Emnet aritmetisk middelværdi og geometrisk middelværdi er inkluderet i matematikuddannelsen for 6.-7. klassetrin. Da paragraffen er ret enkel at forstå, er den hurtigt bestået, og ved skoleårets udgang glemmer eleverne den. Men viden i grundlæggende statistik er nødvendig for at bestå eksamen, såvel som til internationale SAT-eksamener. Og i hverdagen skader udviklet analytisk tænkning aldrig.
Sådan beregnes det aritmetiske middelværdi og geometriske middelværdi af tal
Lad os sige, at der er et antal tal: 11, 4 og 3. Det aritmetiske gennemsnit er summen af alle tal divideret med antallet af givne tal. Det vil sige, i tilfælde af tallene 11, 4, 3 vil svaret være 6. Hvordan opnås 6?
Løsning: (11 + 4 + 3) / 3=6
Nævneren skal indeholde et tal svarende til antallet af tal, hvis gennemsnit skal findes. Summen er delelig med 3, da der er tre led.
Nu skal vi forholde os til den geometriske middelværdi. Lad os sige, at der er en række tal: 4, 2 og 8.
Geometrisk middelværdi er produktet af alle givne tal, som er under roden med en grad, der er lig med antallet af givne tal. Det vil sige, at i tilfælde af tallene 4, 2 og 8 er svaret 4. Sådan skete det:
Løsning: ∛(4 × 2 × 8)=4
I begge tilfælde blev der opnået hele svar, da specielle tal blev taget som eksempel. Dette er ikke altid tilfældet. I de fleste tilfælde skal svaret være afrundet eller efterladt ved roden. For eksempel for tallene 11, 7 og 20 er det aritmetiske middel ≈ 12,67, og det geometriske middel er ∛1540. Og for tallene 6 og 5 vil svarene være henholdsvis 5, 5 og √30.
Kan det ske, at den aritmetiske middelværdi bliver lig med den geometriske middelværdi?
Selvfølgelig kan det. Men kun i to tilfælde. Hvis der er en række tal, der kun består af enten enere eller nuller. Det er også bemærkelsesværdigt, at svaret ikke afhænger af deres nummer.
Bevis med enheder: (1 + 1 + 1) / 3=3 / 3=1 (aritmetisk middelværdi).
∛(1 × 1 × 1)=∛1=1(geometrisk middelværdi).
1=1
Bevis med nuller: (0 + 0) / 2=0 (aritmetisk middelværdi).
√(0 × 0)=0 (geometrisk middelværdi).
0=0
Der er ingen anden mulighed, og det kan der ikke være.
