Geometri er en gren af matematik, der studerer strukturer i rummet og forholdet mellem dem. Til gengæld består den også af sektioner, og en af dem er stereometri. Det giver mulighed for at studere egenskaberne af volumetriske figurer placeret i rummet: en terning, en pyramide, en kugle, en kegle, en cylinder osv.
En kegle er et legeme i det euklidiske rum, der afgrænser en konisk overflade og et plan, hvorpå enderne af dens generatorer ligger. Dens dannelse finder sted i processen med at rotere en retvinklet trekant omkring et hvilket som helst af dens ben, og derfor tilhører det omdrejningslegemerne.
keglekomponenter
Der skelnes mellem følgende typer kegler: skrå (eller skrå) og lige. Skrå er den, hvis akse skærer midten af dens base ikke i en ret vinkel. Af denne grund falder højden i en sådan kegle ikke sammen med aksen, da det er et segment, der er sænket fra toppen af kroppen til dets planbase ved 90°.
Den kegle, hvis akse er vinkelret på dens basis, kaldes en lige kegle. Aksen og højden i et sådant geometrisk legeme falder sammen på grund af det faktum, at toppunktet i det er placeret over midten af basisdiameteren.
Keglen består af følgende elementer:
- Den cirkel, der er dens base.
- Side.
- Et punkt, der ikke ligger i basens plan, kaldet toppen af keglen.
- Segmenter, der forbinder punkterne i cirklen i bunden af det geometriske legeme og dets top.
Alle disse segmenter er generatrices af keglen. De hælder til bunden af det geometriske legeme, og i tilfælde af en højre kegle er deres projektioner ens, da toppunktet er lige langt fra grundcirklens punkter. Således kan vi konkludere, at i en regulær (lige) kegle er generatorerne lige store, det vil sige, at de har samme længde og danner de samme vinkler med aksen (eller højden) og base.
Da toppunktet i et skråt (eller skråtstillet) omdrejningslegeme er forskudt i forhold til midten af basisplanet, har generatorerne i et sådant legeme forskellige længder og fremspring, da hver af dem er i forskellig afstand fra to vilkårlige punkter i grundcirklen. Derudover vil vinklerne mellem dem og højden af keglen også være forskellige.
Længden af generatorerne i en højre kegle
Som skrevet tidligere er højden i et lige geometrisk omdrejningslegeme vinkelret på basens plan. Generatrix, højde og radius af basen skaber således en retvinklet trekant i keglen.
Det vil sige, ved at kende basens radius og højden, ved hjælp af formlen fra Pythagoras sætning, kan du beregne længden af generatricen, som vil være lig med summen af kvadraterne af grundfladens radius og højde:
l2 =r2+ h2 eller l=√r 2 + h2
hvor l er en generatrice;
r – radius;
h – højde.
Generativ i en skrå kegle
Baseret på det faktum, at i en skrå eller skrå kegle er generatorerne ikke af samme længde, vil det ikke være muligt at beregne dem uden yderligere konstruktioner og beregninger.
Først og fremmest skal du kende højden, længden af aksen og radius af basen.
Med disse data kan du beregne den del af radius, der ligger mellem aksen og højden, ved at bruge formlen fra Pythagoras sætning:
r1=√k2 - h2
hvor r1 er den del af radiussen mellem aksen og højden;
k – aksellængde;
h – højde.
Som et resultat af at tilføje radius (r) og dens del, der ligger mellem aksen og højden (r1), kan du finde ud af den fulde side af højre trekant dannet af keglens generatrix, dens højde og diameter del:
R=r + r1
hvor R er benet af trekanten dannet af højden, generatrixen og en del af diameteren af basen;
r – basisradius;
r1 – en del af radius mellem aksen og højden.
Ved at bruge den samme formel fra Pythagoras sætning kan du finde længden af keglens generatrix:
l=√h2+ R2
eller, uden at beregne R separat, kombiner de to formler til én:
l=√h2 + (r + r1)2.
På trods af om det er en lige eller skrå kegle og hvilken slags inputdata, kommer alle metoder til at finde længden af generatricen altid ned på ét resultat - brugen af Pythagoras sætning.
keglesektion
Aksial sektion af en kegle er et plan, der passerer langs dens akse eller højde. I en ret kegle er en sådan sektion en ligebenet trekant, hvor højden af trekanten er kroppens højde, dens sider er generatorerne, og basen er basens diameter. I et ligesidet geometrisk legeme er det aksiale snit en ligesidet trekant, da diameteren af basen og generatorerne i denne kegle er ens.
