det og sikre dig, at ligheden holder.
Omvendt anvendelse af Vieta-sætningen, det vil sige beregningen af rødderne vha.kendt form for ligningen, giver små heltal a, b og c mulighed for hurtigt (intuitivt) at finde løsninger.
