Verden er indrettet på en sådan måde, at løsningen af en lang række problemer handler om at finde rødderne til en andengradsligning. Ligningers rødder er vigtige for at beskrive forskellige mønstre. Dette vidste selv landmålerne i det gamle Babylon. Astronomer og ingeniører blev også tvunget til at løse sådanne problemer. Tilbage i det 6. århundrede e. Kr. udviklede den indiske videnskabsmand Aryabhata det grundlæggende for at finde rødderne til en andengradsligning. Formlerne blev færdiggjort i det 19. århundrede.
Generelle begreber
Vi inviterer dig til at gøre dig bekendt med de grundlæggende regelmæssigheder ved kvadratiske ligheder. Generelt kan lighed skrives som følger:
ax2 + bx + c=0, Antallet af rødder i en andengradsligning kan være lig med en eller to. En hurtig analyse kan udføres ved hjælp af begrebet diskriminant:
D=b2 - 4ac
Afhængig af den beregnede værdi får vi:
- Når D > 0 er der to forskellige rødder. Den generelle formel til at bestemme rødderne af en andengradsligning ser ud som (-b± √D) / (2a).
- D=0, i dette tilfælde er roden én og svarer til værdien x=-b / (2a)
- D < 0, for en negativ værdi af diskriminanten er der ingen løsning på ligningen.
Bemærk: Hvis diskriminanten er negativ, har ligningen ingen rødder kun i området for reelle tal. Hvis algebra udvides til begrebet komplekse rødder, så har ligningen en løsning.
Lad os give en kæde af handlinger, der bekræfter formlen for at finde rødder.
Fra ligningens generelle form følger:
ax2 + bx=-c
Vi multiplicerer højre og venstre del med 4a og tilføjer b2, vi får
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Omdan venstre side til kvadratet af polynomiet (2ax + b)2. Vi udtrækker kvadratroden af begge sider af ligningen 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), overfører koefficienten b til højre side, vi får:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Herfra følger:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Hvad krævedes for at vise.
Speci altilfælde
I nogle tilfælde kan løsningen af problemet forenkles. Så for en lige koefficient b får vi en enklere formel.
Betegn k=1/2b, så har formlen for den generelle form af rødderne af den andengradsligning formen:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Når D=0, får vi x=-k / a
Et andet særligt tilfælde er løsningen af ligningen med a=1.
For formen x2 + bx + c=0 vil rødderne være x=-k ± √(k2 - c) med diskriminant større end 0. I det tilfælde, hvor D=0, vil roden blive bestemt af en simpel formel: x=-k.
Brug diagrammer
Enhver person, uden selv at vide det, bliver konstant konfronteret med fysiske, kemiske, biologiske og endda sociale fænomener, der er godt beskrevet af en kvadratisk funktion.
Bemærk: kurven bygget på basis af en kvadratisk funktion kaldes en parabel.
Her er nogle eksempler.
- Når man beregner et projektils bane, bruges egenskaben for bevægelse langs en parabel af et legeme, der er affyret i en vinkel i forhold til horisonten.
- Parabelens egenskab til at fordele belastningen jævnt er meget brugt i arkitektur.
For at forstå vigtigheden af den parabolske funktion, lad os finde ud af, hvordan man bruger grafen til at udforske dens egenskaber ved at bruge begreberne "diskriminant" og "rødder af en andengradsligning".
Afhængig af værdien af koefficienterne a og b, er der kun seks muligheder for kurvens position:
- Diskminanten er positiv, a og b har forskellige fortegn. Parablens grene slår op, andengradsligningen har to løsninger.
- Diskriminant og koefficient b er lig med nul, koefficient a er større end nul. Grafen er i den positive zone, ligningen har 1 rod.
- Diskminanten og alle koefficienter er positive. Den andengradsligning har ingen løsning.
- Diskriminant og koefficient a er negative, b er større end nul. Grafens grene er rettet nedad, ligningen har to rødder.
- Diskriminerende ogkoefficient b er lig med nul, koefficient a er negativ. Parablen kigger ned, ligningen har én rod.
- Værdierne for diskriminanten og alle koefficienter er negative. Der er ingen løsninger, funktionsværdierne er helt i den negative zone.
Bemærk: muligheden a=0 tages ikke i betragtning, da parablen i dette tilfælde degenererer til en ret linje.
Alt ovenstående er godt illustreret af nedenstående figur.
Eksempler på problemløsning
Betingelse: Brug de generelle egenskaber til at lave en andengradsligning, hvis rødder er lig med hinanden.
Løsning:
i henhold til problemets tilstand x1 =x2, eller -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Forenkling af notationen:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, åbn parenteserne og giv ens udtryk. Ligningen bliver 2√(b2 - 4ac)=0. Denne sætning er sand, når b2 - 4ac=0, derfor b 2=4ac, så erstattes værdien b=2√(ac) i ligningen
ax2 + 2√(ac)x + c=0, i den reducerede form får vi x2 + 2√(c/a)x + c=0.
Svar:
for a ikke lig med 0 og enhver c, er der kun én løsning, hvis b=2√(c / a).
Kvadriske ligninger, i al deres enkelhed, er af stor betydning i tekniske beregninger. Næsten enhver fysisk proces kan beskrives med en vis tilnærmelse vhamagtfunktioner af orden n. Den andengradsligning vil være den første sådan tilnærmelse.