Planet for den aksiale sektion i en lige kegle er planet for dens symmetri. Årsagen til dette er, at dens top er over midten af bunden, det vil sige, at det aksiale snits plan deler keglen i to identiske dele.
Da højden og aksen ikke stemmer overens i et skrånende fast stof, inkluderer planet for den aksiale sektion muligvis ikke højden. Hvis det er muligt at konstruere et sæt aksiale sektioner i en sådan kegle, da kun én betingelse skal overholdes for dette - den må kun passere gennem aksen, så kun en aksial sektion af planet, som vil tilhøre højden af denne kegle, kan tegnes, fordi antallet af betingelser øges, og som bekendt kan to linjer (sammen) høre tilkun ét fly.
Afsnitsområde
Den tidligere nævnte aksiale sektion af keglen er en trekant. Baseret på dette kan dets areal beregnes ved hjælp af formlen for arealet af en trekant:
S=1/2dh eller S=1/22rh
hvor S er tværsnitsarealet;
d – basisdiameter;
r – radius;
h – højde.
I en skrå eller skrå kegle er sektionen langs aksen også en trekant, så tværsnitsarealet i den beregnes på samme måde.
Bind
Da en kegle er en tredimensionel figur i et tredimensionelt rum, kan vi beregne dens volumen. Rumfanget af en kegle er et tal, der karakteriserer denne krop i en volumenhed, det vil sige i m3. Beregningen afhænger ikke af, om den er lige eller skrå (skrå), da formlerne for disse to kropstyper ikke er forskellige.
Som tidligere nævnt sker dannelsen af en ret kegle på grund af drejningen af en retvinklet trekant langs dens ene ben. En skrå eller skrå kegle dannes anderledes, da dens højde er forskudt væk fra midten af kroppens basisplan. Sådanne forskelle i struktur påvirker dog ikke metoden til beregning af volumen.
Lydstyrkeberegning
Formlen for volumen af enhver kegle ser sådan ud:
V=1/3πhr2
hvor V er keglens volumen;
h – højde;
r – radius;
π - konstant lig med 3, 14.
For at kunne beregne rumfanget af en kegle skal du have data om højden og radius af bunden af kroppen.
For at beregne højden af en krop skal du kende radius af basen og længden af dens generatrix. Da radius, højde og generatrix er kombineret til en retvinklet trekant, kan højden beregnes ved hjælp af formlen fra Pythagoras sætning (a2+ b2=c 2 eller i vores tilfælde h2+ r2=l2 , hvor l - generatrice). I dette tilfælde vil højden blive beregnet ved at udtrække kvadratroden af forskellen mellem kvadraterne af hypotenusen og det andet ben:
a=√c2- b2
Det vil sige, at højden af keglen vil være lig med værdien opnået efter udtrækning af kvadratroden fra forskellen mellem kvadratet af længden af generatricen og kvadratet af radius af basen:
h=√l2 - r2
Hvis du beregner højden ved hjælp af denne metode og kender radius af dens base, kan du beregne keglens rumfang. I dette tilfælde spiller generatricen en vigtig rolle, da den tjener som et hjælpeelement i beregningerne.
På samme måde, hvis du kender kroppens højde og længden af dens generatrix, kan du finde radius af dens base ved at udtrække kvadratroden af forskellen mellem kvadratet af generatricen og kvadratet af højden:
r=√l2 - h2
Derefter, ved hjælp af samme formel som ovenfor, beregnes volumenet af keglen.
Højdekonusvolume
Da formlen for rumfanget af en kegle er den samme for alle typer af et omdrejningslegeme, er forskellen i dens beregning søgningen efter højden.
For at finde ud af højden af en skrå kegle skal inputdata inkludere længden af generatricen, radius af basen og afstanden mellem midtenbase og skæringspunktet mellem kroppens højde og dets baseplan. Når du ved dette, kan du nemt beregne den del af basisdiameteren, som vil være bunden af en retvinklet trekant (dannet af højden, generatricen og basens plan). Beregn derefter, igen ved hjælp af Pythagoras sætning, højden af keglen og efterfølgende dens volumen.
